Cộng, trừ đa thức một biến là kiến thức toán học cốt lõi mà bạn cần biết để có thể hiểu được những chuyên đề nâng cao sau này. Qua đó, bạn có thể thao tác cộng và trừ mọi loại đa thức một cách nhanh chóng. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết cách để thực hiện phép tính cũng như các dạng toán liên quan.
Bật mí khái niệm đa thức một biến là gì
1.Khái niệm
Đa thức một biến sẽ là một biểu thức dưới dạng đại số và chỉ có duy nhất một biến mà thôi. Các hệ số xuất hiện trong phép toán sẽ là số phức hoặc số thực. Đặc biệt, mỗi một hạng tử của đa thức bao gồm một biến duy nhất và kèm theo một luỹ thừa của biến đó, cùng với một hệ số. Dưới đây sẽ là công thức biểu diễn đa thức một biến:
\[P(x)=a_nx^n+a_{n-1}X^{n-1}+…+a_1x+a_0\]
Trong đó:
- x sẽ là biến của đa thức
- \[a_n,a_{n-1},…,a_1,a_0\] là các hệ số hoặc là số thực hoặc là số phức.
- n là số tự nhiên thể hiện bậc của đa thức, nó sẽ được xác định bằng số mũ cao nhất thuộc biến x có hệ số khác 0.
Ví dụ minh hoạ: Xét đa thức \[P(x)=3x^4-5x^3+10x^2+2x-25\]
Đa thức kể trên có bậc cao nhất là 4 (số mũ đi chung với x). Theo đó, các hệ số tương ứng sẽ là \[3,-5,10,2,25\].
2. Đặc điểm
- Đa thức một biến sẽ có hệ số là số phức hoặc số thực.
- Trong đa thức, có thể xuất hiện trường hợp không chứa số hạng của bậc bất kỳ, khi đó hệ số của bậc trên sẽ là 0.
- Đa thức có thể có hằng số hoặc không, nếu như tất cả các số mũ của biến đều là 0, thì lúc này hệ số của \[x^0\] sẽ chính là hằng số đó.
3. Một số loại đa thức một biến
- Đa thức không: Dạng đa thức này xuất hiện khi mà tất cả các hệ số của nó đều bằng 0
- Đa thức hằng: Đây là đa thức không có biến mà chỉ có duy nhất một hằng số \[P(x)=10\]
- Đa thức bậc nhất: Bậc cao nhất của đa thức là 1, \[P(x)=10x+8\]
- Đa thức bậc hai: Bậc của nhất của đa thức là 2, \[P(x)=4x^2-10x+8\]
- Đa thức bậc ba: Bậc cao nhất của đa thức là 3, \[P(x)=7x^3+4x^2-10x+8\].
Mách bạn cách thực hiện phép cộng, trừ đa thức một biến
Phép cộng đa thức một biến
Bạn có thể thực hiện phép toán này bằng cách cộng các hạng tử của hai hoặc nhiều đa thức có cùng bậc với nhau. Sau khi tính, đa thức mới được tạo thành sẽ có mỗi hệ số tương ứng với tổng các hệ số ở cả hai phương thức cho mỗi hạng tử có cùng bậc. Để thực hiện, bạn có thể làm theo quy trình như sau:
- Bước 1: Đầu tiên, hãy tiến hành viết lại đa thức đề bài cho theo dạng thứ tự giảm dần của số mũ của biến.
- Bước 2: Cần cộng hết các hệ số của hạng tử có cùng bậc, hoặc nói cụ thể hơn là cùng số mũ.
- Bước 3: Cần viết lại đa thức mới sau khi đã hoàn tất việc cộng hệ số.
Ví dụ minh hoạ: Cho \[P(x)=7x^3+4x^2-10x+8\], \[Q(x)=3x^3-4x^2+4x-2\]
\[\Rightarrow P(x)+Q(x)=(7x^3+4x^2-10x+8)+(3x^3-4x^2+4x-2)\]
Cộng các hạng tử có cùng bậc, ta được:
- Hệ số đi với \[x^3\]: \[7+3=10\]
- Hệ số đi với \[x^2\]: \[4-4=0\]
- Hệ số đi với \[x\]: \[-10-4=-14\]
- Hằng số: \[8-2=6\]
\[\Rightarrow P(x)+Q(x)=10x^3-14x+6\]
Trước khi thực hiện phép tính này, bạn cần sắp xếp lại các đa thức sao cho thứ tự bậc đi với biến đang giảm dần. Ngoài ra, hãy cộng các hạng tử có cùng bậc với nhau, ngược lại nếu không có hạng tử tương ứng, thì hạng tử của nó là 0. Lưu ý rằng, sau khi thực hiện phép cộng hai đa thức, thì kết quả cho ra vẫn là đa thức mới với bậc cao nhất giống như đa thức ban đầu.
