Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
Trong học hình học, quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác là một trong những khái niệm cơ bản. Tam giác là một hình học đa giác ba cạnh và có các góc. Trong tam giác, mỗi cạnh được kết nối bởi hai đầu mút với một góc tại mỗi đầu mút. Các góc và các cạnh đối diện trong tam giác có mối quan hệ đặc biệt với nhau, và hiểu rõ quan hệ này là cực kỳ quan trọng trong việc giải các bài toán hình học.
1. Lý thuyết quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
a) Góc đối diện với cạnh lớn hơn
Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Ví dụ: Xét Δ ABC có AB > AC ⇒ \(\widehat C\;>\;\widehat B\)
b) Cạnh đối diện với góc lớn hơn
Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Ví dụ: Xét Δ ABC có \(\widehat C\;>\;\widehat B\) ⇒ AB > AC
2. Bài tập ví dụ
Bài 1. So sánh các góc của tam giác ABC biết rằng AB = 5cm, BC = 5cm, AC = 3cm.
Lời giải
Có AB=BC (=5cm) suy ra tam giác ABC cân tại B ⇒ \(\widehat C\;=\widehat A\)
Có BC > AC (5cm > 3cm) ⇒ \(\widehat A\;>\;\widehat B\) (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện)
Vậy \(\widehat C=\widehat A\;>\;\widehat B\)
Bài 2. So sánh các cạnh của tam giác ABC biết rằng \(\widehat A=80^\circ,\;\widehat C=40^\circ\)
Lời giải
Xét tam giác ABC có \(\widehat A\;+\;\widehat B\;+\;\widehat C\;=\;180^\circ\;\Rightarrow\widehat B=60^\circ\)
Có \(\widehat A\;>\;\widehat B\;>\widehat C\;\Rightarrow BC\;>AC\;>\;AB\) (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện)
Bài 3. Cho ΔABC có AB + AC = 10cm; AC - AB = 4cm. So sánh \(\widehat B\) và \(\widehat C\)
Lời giải
Xét Δ ABC có \(\left\{\begin{array}{l}AB\;+\;AC\;=\;10\;(1)\\AC\;-\;AB\;=\;4\;(2)\end{array}\right.\)
Từ (1) ⇒ AC = 10 - AB. Thế vào (2) ta được: 10 - AB - AB = 4 ⇒ 2AB = 6 ⇒ AB = 3 cm
⇒ AC = 10 - 3 = 7cm
Vì 3 < 7 nên AB < AC ⇒ \(\widehat C\) < \(\widehat B\) (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn)
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác góc B cắt AC tại D. Khi so sánh độ dài của AD và DC
Lời giải
Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC tại E
Xét tam giác ABD vuông tại A và tam giác EBD vuông tại E có:
BD cạnh huyền chung
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\) (BD là tia phân giác góc B)
Khi đó: ΔABD = ΔEBD (cạnh huyền góc nhọn)
Suy ra: AD = DE (hai cạnh tương ứng) (1)
Lại có tam giác DEC vuông tại E có DC là cạnh huyền
Suy ra DC > DE (trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc vuông là cạnh lớn nhất) (2)
Từ (1) và (2) suy ra DC > AD hay AD < DC
Bài 5. Cho ΔABC có ∠A = 80°, ∠B - ∠C = 20°. So sánh các cạnh tam giác ABC
Lời giải
Xét ΔABC có:
\(\widehat A+\widehat B\;+\;\widehat C\;=\;180^\circ\\\Rightarrow\widehat B\;+\;\widehat C\;=\;180^\circ-\widehat A\\=\;180^\circ\;-\;80^\circ=100^\circ\)
Ta có: \(\left\{\begin{array}{l}\widehat B\;+\;\widehat C\;=\;100^\circ\;(1)\\\widehat B\;-\;\widehat C\;=\;20^\circ\;(2)\end{array}\right.\)
Từ (2) ⇒ \(\widehat C=\widehat B\;-\;20^\circ\). Thế vào (1) ta được:
\(\widehat B\;+\;\widehat B\;-\;20^\circ=100^\circ\Rightarrow2\widehat B=120^\circ\Rightarrow\widehat B=60^\circ\)
\(\Rightarrow\widehat C=60^\circ\;-\;20^\circ=40^\circ\)
⇒ \(\widehat C\) < \(\widehat B\) < \(\widehat A\) ⇒ AB < AC < BC
Bài 6. Cho tam giác ABC có \(\widehat B=95^\circ,\;\widehat B=40^\circ\). So sánh các cạnh AB, AC, BC
Lời giải
Xét ΔABC có \(\widehat A\;+\;\widehat B\;+\;\widehat C\;=\;180^\circ\) (định lí tổng ba góc trong tam giác)
⇒\(\widehat C=180^\circ\;-\;\widehat A\;-\;\widehat B=\;180^\circ-40^\circ-95^\circ=45^\circ\)
⇒ \(\widehat A\) < \(\widehat C\) < \(\widehat B\) => BC < AB < AC