Trong môn học hình học phẳng, đường trung trực được xem một khái niệm quan trọng, đặc biệt khi xét đến các tính chất của hình tam giác. Theo đó, việc hiểu rõ về đường này cũng như sự đồng quy của ba đường trung trực của tam giác sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức nền tảng. Hãy điểm qua toàn bộ kiến thức chuyên đề này qua bài viết sau nhé!
1. Các kiến thức cần nhớ
Dưới đây là tổng hợp những kiến thức có liên quan đến đường trung trực và mối quan hệ đồng quy giữa chúng mà bạn cần nhớ rõ:
1.1. Đường trung trực là gì?
Trước khi tìm hiểu sự đồng quy của ba đường trung trực của tam giác, bạn cần biết rằng đường trung trực của một đoạn thẳng cũng chính là đường thẳng nằm vuông góc với đoạn thẳng đó ngay tại trung điểm. Hay nói cách khác, nó sẽ chia đoạn thẳng thành hai phần có độ dài bằng nhau và tạo ra một góc vuông với đoạn thẳng ngay tại điểm chính giữa.
Ví dụ: Với đoạn thẳng \[\textit{AB}\], đường trung trực của đoạn thẳng này là đường thẳng \[\textit{d}\], đi qua trung điểm\[\textit{M}\] và nằm vuông góc với \[\textit{AB}\].
1.2. Tính chất của điểm liên quan đến đường trung trực
Một điểm bất kỳ nằm ngay trên đường trung trực của một đoạn thẳng sẽ luôn có một khoảng cách bằng nhau đi đến hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Hay nói cách khác, điểm đó sẽ cách đều một khoản ở cả hai đầu của đoạn.
Khi bạn nói ngược lại thì vẫn đúng, cụ thể là: Nếu một điểm nào đó có cùng khoảng cách đi đến hai đầu của đoạn thẳng bất kỳ, thì điểm đó chắc chắn sẽ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Thực tế, nhờ vào mối liên hệ hai chiều này mà chúng ta có thể dễ dàng xác định được vị trí các điểm trong một bài toán chứng minh điều gì đó liên quan đến đường trung trực cũng như sự đồng quy của chúng trong cùng một tam giác.
1.3. Sự đồng quy của ba đường trung trực của tam giác
Trong cùng một hình tam giác, ba đường trung trực của tất cả ba cạnh sẽ luôn đồng quy tại một điểm duy nhất. Điểm này cũng được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Trong đó:
- Điểm đồng quy này nhất định sẽ cách đều cả ba đỉnh của tam giác.
- Tâm đường tròn ngoại tiếp cũng chính là tâm của đường tròn sẽ đi qua cả ba đỉnh tam giác.
Lưu ý rằng, tùy theo từng loại tam giác mà vị trí của tâm đường tròn ngoại tiếp sẽ có sự thay đổi nhất định, chẳng hạn như:
- Tam giác nhọn: Tâm nằm ở bên trong tam giác.
- Tam giác vuông: Tâm đặt ở ngay trên cạnh huyền.
- Tam giác tù: Tâm đặt ở ngoài tam giác.
2. Sự đồng quy của ba đường trung trực của tam giác – Các dạng bài tập
2.1. Xác định chuẩn xác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Khi gặp phải dạng bài tập thế này, bạn cần áp dụng phương pháp giải như sau:
- Dựa vào định nghĩa lẫn sự đồng quy của cả ba đường trung trực trong cùng một hình tam giác.
- Sử dụng đến tính chất giao điểm giữa các đường trung trực trong cùng một tam giác thì sẽ cách đều cả ba đỉnh của hình tam giác đó.
Ví dụ 1: Cho \[\triangle ABC\], vẽ điểm \[\textit{O}\] cách đều cả ba điểm \[\textit{A}\], \[\textit{B}\], \[\textit{C}\] và vẽ một đường tròn sẽ đi qua ba đỉnh tam giác trong từng trường hợp sau:
- a) \[\triangle ABC\] là tam giác nhọn.
- b) \[\triangle ABC\] vuông ngay tại \[\textit{A}\].
- c) \[\triangle ABC\] là một tam giác tù.
Lời giải:
- a) \[\triangle ABC\] là tam giác nhọn:
- b) \[\triangle ABC\] vuông ngay tại \[\textit{A}\]:
- c) \[\triangle ABC\] là một tam giác tù:
Ví dụ 2: Cho \[\textit{A}\], \[\textit{B}\], \[\textit{C}\] là ba điểm phân biệt không cùng nằm thẳng hàng. Hãy xác định nhanh đường tròn sẽ đi qua cả ba điểm đó.
