Trong chương trình Toán khối cấp 2, nhân chia đa thức một biến được xem là kiến thức quan trọng, thường gặp trong những dạng bài giải phương trình, rút gọn biểu thức, bài toán có lời giải hoặc chứng minh đẳng thức. Hãy theo dõi bài viết để nắm vững lý thuyết về nhân và chia các đa thức, từ đó giải quyết nhanh chóng, chính xác các bài toán phức tạp nhé!
1. Đa thức một biến là gì?
Trước khi tìm hiểu cách nhân chia đa thức một biến, bạn cần phải hiểu rằng đa thức một biến là một loại biểu thức đại số bao gồm nhiều đơn thức có cùng biến. Trong đó, các biến sẽ được nâng lên theo lũy thừa không âm và được cộng/ trừ với nhau. Ví dụ như:
- \[\textbf{P(x)}=3x^{2}-5x+7\]
- \[\textbf{Q(x)}=x^{3}+2x-1\]
Trong các biểu thức kể trên, ta có:
- Biến là x;
- Bậc của đa thức chính là bật cao nhất của các đơn thức có chứa biến (ví dụ: \[\textbf{P(x)}\] có bậc 2 và \[\textbf{Q(x)}\] có bậc 3).
2. Hướng dẫn nhân hai đa thức một biến chi tiết
2.1. Nguyên tắc nhân
Khi nhân hai đa thức một biến với nhau, bạn cần nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất cùng từng hạng tử nằm trong đa thức thứ hai. Sau đó, bạn sẽ cộng tất cả các tích lại rồi rút gọn nếu cần thiết. Theo đó, các bước nhân cụ thể như sau:
- Bước 1: Sắp xếp toàn bộ đa thức được cho theo lũy thừa giảm dần của biến
Trước khi nhân, bạn đừng quên kiểm tra và sắp xếp lại các hạng tử của từng đa thức theo thứ tự giảm dần của số mũ biến (biến thường là x). Thực tế, điều này sẽ không ảnh hưởng đến kết quả nhưng nó lại giúp quá trình nhân và cộng sau đó trở nên dễ dàng kiểm soát và chuẩn xác hơn.
- Bước 2: Thực hiện phép nhân giữa từng đơn thức của đa thức đầu tiên với toàn bộ các đơn thức thuộc đa thức sau
Đối với phép tính nhân trong nhân chia đa thức một biến, đây chính là bước quan trọng nhất, còn gọi là áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Cách làm cụ thể là:
| Cách nhân đơn thức đầu tiên với đơn thức thuộc đa thức còn lại | |
| Bước đầu tiên | Lần lượt chọn từng đơn thức nằm trong đa thức ban đầu. |
| Bước kế tiếp | Nhân hạng tử đó lần lượt với tất cả các hạng tử thuộc đa thức thứ hai. |
| Cuối cùng | Cuối cùng, chuyển sang đơn thức kế tiếp trong đa thức đầu tiên, lặp lại tương tự như quá trình trên cho tất cả đa thức còn lại. |
Lưu ý rằng, khi nhân các đơn thức, bạn hãy nhân phần số với nhau trước, sau đó mới cộng bậc của biến lại (nếu có cùng biến).
- Bước 3: Cộng các tích lại với nhau và nhóm những đơn thức đồng dạng (nếu có)
Sau khi đã nhân xong toàn bộ cặp hạng tử, bạn sẽ thu được một biểu thức mới bao gồm nhiều đơn thức. Trong số đó, có thể xuất hiện một vài đơn thức có cùng biến và bậc (đơn thức đồng dạng). Khi gặp trường hợp này, hãy thực hiện phép cộng giữa các hệ số với nhau để rút gọn. Sau đó, bạn nên sắp xếp lại toàn bộ biểu thức theo một thứ tự bậc biến giảm dần để biểu thức trở nên gọn gàng hơn.
