Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ
Cộng, trừ, nhân, chia là các phép toán cơ bản trong toán học. Khi áp dụng các phép toán này trên các số hữu tỉ, chúng ta cần hiểu rõ các tính chất của phân số và cách thực hiện các phép toán này để đảm bảo tính chính xác của kết quả. Bài viết này sẽ giải thích chi tiết về cách thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên các số hữu tỉ, cách đưa các phân số về cùng mẫu số trước khi thực hiện các phép toán và cách rút gọn phân số để đơn giản hóa tính toán. Bên cạnh đó, bài viết cũng sẽ cung cấp các ví dụ minh họa và bài tập để giúp độc giả nắm vững các kiến thức về phép toán trên số hữu tỉ.
Số hữu tỉ là gì?
Số hữu tỉ là các số x có thể biểu diễn dưới dạng phân số a/b, trong đó a và b là các số nguyên với b khác 0.
Chú ý:
Số 0 không phải là số hữu tỉ âm và cũng không phải là số hữu tỉ dương.
Ví dụ:
Các số \(\mathrm{\frac{9}{5}}\), \(\mathrm{\frac{7}{6}}\), \(\mathrm{\frac{8}{3}}\), \(\mathrm{\frac{6}{4}}\) là các số hữu tỉ.
Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q.
Ta có:
Q = {\(\mathrm{\frac{a}{b}}\); a, b € Z; b ≠ 0}
Trong đó Z là tập hợp số thực.
Ví dụ:
Biểu diễn số hữu tỉ \(\mathrm{\frac{2}{3}}\) trên tia số:
Cộng, trừ số hữu tỉ
Phép cộng và phép trừ hai số hữu tỷ là một phép toán cơ bản trong toán học liên quan đến việc kết hợp hai hoặc nhiều số hữu tỷ để tạo thành một số hữu tỷ duy nhất. Một số hữu tỷ được định nghĩa là một số có thể được biểu thị bằng tỷ lệ của hai số nguyên.
Để cộng hai số hữu tỉ ta chỉ cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số chung.
Ví dụ: nếu bạn có các số hữu tỷ \(\frac ab\) và \(\frac cb\), tổng của hai số này có thể được viết là \(\frac{a+c}b\).
Muốn trừ hai số hữu tỉ ta lấy tử số của số thứ nhất trừ tử số của số thứ hai và giữ nguyên mẫu số.
Ví dụ: nếu bạn có các số hữu tỉ \(\frac ab\) và \(\frac cb\), hiệu giữa hai số này có thể được viết là \(\frac{a-c}b\).
Điều quan trọng cần lưu ý là mẫu số của hai số phải giống nhau để thực hiện phép cộng hoặc phép trừ. Nếu các mẫu số khác nhau, bạn phải tìm mẫu số chung trước khi thực hiện phép toán.
Lý thuyết cộng và trừ các số hữu tỷ là khối xây dựng cơ bản cho các khái niệm toán học nâng cao hơn và được sử dụng trong nhiều lĩnh vực toán học, bao gồm đại số, giải tích và lý thuyết số. Hiểu cách thực hiện các phép toán này rất quan trọng để thành công trong toán học và trong nhiều ứng dụng trong thế giới thực.
Ví dụ:
Cộng hai số hữu tỉ:
Xét các số hữu tỉ \(\frac34\) và\(\frac56\).
Để cộng hai số này, chúng ta cần tìm một mẫu số chung. Trong trường hợp này, bội số chung nhỏ nhất của 4 và 6 là 12, vì vậy chúng ta có thể viết lại cả hai số với mẫu số này:
\(\frac34+\frac56=\frac{3\times3}{12}+\frac{5\times2}{12}=\frac9{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12}\)
Vậy tổng của \(\frac34\)và \(\frac56\) là \(\frac9{12}\)
Phép trừ hai số hữu tỉ:
Xét các số hữu tỉ \(\frac78\) và \(\frac14\). Để trừ hai số này, chúng ta cần tìm mẫu số chung. Trong trường hợp này, bội số chung nhỏ nhất của 8 và 4 là 8, vì vậy chúng ta có thể viết lại cả hai số với mẫu số này:
\(\frac78-\frac14=\frac78-\frac28=\frac58\)
Vì vậy, hiệu của \(\frac78\) và \(\frac14\) là \(\frac58\).
Nhân, chia số hữu tỉ
Phép nhân và phép chia các số hữu tỉ là các phép toán có thể được thực hiện bằng cách nhân hoặc chia các tử số và mẫu số của chúng.
Phép nhân hai số hữu tỉ:
Xét các số hữu tỉ a/b và c/d. Để nhân hai số này, chỉ cần nhân tử số và mẫu số của chúng:
Để nhân hai số hữu tỷ, chỉ cần nhân tử số và mẫu số của chúng:
\(\frac ab\times\frac cd=\frac{a\times c}{b\times d}\)
Phép chia hai số hữu tỉ:
Xét các số hữu tỉ \(\frac ab\) và \(\frac cd\). Để chia hai số này, chỉ cần nhân số thứ nhất với nghịch đảo của số thứ hai:
\(\frac ab:\frac cd=\frac ab\times\frac dc=\frac{a\times d}{b\times c}\)
Kết quả này cũng là một số hữu tỷ.