Lời giải:
Gọi đường tròn đi qua cả ba điểm \[\textit{A}\], \[\textit{B}\], \[\textit{C}\] có tâm \[\textit{O}\], ta có: \[OA=OB=OC\].
Ba điểm phân biệt \[\textit{A}\], \[\textit{B}\], \[\textit{C}\] không thẳng hàng đã tạo thành một \[\triangle ABC\].
Vì \[OA=OB=OC\] nên \[\textit{O}\] cũng chính là giao điểm ba đường trung trực của \[\triangle ABC\].
Vậy đường tròn mà chúng ta cần xác định (đi qua ba điểm đã cho và có tâm \[\textit{O}\]) chính là giao của ba đường trung trực \[\triangle ABC\] và bán kính đúng bằng đoạn \[\textit{OA}\].
2.2. Chứng minh ba đường đồng quy hoặc ba điểm thẳng hàng
Đối với dạng bài này, bạn cũng áp dụng đến các định lý và đặc điểm hình học có liên quan đến đường trung trực cũng như sự đồng quy của ba đường trung trực của tam giác để phân tích rồi tìm lời giải chuẩn xác nhất.
Ví dụ 1: Cho một \[\triangle ABC\] cân ngay tại đỉnh \[\textit{A}\]. Gọi \[\textit{G}\] là trọng tâm và \[\textit{O}\] chính là giao điểm ba đường trung trực \[\triangle ABC\].
- a) \[\triangle BOC\] là loại tam giác gì?
- b) Chứng minh cả ba điểm \[\textit{A}\], \[\textit{O}\], \[\textit{G}\] thẳng hàng.
Lời giải:
- a) Do \[\textit{O}\] là giao điểm của ba đường trung trực \[\triangle ABC\] nên ta có: \[OA=OB=OC\]
Suy ra \[\triangle BOC\] là tam giác cân ngay tại đỉnh \[\textit{O}\].
- b) Do \[\textit{O}\] là giao điểm của ba đường trung trực \[\triangle ABC\] nên \[\textit{O}\] sẽ thuộc đường trung trực của \[\textit{BC}\] (1).
Lại có \[\textit{G}\] là trọng tâm nên điểm \[\textit{G}\] sẽ thuộc đường trung tuyến của đoạn \[\textit{BC}\] đi qua \[\textit{A}\] (2).
Mà \[\triangle ABC\] cân ngay tại đỉnh \[\textit{A}\] nên trung tuyến ứng với cạnh \[\textit{BC}\] cũng chính là đường trung trực của \[\textit{BC}\].
Suy ra, \[\textit{G}\] thuộc đường trung trực của \[\textit{BC}\] (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra cả ba điểm \[\textit{A}\], \[\textit{O}\], \[\textit{G}\] thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho \[\triangle ABC\] cân ngay tại đỉnh \[\textit{A}\], ta lấy thêm điểm \[\textit{D}\] sao cho \[\triangle BCD\] cân tại đỉnh \[\textit{D}\] (với điểm \[\textit{D}\] và \[\textit{A}\] nằm ở khác phía đối với đường thẳng \[\textit{BC}\]. Hãy chứng minh các đường trung trực của \[\textit{AC}\] và \[\textit{AB}\] đồng quy với đường thẳng \[\textit{AD}\].
Lời giải:
Từ giả thiết, ta có: \[AB=AC,DB=DC\]
\[\Rightarrow\textit{AD}\] là đường trung trực của \[\textit{BC}\].
Xét đến \[\triangle ABC\], theo tính chất ba đường trung trực trong một hình tam giác sẽ ta có các đường trung trực của \[\textit{AC}\] và \[\textit{AB}\] đồng quy với đường thẳng \[\textit{AD}\].
3. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho một hình \[\triangle ABC\] vuông ngay tại đỉnh \[\textit{A}\], \[\textit{D}\] là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh \[\textit{AC}\] và \[\textit{AB}\]. Hãy chứng minh \[\textit{B}\], \[\textit{D}\], \[\textit{C}\] thẳng hàng.
Lời giải:
Gọi điểm \[\textit{I}\] là trung điểm của \[\textit{AB}\], \[\textit{K}\] là trung điểm của \[\textit{AC}\], ta có \[DI\perp AB\] và \[DK\perp AC\].