2.2. Ví dụ minh họa
Để hiểu hơn về phép nhân trong chuyên đề “nhân chia đa thức một biến”, bạn có thể tham khảo một vài ví dụ sau:
Ví dụ 1: Nhân \[A(x)=x+2\] và \[B(x)=x-3\]
Lời giải: Ta có:
\[\left(x+2\right)\left(x-3\right)\]
\[=x.x+x.(-3)+2.x+2.(-3)\]
\[=x^{2}-3x+2x-6\]
\[=x^{2}-x-6\]
Ví dụ 2: Nhân \[A(x)=2x^{2}+3x\] và \[B(x)=x^{2}-x+1\]
Lời giải: Ta có:
\[\left(2x^{2}+3x\right)(x^{2}-x+1)\]
\[=2x^{2}.x^{2}+2x^{2}.(-x)+2x^{2}.1+3x.x^{2}+3x.(-x)+3x.1\]
\[=2x^{4}-2x^{3}+2x^{2}+3x^{3}-3x^{2}+3x\]
\[=2x^{4}+x^{3}-x^{2}+3x\]
3. Hướng dẫn chia đa thức một biến đầy đủ nhất
3.1. Tổng quan
Khi thực hiện chia đa thức \[\text{A(x)}\] cho một đa thức \[\text{B(x)}\] (bậc của \[\text{B(x)}\] khác 0), cho ta:
- Một thương \[\text{Q(x)}\];
- Một số dư là \[\text{R(x)}\] sao cho bậc của \[\text{R(x)}\] sẽ nhỏ hơn bậc của \[\text{B(x)}\]
Công thức tổng quát là:
\[A(x)=B(x).Q(x)+R(x)\]
Thực tế, phép chia sẽ bao gồm 2 trường hợp sau:
- Nếu \[R(x)=0\]: phép chia hết;
- Nếu \[R(x)\neq 0\]: phép chia có dư.
3.2. Chuyên đề nhân chia đa thức một biến – Cách chia đa thức
Phép chia đa thức cũng được thực hiện tương tự như cách chúng ta chia số. Theo đó, các bước làm cụ thể là:
| Cách chia đa thức một biến | |
| Bước 1 | Sắp xếp toàn bộ đa thức dựa trên thứ tự lũy thừa giảm dần. |
| Bước 2 | Lấy hạng tử đầu tiên của số bị chia chia cho hạng tử đầu của số chia để thu về hạng tử đầu của thương. |
| Bước 3 | Nhân hạng tử mà bạn vừa tìm thấy với số chia, sau đó rồi trừ kết quả này cho số bị chia. |
| Bước 4 | Tiếp tục chia phần còn lại với cách tương tự như trên cho đến khi bậc của phần này nhỏ hơn bậc của số chia. |
3.3. Ví dụ minh họa
Nhằm giúp bạn nắm vững cách chia hai đa thức, chúng tôi mời bạn tham khảo qua hai bài ví dụ sau:
Ví dụ 1: Chia \[A(x)=x^{2}+3x+2\] cho \[B(x)=x+1\]
Lời giải:
\[\left(x^{2}+3x+2\right):(x+1)\]
Lấy \[x^{2}:x=x\], ta có:
\[x.(x+1)=x^{2}+x\]
Trừ:
\[\left(x^{2}+3x+2\right)-\left(x^{2}+x\right)=2x+2\]
Lấy \[2x:2=2\], ta có:
\[2.(x+1)=2x+2\]
Trừ tiếp:
\[\left(2x+2\right)-\left(2x+2\right)=0\]
Vậy thương là \[Q(x)=x+2\] và dư \[R(x)=0\]
Ví dụ 2: Chia \[A(x)=x^{3}-2x^{2}+4\] cho \[B(x)=x-1\]
Lời giải:
Làm tương tự như ở ví dụ trên:
Lấy \[x^{3}:x=x^{2}\], nhân và trừ:
\[x^{3}-2x^{2}+4-(x^{3}-x^{2})=-x^{2}+4\]
Lấy \[-x^{2}:x=-x\], nhân và trừ:
\[-x^{2}+4-(-x^{2}+x)=4-x\]
Tiếp tục lấy \[4-x:x=-1\], nhân và trừ:
\[4-x-(-x+1)=3\]
Vậy thương là \[x^{2}-x-1\], dư là 3.
