Khi tiếp xúc với chương trình toán hình vào những năm THCS, bạn sẽ được va chạm với định nghĩa đối xứng trục. Đây là một trong những khái niệm tiền đề giúp bạn hiểu rõ về sự cân đối hoặc phản chiếu giữa các hình ảnh với nhau. Bài viết sau đây sẽ tổng hợp chi tiết các kiến thức liên quan về chủ đề này cũng như ứng dụng của nó trong thực tế.
Bật mí định nghĩa đối xứng trục là gì
Đối xứng trục là một khái niệm toán học cơ bản, nhưng lại đóng vai trò chủ chốt để giải được nhiều bài khó sau này. Nó không chỉ giúp chúng ta có cái nhìn sâu sắc hơn về cấu trúc cũng như tính chất của nhiều dạng hình khác mà còn có vô vàn ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học.
Định nghĩa
Đối xứng trục sẽ được định nghĩa thông qua ví dụ sau: Hai điểm \[A,B\] được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d cho trước, nếu như d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó. Và trong tình huống này, d sẽ được gọi là trục đối xứng. Tức có nghĩa, d sẽ chia đoạn thẳng \[AB\] thành hai phần bằng nhau, đồng thời sẽ vuông góc với đoạn thẳng đó.
Giả sử, cho điểm \[A(x_1,y_1)\], và điểm \[B(x_2,y_2)\], thì đường thẳng d sẽ có phương trình là đường trung trực đoạn \[AB\].
Tính chất
- Phép đối xứng qua trục sẽ bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. Khi điểm đã nằm trên trục đối xứng thì đồng thời sẽ đối xứng với chính nó. Ví dụ, khi hai điểm \[A,B\] có khoảng cách là một đoạn bằng d, thì qua trục, ảnh của chúng cũng có khoảng cách tương tự.
- Phép đối xứng trục cũng biến đổi đường thẳng thành đường thẳng, và đoạn thẳng thành đoạn thẳng tương tự. Giả sử, đoạn thẳng \[AB\] khi làm phép đối xứng qua trục thì ảnh của nó cũng sẽ là đoạn thẳng giống hệt
- Góc giữa hai đường thẳng cũng được bảo toàn thông qua phép hình học này.
- Phép đối xứng cũng được hiểu tương tự khi áp dụng cho hình tam giác hoặc đường tròn có bán tâm O và bán kính là r thì sẽ cho ra một đường tròn C giống về kích thước.
Nếu như ta có một điểm \[A(x,y)\] thì khi thực hiện phép đối xứng qua trục hoành \[Ox\]. Ảnh của điểm A sẽ là \[B(x,-y)\]. Ngược lại, nếu như thực hiện đối xứng qua trục tung \[Oy\], thì ảnh của A sẽ là \[B(-x,y)\].
Những bài tập vận dụng liên quan đến đối xứng trục
Nhằm giúp bạn củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng tư duy và phân tích khi làm toán, chúng tôi đã tổng hợp một vài dạng bài tập vận dụng. Sau đây là những dạng đề về đối xứng trục và phương pháp giải mà bạn cần nắm:
Dạng 1: Đối xứng qua \[Oy\]
Bài tập: Cho điểm \[M(3,-2)\]. Hãy tìm toạ độ của \[M’\], biết rằng nó là ảnh của \[M\] qua trục đối xứng là \[Oy\].
- Đối với phép đối xứng qua trục tung \[Oy\], hoành độ của ảnh sẽ đổi dấu so với điểm đề bài cho, còn tung độ thì được giữ nguyên.
\[\Rightarrow M'(x’,y’)=M'(-3,-2)\]
Dạng 2: Đối xứng qua \[Ox\]
Bài tập: Cho điểm \[A(-4,5)\], hãy tính toạ độ của \[A’\], biết rằng nó là ảnh của \[A\] qua trục \[Ox\].
- Để xác định được tọa độ điểm đối xứng, ta biết rằng trục đang được xét là trục hoành, suy ra, tung độ sẽ phải đổi dấu còn hoành độ giữ nguyên.
\[\Rightarrow A'(x’,y’)=A'(-4,-5)\]
Dạng 3: Điểm đối đối xứng qua đường thẳng
Bài tập: Cho mặt phẳng toạ độ Oxy, cho một đường thẳng d có phương trình \[y=-1\]. Tìm ảnh của \[A\] qua d biết rằng \[A(-4,3)\].
- Bước 1: Xác định hình chiếu của \[A\] lên đường thẳng d. Để làm được điều này, bạn cần phải hệ phương trình tìm toạ độ của \[A’\].
- Bước 2: Sử dụng công thức toạ độ để tính toán, ta xác định được ảnh của \[A\] sẽ là \[A'(-4,-5)\].
Dạng 4: Đường thẳng đối xứng
Bài tập: Cho d có phương trình được biểu diễn là \[3x-y+2=0\], hãy tìm \[d’\] là ảnh của \[d\] qua trục Ox.
- Để tìm được ảnh của đường thẳng bằng phép đối xứng qua trục Ox thì ta chỉ cần đổi dấu hệ số đi với y trong phương trình và giữ nguyên x.
\[d:’3x-(-y)+2\Leftrightarrow d’:3x+y=2\].
Những lưu ý cần biết để làm tốt bài toán đối xứng trục
- Một bước cơ bản nhưng cực kỳ quan trọng đó là bạn cần phải nắm rõ khái niệm đối xứng trục là gì và làm để nào để dựng hình qua trục đối xứng.
- Khi giải bài tập, bạn cần linh hoạt sử dụng các tính chất của phép đối xứng trục để tìm ra đáp án nhanh.
- Đặc biệt, khi biến đổi trong hình học không gian hoặc toạ độ mặt phẳng, học sinh cần lưu ý kiểm tra lại dấu của các hệ số sau khi biến đổi xem đã chính xác hay chưa.
Bài viết trên đã cung cấp đầy đủ các kiến thức xoay quanh chuyên đề đối xứng trục. Mong rằng, qua những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ, bạn sẽ có được cái nhìn sâu sắc. Từ đó mà có được nhiều niềm vui cũng như sự thích thú khi học toán.
