Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Trong học hình học, tam giác là một đối tượng được nghiên cứu rất nhiều. Ba đường trung trực và ba đường cao trong một tam giác đóng vai trò quan trọng trong việc tìm hiểu tính chất của tam giác. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về sự đồng quy của ba đường trung trực và ba đường cao trong một tam giác, một tính chất quan trọng mà các bạn học sinh cần phải nắm vững khi học hình học.

1. Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác

a) Đường trung trực của tam giác

Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác. Mỗi tam giác có ba đường trung trực

Ví dụ: a là đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác ABC.

b) Sự đồng quy của ba đường trung trực

Định lí: Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.

Tam giác ABC có:

• b là đường trung trực của AC
• c là đường trung trực của AB
• b và c cắt nhau tại O 
• O nằm trên đường trung trực của BC.

Khi đó: OA = OB = OC

*Chú ý: Giao điểm của ba đường trung trực của tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác nên giao điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

2. Sự đồng quy của ba đường cao trong một tam giác

a) Đường cao của tam giác

Đường cao trong tam giác là đường thẳng từ đỉnh tam giác hạ vuông góc xuống cạnh đối diện. Trong hình dưới đây, đoạn thẳng AM kẻ từ đỉnh A, vuông góc với cạnh đối diện BC là một đường cao của tam giác ABC. Ta còn nói AM là đường cao xuất phát từ đỉnh A (hay đường cao ứng với cạnh BC).

b) Sự đồng quy của ba đường cao

Định lí: Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm

Ví dụ: △ABC trên có 3 đường cao được hạ từ 3 đỉnh A, B, C và AK, CQ, BN đồng quy tại O.

*Chú ý: 

Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó.

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC ta có:

• Khi ABC là tam giác nhọn thì H nằm bên trong tam giác.
• Khi ABC là tam giác vuông tại A thì H trùng với A (kí hiệu là H \(\equiv\) A).
• Khi ABC là tam giác tù thì H nằm bên ngoài tam giác.

3. Bài tập minh hoạ

Bài 1. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HCA, HAB.

Lời giải

Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.

Xét ∆HBC có HD ⊥ BC, BF ⊥ HC.

HD cắt BF tại A nên A là trực tâm của ∆HCA.

Xét ∆HCA có HE ⊥ AC, BF ⊥ HC.

HE cắt BF tại B nên B là trực tâm của ∆HCA.

Xét ∆HAB có HF ⊥ AB, AE ⊥ HB.

HF cắt AE tại C nên C là trực tâm của ∆HAB.

Bài 2. Xét điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.

Lời giải

Giả sử O nằm trên cạnh BC.

Do OA = OB nên ∆OAB cân tại O

Do đó \(\widehat{OAB}\;=\;\widehat{OBA}\)

Do OA = OC nên ∆OAC cân tại O

Do đó \(\widehat{OAC}\;=\;\widehat{OCA}\)

Khi đó \(\widehat{OAB}\;+\;\widehat{OAC}=\widehat{OBA}\;+\;\widehat{OCA}\) hay \(\widehat{BAC}=\widehat{ABC}\;+\;\widehat{ACB}\)

Xét ∆ABC có \(\widehat{BAC}\;+\;\widehat{ABC}\;+\;\widehat{ACB}\;=\;180^\circ\)

Mà \(\widehat{BAC}\;=\;\widehat{ABC}\;+\;\widehat{ACB}\) nên \(2\widehat{BAC}=180^\circ\) hay \(\widehat{BAC}=90^\circ\)

Do đó ∆ABC vuông tại A.

Vậy nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC và O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.