=> Kết quả cuối cùng:
\[x^{3}-2x^{2}+4=(x-1)(x^{2}-x-1)+3\]
4. Bài tập vận dụng về nhân và chia đa thức một biến
Bài tập 1: Thực hiện các phép tính:
- a) \[\left(x-1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)\]
- b) \[\left(2x+3\right)\left(x^{2}-x+1\right)\]
- c) \[\left(3x^{2}-2x+4\right)\left(x-5\right)\]
Bài tập 2: Thực hiện các phép tính:
- a) \[\left(x^{3}+3x^{2}-4x-12\right):\left(x+3\right)\]
- b) \[\left(x^{2}+5x+6\right):(x+2)\]
- c) \[\left(2x^{2}-3x-5\right):\left(x-2\right)\]
Đáp án:
Bài tập 1:
- a) \[\left(x-1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)\]
\[=x(x^{2}+2x+1)-1(x^{2}+2x+1)\]
\[=\left(x^{3}+2x^{2}+x\right)-(x^{2}+2x+1)\]
\[=x^{3}+2x^{2}+x-x^{2}-2x-1\]
\[=x^{3}+(2x^{2}-x^{2})+(x-2x)-1\]
\[=x^{3}+x^{2}-x-1\]
- b) \[\left(2x+3\right)\left(x^{2}-x+1\right)\]
\[=2x(x^{2}-x+1)+3(x^{2}-x+1)\]
\[=(2x^{3}-2x^{2}+2x)+(3x^{2}-3x+3)\]
\[=2x^{3}+(-2x^{2}+3x^{2})+(2x-3x)+3\]
\[=2x^{3}+x^{2}-x+3\]
- c) \[\left(3x^{2}-2x+4\right)\left(x-5\right)\]
\[=3x^{2}(x-5)-2x(x-5)+4(x-5)\]
\[=(3x^{3}-15x^{2})+(-2x^{2}+10x)+(4x-20)\]
\[=3x^{3}+(-15x^{2}-2x^{2})+(10x+4x)-20\]
\[=3x^{3}-17x^{2}+14x-20\]
Bài tập 2:
- a) \[\left(x^{3}+3x^{2}-4x-12\right):\left(x+3\right)\]
Lấy \[x^{3}:x=x^{2}\], nhân ngược lại:
\[x^{2}(x+3)=x^{3}+3x^{2}\]
Trừ:
\[(x^{3}+3x^{2})-(x^{3}+3x^{2})=0\]
Hạ tiếp \[-4x\] rồi lấy \[-4x:x=-4\] nhân ngược lại:
\[-4(x+3)=-4x-12\]
Trừ:
\[(-4x-12)-(-4x-12)=0\]
Vậy \[\left(x^{3}+3x^{2}-4x-12\right):\left(x+3\right)=x^{2}-4\] (chia hết)
- b) \[\left(x^{2}+5x+6\right):(x+2)\]
Lấy \[x^{2}:x=x\] nhân ngược lại:
\[x(x+2)=x^{2}+2x\]
Trừ:
\[\left(x^{2}+5x\right)-(x^{2}+2x)=3x\]
Hạ \[+6\], lấy \[3x:x=3\] rồi nhân ngược lại:
\[3(x+2)=3x+6\]
Trừ:
\[\left(3x+6\right)-\left(3x+6\right)=0\]
Vậy \[\left(x^{2}+5x+6\right):(x+2)=x+3\] (chia hết)
- c) \[\left(2x^{2}-3x-5\right):\left(x-2\right)\]
Lấy \[2x^{2}:x=2x\] nhân ngược lại:
\[2x(x-2)=2x^{2}-4x\]
Trừ:
\[\left(2x^{2}-3x-5\right)-\left(2x^{2}-4x\right)=(2x^{2}-2x^{2})+(-3x+4x)-5=x-5\]
Lấy \[x:x=1\] nhân ngược lại:
\[1(x-2)=x-2\]
Trừ tiếp:
\[\left(x-5\right)-\left(x-2\right)=x-x-5+2=-3\]
Vậy \[\left(2x^{2}-3x-5\right):\left(x-2\right)=2x+1\] dư \[-3\]
Hay \[3x^{2}-3x-5=(x-2)(2x+1)-3\]