Phép nhân, chia đa thức một biến

Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về phép nhân và phép chia đa thức, hai phép tính cơ bản trong đại số đa thức. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách thực hiện các phép tính này, các quy tắc và ví dụ minh họa để giải quyết các bài toán liên quan đến phép nhân và phép chia đa thức. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức cơ bản về đại số đa thức và ứng dụng trong thực tế.

Phép nhân đa thức một biến

Nhân đơn thức với đa thức

Ví dụ:

Nhân đa thức P(x) = 3x³ + 4x² + 5x + 6 với đơn thức Q(x) = 2x. Ta có thể thực hiện như sau:

Q(x)P(x) = 2x(3x³ + 4x² + 5x + 6) = 6x⁴ + 8x³ + 10x² + 12x

Vì vậy, kết quả của phép nhân đa thức P(x) với đơn thức Q(x) là đa thức R(x) là  6x⁴ + 8x³ + 10x² + 12x

Hãy tính tích của đa thức P(x) = 2x³ - x² + 3x - 4 và đơn thức Q(x) = 4x.

Ta thực hiện nhân từng hạng tử của đa thức với hệ số của đơn thức:

Q(x)P(x) = 4x(2x³ - x² + 3x - 4) = 8x⁴ - 4x³ + 12x² - 16x

Vậy kết quả của phép nhân đơn thức Q(x) với đa thức P(x) là đa thức R(x) là 8x⁴ - 4x³ + 12x² - 16x.

Nhân đa thức với đa thức

Ví dụ:

Giả sử ta muốn tính tích của đa thức P(x) = 2x² + 3x + 4 và đa thức Q(x) = x² - 5x + 6. Ta có thể thực hiện như sau:

P(x)Q(x) = (2x² + 3x + 4)(x² - 5x + 6) = 2x⁴ - 7x³ + 19x² - 17x + 24

Vậy kết quả của phép nhân đa thức P(x) với đa thức Q(x) là đa thức R(x) = 2x⁴ - 7x³ + 19x² - 17x + 24

Lưu ý rằng, khi thực hiện phép nhân đa thức với đa thức, ta cần chú ý đến việc sắp xếp các hạng tử theo bậc giảm dần trước khi thực hiện phép nhân.

Nhân đa thức P(x) = 3x³ - 2x² + 5x + 1 với Q(x) = 2x² + x - 3.

Ta thực hiện nhân từng hạng tử của P(x) với toàn bộ Q(x):

P(x)Q(x) = (3x³ - 2x² + 5x + 1 )(2x² + x - 3) = 6x⁵ + 7x⁴ - 16x³ - 8x² + 16x - 3

Vậy kết quả của phép nhân đa thức P(x) với đa thức Q(x) là đa thức R(x) = 6x⁵ + 7x⁴ - 16x³ - 8x² + 16x - 3.

Phép chia đa thức một biến

Làm quen với phép chia đa thức

Để thực hiện phép chia đa thức ta làm như sau:

Phép chia đa thức được viết tổng quát như sau:

Trong đó:

• A là đa thức bị chia
• B là đa thức chia
• Q là đa thức thương

Cách đặt tính chia đa thức

Chia đa thức A = 8x⁴ + 14x³ - 10x² + 2x - 6 cho đa thức B = 2x² - 3x - 4

Bước1: Đặt tính chia tương tự như hai số tự nhiên.

Bước 2: Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

8x⁴ : 2x² = 4x²

Bước 3: Lấy A trừ đi tích B.4x², ta được dư thứ nhất là 26x³ + 6x² + 2x - 6

Tích B.4x² = 4x²(2x² - 3x - 4) = 8x⁴ - 12x³ - 16x²

Bước 4: Lấy hạng tử cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B

26x³ : 2x² = 13x

Bước 5: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B.13x, ta được dư thứ hai là 42x² + 54x - 6

Tích B.13x = 13x(2x² - 3x - 4) = 26x³ - 39x² - 52x

Bước 6: Tính tương tự như trên cho đến khi được kết quả cuối cùng