Đối xứng trục

Trong hình học, đối xứng trục là một phép biến đổi trong đó một hình học được sao chép đối xứng qua một đường thẳng gọi là trục đối xứng. Đối xứng trục có thể được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán và vấn đề trong hình học, như tìm các điểm đối xứng qua một trục, xác định tính đối xứng của một hình học và tính toán các thông số của hình học sau khi thực hiện phép đối xứng trục. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về đối xứng trục, cách thực hiện phép đối xứng trục và các ứng dụng của nó trong hình học.

Nội dung chính

1. Đối xứng trục
2. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng
3. Hình có trục đối xứng
4. Bài tập ví dụ

1. Đối xứng trục

Định nghĩa: Khi đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì điểm A đối xứng với điểm B qua đường thẳng d. Khi đó đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai điểm A và B

A đối xứng với B qua d
⇔ d là đường trung trực của AB
Khi đó ta còn nói
A đối xứng với B qua d
Hoặc
A và B đối xứng với nhau qua d

Quy ước: Một điểm nằm trên trục đối xứng thì điểm đối xứng với nó qua trục đối xứng là chính nó

2. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng

Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua d với một điểm thuộc hình kia và ngược lại. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó.

Nhận xét: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.

3. Hình có trục đối xứng

Định nghĩa: Đường thẳng a gọi là trục đối xứng của hình F nếu điểm đối xứng qua a của mỗi điểm thuộc hình F cũng thuộc hình F

Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó.

4. Bài tập ví dụ

Bài1. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm I, trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AI = AK . Chứng minh rằng điểm I đối xứng với điểm K qua AH.

Lời giải
Ta có: ΔABC cân tại A; AH ⊥ BC (gt)
Suy ra: AH là tia phân giác của A
AI = AK (gt)
ΔAIK cân tại A
AH là tia phân giác của A
Nên AH là đường trung trực của IK
Vậy I đối xứng với K qua AH.

Bài 2. Tứ giác ABCD có AB = BC, AD = DC (hình cái diều). Chứng minh rằng điểm A đối xứng với điểm G qua đường thẳng BD.

Lời giải
Ta có:
BA = BC (gt)
Suy ra B thuộc đường trung trực của AC
DC = DA (gt)
Suy ra D thuộc đường trung trực của AC
Mà B ≠D nên BD là đường trung trực của AC
Do đó A đối xứng với C qua trục BD.

Bài 3. Cho tam giác MPQ có MQ < MP. Gọi d là đường thẳng trung trực của PQ. Vẽ điểm N đối xứng với điểm M qua đường thẳng d
a) Tìm các đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng MQ qua d, đối xứng với đoạn thẳng MP qua d.
b) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

Lời giải

a)
d là đường thẳng trung trực của PQ nên P và Q đối xứng qua d
N đối xứng với M qua d
Nên đoạn thẳng đối xứng với đoạn MQ qua d là đoạn NP
Đoạn thẳng đối xứng với đoạn MP qua d là đoạn NQ.
b)
d là đường trung trực của PQ (gt) ⇒ d ⊥ PQ
M và N đối xứng qua d nên d là trung trực của MN ⇒ d ⊥ MN
Suy ra: PQ // MN. Tứ giác MNPQ là hình thang.
MP và NQ đối xứng qua d nên MQ = NP
Vậy hình thang MNPQ là hình thang cân.

Bài 4. Chứng minh rằng giao điểm hai đường chéo hình thang cân nằm trên trục đối xứng của hình thang cân.