Nếu như đã từng tiếp xúc qua bộ môn toán học, chắc hẳn bạn đã từng nghe đến khái niệm về đa thức. Vậy chúng là gì ? Có những ứng dụng gì trong thực tế hay không ? Bài viết này sẽ mách cho bạn biết tất tần tật các kiến thức liên quan đến dạng biểu thức này và cách để thu gọn chúng. Từ đó, bạn có thể đơn giản hoá mọi biểu thức phức tạp hây nâng cao.
1. Tổng hợp các kiến thức xoay quanh đa thức
1.1 Bật mí khái niệm đa thức là gì ?
Trong toán học, đa thức là một dạng biểu thức đại số được tạo nên bởi tổng của nhiều đơn thức kết hợp lại. Theo đó, mỗi đơn thức lại có thể chứa cả biến và hệ số, chúng được liên kết với nhau bằng phép cộng hoặc trừ. Và mỗi đơn thức sẽ được gọi là một hạng tử trong đa thức. Đồng thời, mỗi đơn thức cũng được xem là một đa thức với chỉ một hạng tử mà thôi.
Ví dụ minh hoạ:
- Các biểu thức \[x^2-6x+3;x^2+2xy-y2z+3;(x+4y)+(6x-8y)\] sẽ thuộc dạng biểu thức đa biến kể trên.
- Tuy nhiên, các biểu thức như \[x+\sqrt{x};x-\frac{1}{x}\] thì không phải là đa thức vì mỗi hạng tử của chúng không phải là đơn thức.
- Với ví dụ \[x^3-2x^2+6xy-7\], thì chúng sẽ có 4 hạng tử gồm \[x^3;2x^2;6xy;7\].
1.2 Làm thế nào để thu gọn đa thức ?
Khi làm việc với các biểu thức đa biến, bạn sẽ cần phải thu gọn chúng để biểu thức được trở nên đơn giản và dễ hiểu hơn. Quá trình này được thực hiện bằng cách kết hợp các hạng tử giống nhau nhằm đơn giản hoá biểu thức để dễ tính toán hơn. Đầu tiên, cần nhóm các hạng tử chung lại, rồi thực hiện cộng trừ đơn thức để cho ra kết quả.
Ví dụ, thu gọn đa thức \[A=\frac{1}{3}x^2y+xy^2+\frac{1}{2}xy^2-5xy-\frac{1}{3}x^2y\]
Giải:
\[A=\frac{1}{3}x^2y+xy^2+\frac{1}{2}xy^2-5xy-\frac{1}{3}x^2y\]
\[=(\frac{1}{3}x^2y-\frac{1}{3}x^2y\)+(xy^2+\frac{1}{2}xy^2)+(-xy-5xy)\]
\[=\frac{3}{2}xy^2-6xy\]
1.3 Bậc của đa thức là gì ?
Trong một đa thức, bậc của chúng sẽ được xác định bằng số mũ cao nhất của biến trong toàn bộ các hạng tử xuất hiện. Đây là một trong những yếu tố cực kỳ quan trọng để nhận diện các đặc điểm, từ đó mà bạn có thể đưa ra cách xử lý biểu thức nhiều biến hoàn toàn dễ dàng.
- Tuy nhiên, bạn bắt buộc phải thu gọn biểu thức hoàn toàn trước khi xác định bậc của chúng.
- Số 0 cũng được xem là một đa thức nhưng nó hoàn toàn không có bậc.
2. Cách thực hiện các phép toán với đa thức
Đa thức không chỉ được dùng để biểu diễn mà còn có khả năng tham gia vào nhiều dạng phép toán khác nhau. Việc hiểu rõ khái niệm của chúng một cách vững vàng sẽ giúp bạn đơn giản hoá được các biểu thức và biến bài toán trở nên dễ dàng hơn để chinh phục.
2.1 Phương pháp cộng và trừ hai đa thức
Cộng và trừ biểu thức đa biến được hiểu là việc kết hợp hoặc loại bỏ các hạng tử đang đồng dạng để biểu thức được thu gọn. Khi làm, bạn cần nhóm các hạng từ đang có cùng dạng biến với nhau và số mũ tương ứng, sau đó, cần thực hiện tính tổng và hiệu hệ số mà chúng đang có.
