Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác
Một tam giác là một hình học đơn giản nhất, được tạo thành bởi ba đoạn thẳng giao nhau. Ba cạnh của tam giác tạo thành ba góc, và mỗi góc đều có một cạnh đối diện. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác được định nghĩa bởi định lý Cosin và định lý Sin. Từ những quan hệ này, chúng ta có thể tính toán được độ dài của một cạnh hoặc một góc trong tam giác, cung cấp những kiến thức cơ bản để giải các bài toán liên quan đến tam giác.
1. Lý thuyết quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác
Định lí: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Ví dụ: Cho tam giác có độ dài các cạnh là a, b, c. Ta có các bất đẳng thức sau:
- a + b > c
- a + c > b
- b + c > a
Các bất đẳng thức trong kết luận của định lí được gọi là các bất đẳng thức tam giác
b) Hệ quả của bất đẳng thức tam giác
Từ các bất đẳng thức tam giác, suy ra:
b - a < c c - a < b c - b < a
a - b < c a - c < b b - c < a
Như vậy từ định lí ta có hệ quả sau:
Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
Nhận xét:
Nếu xét đồng thời cả tổng và hiệu độ dài hai cạnh của một tam giác, thì quan hệ giữa các cạnh thì quan hệ giữa các cạnh của nó còn được phát biểu như sau:
Trong một tam giác độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại
Ví dụ như trong tam giác ABC, với cạnh BC ta có:
AB - AC < BC < AB + AC
2. Bài tập
Bài 1.
a) Có hay không một tam giác mà độ dài ba cạnh của nó tương ứng là: 2cm, 3cm, 6cm? Vì sao?
b) Bộ ba độ dài sau đây có thể là ba cạnh của một tam giác hay không? Vì sao?
- 2cm; 7cm; 9 cm;
- 5cm; 6cm; 7cm;
- 3cm; 4cm; 5cm.
c) Bạn Hồng nói: " Muốn biết độ dài của ba đoạn thẳng nào đó có tương ứng là độ dài của ba cạnh của một tam giác hay không ta chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng hai độ dài còn lại, hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu hai độ dài còn lại". Theo em bạn Hồng nói đúng hay sai? Vì sao?
Lời giải
a) Không có một tam giác nào mà độ dài ba cạnh của nó tương ứng là: 2cm, 3cm và 6cm. Vì tổng độ dài của hai cạnh 2cm và 3cm không lớn hơn độ dài của cạnh còn lại (6cm). Nó không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.
b)
Bộ ba độ dài 2cm, 7cm và 9cm không thể là ba cạnh của một tam giác được. Vì tổng độ dài của 2 cạnh 2cm và 7cm không lớn hơn độ dài của cạnh còn lại là 9cm.
Hai bộ ba độ dài "5cm, 6cm, 7cm" và "3cm, 4cm, 5cm" có thể là ba cạnh của một tam giác. Vì tổng độ dài của hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài của cạnh còn lại.
c) Theo em bạn Hồng nói vậy chưa chính xác.
Vì muốn biết độ dài của ba đoạn thẳng nào đó có tương ứng là độ dài của ba cạnh của một tam giác hay không ta không nhất thiết phải chọn độ dài lớn nhất hay độ dài nhỏ nhất để so sánh với tổng hay hiệu hai độ dài còn lại. Mà ta có thể chọn một độ dài bất kỳ để so sánh với tổng hay hiệu hai độ dài còn lại.
Bài 2. Cho tam giác ABC với hai cạnh BC = 1cm, AC = 7cm. Hãy tìm độ dài cạnh AB, biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì?
Lời giải
Theo bất đẳng thức tam giác ABC ta có:
AC – BC < AB < AC + BC
Thay BC = 1cm, AC = 7cm, ta được:
7 – 1 < AB < 7 + 1
6 < AB < 8 (1)
Vì độ dài AB là một số nguyên (cm) thỏa mãn (1) nên AB = 7cm.
Vì AB = AC = 7cm nên ΔABC cân tại A.
Bài 2. Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC.
a) So sánh MA với MI + IA, từ đó chứng minh MA + MB < IB + IA.
b) So sánh IB với IC + CB, từ đó chứng minh IB + IA < CA + CB.
c) Chứng minh bất đẳng thức MA + MB < CA + CB.
Lời giải
a) Trong ΔAMI ta có: MA < MI + IA
Cộng MB vào hai vế ta được:
MA + MB < MB + MI + IA
Vì MB + MI = IB nên MA + MB < IB + IA (1) (đpcm)
b) Trong ΔBIC ta có: IB < IC + CB
Cộng IA vào hai vế ta được:
IB + IA < IA + IC + CB
Vì IA + IC = CA nên IB + IA < CA + CB (2) (đpcm)
c) Từ (1) và (2) và theo tính chất bắc cầu ta suy ra:
MA + MB < CA + CB (đpcm)
Bài 3. Cho ΔOBC cân tại O. Trên tia đối của tia CO lấy điểm A. Chứng minh AB > AC
Lời giải
Xét tam giác OBA có: AO - OB < AB (bất đẳng thức tam giác)
⇒AC + OC - OB < AB
Lại có OB = OC (ΔOBC cân tại O)⇒AC < AB (điều phải chứng minh)
Bài 4. Cho góc \(\widehat{xOy}\) nhọn, trên tia Ox lấy hai điểm A và B ( điểm A nằm giữa O và B) . Trên Oy lấy hai điểm C và D (điểm C nằm giữa O và D). Chứng minh AB + CD < AD + BC
Lời giải
Gọi F là giao điểm của AD và BC
Xét Δ AFB, ta có AB < AF + FB (bất đẳng thức tam giác) (1)
Xét Δ CFD, ta có CD < CF + FD (bất đẳng thức tam giác) (2)
Từ (1) và (2) có AB + CD < AF + FB + CF + FD = AD + BC hay AB + CD < AD + BC (điều phải chứng minh)