Đa thức một biến

Đa thức một biến là một khái niệm cơ bản trong đại số, được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Đa thức một biến là một biểu thức đại số có dạng tổng các thành phần bao gồm các hệ số và biến số được nhân và cộng với nhau. Bậc của đa thức là số lớn nhất của các số mũ của biến số, và các hệ số có thể là các số nguyên, số thực hoặc số phức. Các phép toán trên đa thức một biến được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán khác nhau, từ tính toán cơ bản đến các ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật và kinh tế học. Trong đó, việc tìm nghiệm của đa thức là một vấn đề quan trọng và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về đa thức một biến và các phép toán cơ bản trên đa thức để giải quyết các bài toán liên quan đến đại số.

Đơn thức một biến

Định nghĩa: 

Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của gọi là hệ số, số mũ của luỹ thừa của biến một số thực với một luỹ thừa của biến, trong đó số thực gọi là bậc của đơn thức.

Ví dụ: 

Biểu thức 5x² là một đơn thức, trong đó 5 là hệ số, số mũ 2 của x là bậc của đơn thức đó.

Đơn thức -18y có hệ số là -18 và có bậc là 1 vì y = y¹

Số 7 là đơn thức bậc 0 vì có thể coi rằng 7 = 7x⁰

Chú ý:

Số 0 cũng là một đơn thức và đơn thức này không có bậc.

Đa thức một biến

Cho các ví dụ sau:

a) A = 2x² + 5x³ + 10x -8

b) B = 8x³ - 4x + 7

Quan sát các biểu thức trên ta nhận thấy rằng, các biểu thức trên đều có một biến x. Và các biểu thức như vậy được gọi là đa thức một biến

Định nghĩa:

Ví dụ:

Đa thức 5x³ + 7x² - 11 có ba hạng tử là 5x³; 7x² và -11

Ký hiệu:

Bậc và các hệ số của một đa thức

Ví dụ:

Xét đa thức A = -6x⁴ + 8x³ +15x² - 10x + 45

Bậc của các hạng tử trong đa thức A:

• Hạng tử -6x⁴ có bậc là 4
• Hạng tử 8x³ có bậc là 3
• Hạng tử 15x² có bậc là 2
• Hạng tử 10x có bậc là 1
• Hạng tử 45 có bậc là 0

Trong đa thức A, hạng tử có bậc cao nhất là -6x⁴ vậy đa thức A là đa thức bậc 4

Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất là -6

Hạng tử có hệ số tự do trong đa thức A là hạng tử 45.

Nghiệm của đa thức một biến

Một đa thức có thể có nhiều nghiệm hoặc không có nghiệm.

Ví dụ:

Cho đa thức P(x) = 4x² + 3x - 45

Tính các giá trị P(-1); P(2); P(3). Với giá trị nào của x thì P(x) có giá trị bằng 0?

Thực hiện phép tính:

P(-1) = 4.(-1)² + 3.(-1) - 45 = 4 - 3 - 45 = -44

P(2) = 4.2² + 3.2 - 45 = 16 + 6 - 45 = -23

P(3) = 4.3² + 3.3 - 45 = 36 + 9 - 45 = 0

Với giá trị P(3) thì P(x) có giá trị bằng 0, vậy suy ra x = 3 là nghiệm của đa thức P(x).

Bài tập

Bài 1: Tính

a) 

b)

Bài 2: Cho đa thức

A(x) = 5x² + 10x - 3x³ + 5x - 6x² - 15

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo luỹ thừa giảm của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức A(x)

Đáp án:

Bài 1: Tính

a)

b)

Bài 2: 

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo luỹ thừa giảm của biến

Thu gọn đa thức:

A(x) = 5x² + 10x - 3x³ + 5x - 6x² - 15

= (5x² - 6x²) + (10x + 5x) - 3x³ - 15

= (-1x²) + 15x - 3x³ -15

Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm của biến:

A(x) = -3x³ - 1x² + 15x - 15

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức A(x)

Trong đa thức A(x) = 5x² + 10x - 3x³ + 5x - 6x² - 15 có:

Hạng tử 3x³ là hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức A(x), vậy bậc cao nhất của đa thức là bậc 3.

Hệ số cao nhất là 3 (vì 3 là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất 3x³).

Hệ số tự do là -15.