Tuy nhiên, đối với phép tính trừ thì ta cần đặt dấu trừ trước toàn bộ đa thức bị chia để đổi dấu chúng trước khi thực hiện, rồi lại cộng lần lượt các hạng tử giống nhau như bình thường là sẽ ra kết quả chính xác.
Ví dụ: \[P(x)=3x^2+5x-2;Q(x)=-x^2+4x+3.P(x) + Q(x)=?\]
Giải:
\[P(x)+Q(x)=(3x^2-x^2)+(5x+4x)+(-2+3)=2x^2+9x+1\]
2.2 Nhân hai đa thức
Trong quá trình này, bạn cần phải áp dụng quy tắc phân phối để có thể nhân từng hạng tử của biểu thức đa biến thứ nhất cho biểu thức đa biến kia. Rồi sau khi tính toán, ta thực hiện nhóm các đồng tử đồng dạng lại là xong.
Ví dụ: \[P(x)=2x+3,Q(x)=x-4\Rightarrow P(x)\times Q(x)=?\]
Giải:
\[P(x)\times Q(x)=
(2x\times x)+(2x\times(-4))+(3\times x)+(3\times(-4))=2x^2-8x+3x-12=2x^2-5x-12\
2.3 Chia đa thức cho đơn thức như thế nào ?
Quá trình này diễn ra với bước đầu bạn cần chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức nhằm rút gọn kết quả hết mức có thể. Sau khi thực hiện phép chia kể trên, bạn cần phân tích, rồi thu gọn các hạng tự. Từ đó mà có thể nhìn biểu thức đa biến này một cách trực quan và dễ hiểu hơn trước.
Ví dụ: \[A(x)=6x^2+9x;M(x)=3x\Rightarrow A(x)\div M(x)=?\]
Giải: \[A(x)\div M(x)=\frac{6x^2}{3x}+\frac{9x}{3x}=2x+3\]
3. Mách bạn các dạng toán thường gặp liên quan đến đa thức
3.1 Dạng 1: Nhận biết
Đối với bài tập này, các bạn học sinh cần dựa vào định nghĩa của đa thức, tức là tổng của nhiều đơn thức cộng lại. Từ đó, so sánh xem trong các sự lựa chọn mà đề bài đưa ra thì đáp án nào là đạt yêu cầu.
Bài 1: Trong các biểu thức sau, đâu không phải là đa thức ?
- \[16x^2-8xy^2+3\]
- \[x^3-8x^2+\sqrt{5}\]
- \[\sqrt{7}-5y^2-x\]
- \[\frac{1}{x}-3xy+5\]
Đáp án đúng sẽ là D, bởi lẽ biểu thức trên chứa hạng tử \[\frac{1}{x}\] không phải là đơn thức.
3.2 Thu gọn
Bài 2: Hãy thu gọn biểu thức sau đây:
\[Q=5x^2-3xy+\frac{1}{2}x^2y-xy+5xy-\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{4}\]
Giải:
\[Q=5x^2-3xy+\frac{1}{2}x^2y-xy+5xy-\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{4}\]
\[\Rightarrow=(5x^2y+\frac{1}{2}x^2y)+(-3xy-xy+5xy)+(-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}x)+(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})\]
\[\Rightarrow Q=11x^2y+xy+\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}\]
3.3 Dạng 3: Tìm bậc
Để có thể giải được dạng bài tập này, các bạn học sinh cần thực hiện thu gọn biểu thức trước nếu cần thiết. Tiếp đến chỉ cần xác định bậc của hạng tử đang có bậc cao nhất thì đó cũng chính là bậc của biểu thức cần tìm.
Ví dụ: Bậc của \[A=x^5-\frac{2}{5}x^5+2xy^2-\frac{3}{5}x^5+xy^2-1\] ?
Giải:
Thu gọn:
\[A=x^5-\frac{2}{5}x^5+2xy^2-\frac{3}{5}x^5+xy^2-1\]
\[=(x^5-\frac{2}{5}x^5-\frac{3}{5}x^5)+(2xy^2+xy^2)-1\]
\[=3xy^2-1\]
Suy ra, bậc của biểu thức trên là bậc của \[3xy^2\] là \[1+2=3\]
Trên đây là toàn bộ các lý thuyết tổng quan về đa thức mà các bạn học sinh cần phải nắm kỹ. Mong rằng, những thông tin mà chúng tôi chia sẻ đã giúp bạn có được những phút giây thư giãn, hăng say và tập trung trong học tập.