Phép trừ đa thức một biến
Cũng tương tự như phép cộng, trừ đa thức một biến được thực hiện bằng cách trừ các hệ số cùng bậc. Theo đó, đa thức mới xuất hiện thể hiện cho sự chênh lệch của hai đa thức đề bài cho ban đầu. Quy trình thực hiện trừ hai đa thức một biến diễn ra như sau:
- Bước 1: Cần sắp xếp lại các đa thức theo thứ tự giảm dần của số mũ đi với biến.
- Bước 2: Hãy đổi dấu của tất cả các hệ số xuất hiện trong đa thức bị trừ.
- Bước 3: Thực hiện phép cộng hạng tử theo bậc trong hai đa thức như bình thường.
- Bước 4: Chốt lại kết quả là đa thức mới với các hạng tử có hệ số sau khi trừ.
Ví dụ minh hoạ: Cho \[P(x)=7x^3+4x^2-10x+8\], \[Q(x)=3x^3-4x^2+4x-2\]
\[\Rightarrow P(x)-Q(x)=(7x^3+4x^2-10x+8)-(3x^3-4x^2+4x-2)\]
\[\Rightarrow P(x)+Q(x)=(7x^3+4x^2-10x+8)+(-3x^3+4x^2-4x+2)\]
Cộng các hạng tử cùng bậc, ta được:
- Hệ số đi với \[x^3\]: \[7-3=4\]
- Hệ số đi với \[x^2\]: \[4+4=8\]
- Hệ số đi với \[x\]: \[-10+4=-6\]
- Hằng số: \[8+2=10\]
\[\Rightarrow P(x)-Q(x)=4x^3+8x^2-6x+10\]
Một số dạng bài tập nâng cao trong phép cộng, trừ đa thức một biến
Phép cộng, trừ đa thức một biến đã được thể hiện rất chi tiết và sống động thông qua những kiến thức trên. Tuy nhiên, để củng cố và thực hiện tính toán chính xác hơn, bạn cần luyện tập thêm nhiều dạng đề nâng cao liên quan sau đây:
Dạng 1: Phép cộng, trừ đa thức một biến (nhiều đa thức)
\[P(x)=3x^4-2x^3+5x-1\]
\[Q(x)=4x^3-x^2+3x+6\]
\[R(x)=x^4+2x^3-4x+7\]
Hãy tính \[(P(x)+Q(x))-R(x)\]
Lời giải:
- Bước 1: Đầu tiên, ta cần thực hiện phép cộng \[(P(x)+Q(x))\]
\[\Rightarrow P(x)+Q(x)=3x^4+(-2x^3+4x^3)+(-2x^2)+(5x+3x)+(-2+6)=3x^4+2x^3-x^2+8x+5\]
- Bước 2: Trừ kết quả trên với \[R(x)\]
\[(3x^4+2x^3-x^2+8x+5)-(x^4+2x^3-4x+7)\]
\[=(3x^4-x^4)+(2x^3-2x^3)+(-x^2)+(8x-(-4x))+(5-7)\]
\[=2x^4-x^2=12x-2\]
Dạng 2: Tìm giá trị tham số trong phép cộng, trừ hai đa thức
Cho hai đa thức có chứa tham số là: \[P(x)=ax^3+4x^2-10x+b,Q(x)=3x^3-6x^2+cx+5\]. Hãy tính a, b, c biết rằng \[P(x)+Q(x)=8x^3+2x^2-7x+14\].
Lời giải:
- Bước 1: Như thường lệ, ta cần thực hiện phép cộng \[P(x)+Q(x)\] trước:
\[P(x)+Q(x)=(ax^3+3x^3)+(4x^2+(-6x^2))+(-10x+cx)+(b+5)\]
\[\Rightarrow P(x)+Q(x)=(a+3)x^3-2x^2+(-10+c)x+(b+5)\]
- Bước 2: Thực hiện so sánh với kết quả mà đề bài đã cho trước đó, ta được:
\[a+3=8,-10+c=-7,b+5=14\]
- Bước 3: Giải lần lượt các phương trình trên ta tính được các tham số là: \[a=5,c=3,b=9\]
Bài viết trên đã mang đến đầy đủ các lý thuyết liên quan đến phép cộng, trừ đa thức một biến. Mong rằng, những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ sẽ giúp bạn dễ dàng thực hiện nhiều dạng bài tập nâng cao. Từ đó, mà mỗi học sinh đều có cho mình sự tự tin và mạnh mẽ để đạt được kết quả ngày càng tốt trong quá trình học tập.