Xét \[\triangle DAK\] và \[\triangle DCK\], có:
\[\textit{DK}\] là cạnh chung
\[\widehat{DKA}=\widehat{DKC}=90^{\circ}\]
\[AK=CK\] (hình vẽ)
\[\Rightarrow\triangle DAK=\triangle DCK(c.g.c)\]
\[\Rightarrow\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\]
Chứng minh tương tự, ta được: \[\widehat{D_{3}}=\widehat{D_{4}}\]
Ta lại có: \[\widehat{D_{2}}=90^{\circ}-\widehat{DAK}\] (hai góc phụ nhau)
\[\widehat{D_{3}}=90^{\circ}-\widehat{DAI}\] (hai góc phụ nhau)
\[\Rightarrow\widehat{D_{2}}+\widehat{D_{3}}=180^{\circ}-(\widehat{DAI}+\widehat{DAK})=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\]
\[\Rightarrow\widehat{D_{1}}+\widehat{D_{2}}+\widehat{D_{3}}+\widehat{D_{4}}=2(\widehat{D_{2}}+\widehat{D_{3}})=2.90^{\circ}=180^{\circ}\]
\[\Rightarrow\widehat{BCD}=180^{\circ}\]
\[\Rightarrow\textit{B},\textit{C},\textit{D}\] thẳng hàng.
Bài tập 2: Cho một hình \[\triangle ABC\] vuông ngay tại đỉnh \[\textit{A}\], có điểm \[\textit{M}\] là trung điểm của đoạn \[\textit{BC}\]. Kẻ \[\textit{ME}\] vuông góc với \[\textit{AB}\] ngay tại điểm \[\textit{E}\], \[\textit{MF}\] lại vuông góc với \[\textit{AC}\] tại điểm \[\textit{F}\]. Áp dụng tính chất và sự đồng quy của ba đường trung trực của tam giác, hãy:
- a) Chứng minh rằng \[\textit{AM}\] chính là đường trung trực của đoạn \[\textit{EF}\].
- b) Kẻ thêm đường thẳng \[\textit{d}\] vuông góc với \[\textit{AB}\] tại \[\textit{B}\] và đường thẳng \[\textit{d’}\] vuông góc với \[\textit{AC}\] tại \[\textit{C}\]. Trong đó, hai đường thẳng \[\textit{d}\] và \[\textit{d’}\] giao nhau tại điểm \[\textit{D}\]. Chứng minh nhanh ba điểm \[\textit{A}\], \[\textit{M}\], \[\textit{D}\] cùng thẳng hàng.
Lời giải:
- a) Gọi \[\textit{H}\] là giao điểm của \[\textit{AM}\] và \[\textit{EF}\]
Xét đến \[\triangle ABC\] vuông ngay tại đỉnh \[\textit{A}\], ta có:
\[\textit{M}\] là trung điểm của đoạn \[\textit{BC}\Rightarrow AM\] là trung tuyến ứng với cạnh \[\textit{BC}\].
\[\Rightarrow AM\] là đường trung trực, cũng chính là đường phân giác của \[\widehat{A}\]
\[\Rightarrow AE=AF,\widehat{EAH}=\widehat{FAH}\]
Xét đến \[\triangle EAH\] và \[\triangle FAH\], có:
\[AE=AF(cmt)\]
\[\textit{AH}\] là cạnh chung
\[\widehat{EAH}=\widehat{FAH}\] (cmt)
Suy ra: \[\triangle EAH=\triangle FAH\] (c.g.c)
\[\Rightarrow HE=HF\] (2 cạnh tương ứng) (1) và \[\widehat{AHE}=\widehat{AHF}\] (2 góc tương ứng)
Mà \[\widehat{AHE}+\widehat{AHF}=180^{\circ}\] (2 góc kề bù) nên \[\widehat{AHE}=\widehat{AHF}=90^{\circ}\] (2)
Từ (1) và (2), suy ra \[\textit{AH}\] chính là đường trung trực của \[\textit{EF}\]
Hay \[\textit{AM}\] là đường trung trực của \[\textit{EF}\] (đpcm)
- b) Xét đến hai tam giác vuông \[\textit{ACD}\] và \[\textit{ABC}\], ta có:
\[\textit{AD}\] là cạnh chung.
\[\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\] (vì \[\textit{AM}\] là phân giác góc \[\widehat{A}\]
\[\Rightarrow\triangle ABD=\triangle ACD\] (cạnh huyền – góc nhọn)
\[\Rightarrow DB=DC\] (2 cạnh tương ứng)
\[\Rightarrow\textit{D}\] nằm trên đường trung trực \[\textit{AM}\] của đoạn \[\textit{BC}\].
Suy ra, ba điểm \[\textit{A}\], \[\textit{M}\], \[\textit{D}\] cùng thẳng hàng (đpcm)
Bài viết trên đây là nêu nói rõ hơn về sự đồng quy của ba đường trung trực của tam giác. Mong rằng với tất cả các kiến thức mà chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã có thể giải nhanh và hiệu quả những dạng bài nằm trong chuyên đề toán học này rồi nhé!