Điều quan trọng cần lưu ý là phép nhân và phép chia các số hữu tỉ tuân theo các quy tắc số học tiêu chuẩn và các phép toán này có thể được kết hợp với phép cộng và phép trừ để thực hiện các phép tính toán học phức tạp hơn.
Nói chung, nhân và chia các số hữu tỷ là một phép toán cơ bản trong toán học được sử dụng trong nhiều lĩnh vực toán học, bao gồm đại số, giải tích và lý thuyết số. Hiểu cách thực hiện các phép toán này rất quan trọng để thành công trong toán học và trong nhiều ứng dụng trong thế giới thực.
Điều quan trọng cần lưu ý là các phép toán này tuân theo các quy tắc chuẩn của số học, vì vậy thứ tự của các số, việc sử dụng dấu ngoặc đơn và sự kết hợp của các phép toán có thể ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng.
Ngoài ra, điều quan trọng cần nhớ là các số hữu tỷ có thể âm, vì vậy có thể có kết quả âm khi thực hiện các thao tác này.
Bằng cách làm theo các quy tắc đơn giản này, bạn có thể dễ dàng thực hiện phép nhân và phép chia các số hữu tỷ và sử dụng các phép toán này để giải các bài toán phức tạp hơn.
Ví dụ:
Dưới đây là một số ví dụ về phép nhân và chia số hữu tỷ:
a) Nhân hai số hữu tỉ
Xét các số hữu tỉ \(\frac34\) và \(\frac12\). Để nhân hai số này, chỉ cần nhân tử số và mẫu số của chúng:
\(\frac34\times\frac12=\frac34\times\frac24=\frac64=\frac32\)
Vậy tích của \(\frac34\) và \(\frac12\) là \(\frac38\).
b) Chia hai số hữu tỉ
Xét các số hữu tỉ \(\frac12\) và \(\frac45\). Để chia hai số này, hãy nhân số thứ nhất với nghịch đảo của số thứ hai:
\(\frac12:\frac45=\frac12\times\frac54=\frac{1\times5}{2\times4}=\frac58\)
Vậy phép chia \(\frac12\) cho \(\frac45\) là \(\frac58\).
Đây chỉ là một vài ví dụ về nhân và chia các số hữu tỷ. Với thực hành và sự hiểu biết vững chắc về các khái niệm liên quan, bạn có thể dễ dàng thực hiện các thao tác này cho bất kỳ cặp số hữu tỷ nào
Bài tập
Bài 1:
Dưới đây là một số bài tập thực hành phép cộng, phép trừ với số hữu tỉ:
a) Rút gọn biểu thức sau: \(\frac13+\frac25\)
Giải: Để cộng hai phân số này ta cần có mẫu số chung. Hãy chọn bội số chung nhỏ nhất của 3 và 5, là 15. Sau đó, chúng ta có thể chuyển đổi cả hai phân số để có mẫu số là 15:
\(\frac13=\frac5{15}\) và \(\frac25=\frac6{15}\)
Cộng hai phân số ta được:
\(\frac5{15}+\frac6{15}=\frac{11}{15}\)
b) Rút gọn biểu thức sau: \(-\frac14-\frac37\)
Lời giải: Muốn trừ hai phân số này ta cần chung mẫu số. Hãy chọn bội số chung nhỏ nhất của 4 và 7, là 28. Sau đó, chúng ta có thể chuyển đổi cả hai phân số để có mẫu số là 28:
\(-\frac14=-\frac7{28}\) và \(\frac37=\frac{12}{28}\)
Trừ hai phân số, ta được:
\(-\frac7{28}-\frac{12}{28}=-\frac{19}{28}\)
Vì vậy, biểu thức đơn giản hóa là \(-\frac{19}{28}\).
c) Rút gọn biểu thức sau: \(\frac12-\frac36\)
Lời giải: Muốn trừ hai phân số này ta cần chung mẫu số. Hãy chọn bội số chung nhỏ nhất của 2 và 6, là 6. Sau đó, chúng ta có thể chuyển đổi cả hai phân số để có mẫu số là 6:
\(\frac12=\frac36\) và \(\frac36=\frac36\)
Trừ hai phân số, ta được:
\(\frac36-\frac36=0\)
Vì vậy, biểu thức đơn giản hóa là 0.
Bài 2:
Dưới đây là một số bài tập thực hành phép nhân, phép chia với số hữu tỉ:
a) Rút gọn biểu thức sau: \(\frac23\times\frac56\)
Giải: Để nhân hai số hữu tỉ ta chỉ cần nhân tử số và mẫu số của chúng với nhau:
\(\frac23\times\frac56=\frac{2\times5}{3\times6}=\frac{10}{18}=\frac59\)
b) Rút gọn biểu thức sau: \(\frac34:\frac25\)
Lời giải: Để chia hai số hữu tỉ, ta nhân số thứ nhất với nghịch đảo của số thứ hai:
\(\frac34:\frac25=\frac34\times\frac52=\frac{15}8\)
c) Rút gọn biểu thức sau: \(\frac12\times(-\frac34)\)
Giải: Để nhân hai số hữu tỉ ta chỉ cần nhân tử số và mẫu số của chúng với nhau:
\(\frac12\times(-\frac34)=-\frac{(1\times3)}{(2\times4)}=-\frac38\)