Trong hình học, quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác chính được biết đến như một kiến thức cơ bản và cực kỳ quan trọng. Theo đó, việc hiểu tường tận về mối quan hệ này sẽ các em học sinh giải quyết tốt nhiều dạng bài, đồng thời tạo nền tảng vững chắc cho những kiến thức nâng cao về sau. Cùng tìm hiểu chuyên đề toán hình này thông qua nội dung bài viết sau nhé!
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Định lý
Trong môn hình học, khi xét đến mối quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, ta có một định lý cực kỳ quan trọng, được gọi là bất đẳng thức tam giác. Nếu nắm vững định lý này, bạn chắc chắn sẽ xác định xem ba đoạn thẳng có độ dài bất kỳ có thể tạo thành một hình tam giác hay không một cách nhanh chóng và chuẩn xác.
Nội dung của định lý là: Trong một hình tam giác, độ dài của mỗi cạnh sẽ luôn nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại.
Cụ thể, xét \[\triangle ABC\] có ba cạnh là \[\textit{AB},\textit{BC},\textit{AC}\], ta sẽ có tổng cộng ba bất đẳng thức sau:
- \[AB+AC>BC\]
- \[AB+BC>AC\]
- \[AC+BC>AB\]
\[\Rightarrow AB-AC<BC<AB+AC\]
1.2. Tính chất bổ sung
Thực tế, không chỉ nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại, mỗi cạnh của một hình tam giác cũng sẽ luôn lớn hơn hiệu tuyệt đối của hai cạnh còn lại. Ví dụ là: \[AB>\left|AC-BC\right|\] và tương tự với các cạnh còn lại.
1.3. Nhận xét về quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác
Giả sử ba cạnh của một hình tam giác được ký hiệu là a, b, c thì mối quan hệ giữa ba cạnh này sẽ thỏa mãn:
\[\left|b-c\right|<a<b+c\]
Đương nhiên, điều này cũng sẽ đúng với cả các cạnh còn lại. Việc nắm vững mối liên hệ này sẽ giúp bạn dễ dàng xác định xem liệu ba số cho trước có thể tạo thành một hình tam giác hay không. Hơn thế nữa, kiến thức này cũng chính là nền tảng đặc biệt quan trọng để giải quyết hiệu quả các dạng bài toán hình học phẳng thường gặp.
2. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác – Dạng bài thường gặp
2.1. Sử dụng điều kiện tồn tại của một tam giác
Đối với dạng bài thế này, bạn cần phải áp dụng những kiến thức sau:
- Ba đoạn thẳng a, b, c chắc chắn sẽ lập nên một hình tam giác nếu:
\[\left\{\begin{matrix}a<b+c\hspace{4cm}\\b<a+c\hspace{0.5cm}(\left|b-c\right|<a<b+c)\\c<a+b\hspace{4cm}\end{matrix}\right.\]
- Trong trường hợp đã xác định được a sở hữu số đo lớn nhất trong 3 số, thì điều kiện tồn tại chỉ cần có \[a<b+c\].
Theo đó, bước làm bài cụ thể như sau:
- Bước 1: Dựa vào nội dung của bất đẳng thức tam giác để xét cẩn thận từng trường hợp.
- Bước 2: Lựa chọn một giá trị thích hợp nhất.
Ví dụ 1: Cho một hình \[\triangle ABC\] có \[BC=1cm,AC=7cm\]. Hãy tính độ dài cạnh \[\textit{AB}\], được biết, độ dài này là một số nguyên.
Lời giải:
Gọi độ dài của cạnh \[\textit{AB}\] là x (cm) (với \[x>0\])
Theo bất đẳng thức trong hình \[\triangle ABC\], ta có:
\[\left|BC-AC\right|<AB<BC+AC\]
\[\Rightarrow\left|1-7\right|<x<1+7\Rightarrow 6<x<8\]
Vì x thuộc số nguyên, nên \[x=7cm\]
Như vậy, độ dài của cạnh \[AB=7cm\]
Ví dụ 2: Dựa vào quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác (bất đẳng thức), hãy kiểm tra xem bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho dưới đây có thể tạo thành một hình tam giác hay không?
- a) 3cm, 4cm, 6cm
- b) 2m, 4m, 8m
- c) 1cm, 3cm, 4cm
Lời giải:
- a) Ta có \[6<3+4\] nên bộ ba đoạn thẳng có thể là ba cạnh của một hình tam giác.
- b) Không, vì \[8>2+4\]
- c) Không, vì \[4=1+3\]
Ví dụ 3: Bộ ba độ dài nào dưới đây có thể là tạo thành độ dài của cả 3 cạnh trong một hình tam giác?
- a) 6cm; 8cm; 16cm
- b) 5,5cm; 3,1cm; 2,4cm
- c) 13,7cm; 8,2cm; 5,3cm
- d) 8m; 12m; 7m.
Lời giải:
- a) Không có, vì \[16>8+6\]
- b) Có, vì \[5,5<3,1+2,4\]
- c) Không có, vì \[13,7>8,2+5,3\]
- d) Có, vì \[12<7+8\]
2.2. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác – CM bất đẳng thức về độ dài
Khi gặp phải dạng bài yêu cầu chứng minh thế này, bạn sẽ phải dùng đến một vài kiến thức sau:
- Bất đẳng thức tam giác và những biến đổi có liên quan đến bất đẳng thức.
- Cộng cùng một số vào cả hai vế của bất đẳng thức:
\[a<b\Rightarrow a+c<b+c\]
- Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều:
\[\left.\begin{matrix}a<b\\c<d\end{matrix}\right\}\Rightarrow a+c<b+d\]
Ví dụ: Cho hình \[\triangle ABC\] có \[\textit{M}\] là trung điểm của đoạn \[\textit{BC}\]. Chứng minh rằng \[\left|\frac{AB-AC}{2}\right|<AM<\frac{AB+AC}{2}\]
Lời giải:
Trên tia \[\textit{AM}\] lấy điểm \[\textit{D}\] sao cho \[AM=MD\]
Xét \[\triangle AMB\] và \[\triangle DMC\] có:
- AM = MD
- \[\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\] (đối đỉnh)
- BM = MC (gt)
Do đó \[\triangle AMB=\triangle DMC(c.g.c)\]
\[\Rightarrow AB=DC\] (hai cạnh tương ứng)
Xét \[\triangle ACD\], có:
\[\left|DC-AC\right|<AD<AC+DC\] (bất đẳng thức tam giác)
Do \[AB=DC\] (cmt) và \[AD=2AM\] nên ta có:
\[\left|AB-AC\right|<2AM<AB+AC\]
Vậy \[\left|\frac{AB-AC}{2}\right|<AM<\frac{AB+AC}{2}\]
3. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Độ dài hai cạnh của một hình tam giác lần lượt là 6cm và 2cm. Bạn hãy tính nhanh độ dài của đoạn còn lại, biết rằng, độ dài của cạnh này theo cm thuộc nhóm số chẵn trong số tự nhiên.
Lời giải:
Giả sử \[\triangle ABC\] có \[AB=6cm,AC=2cm\]
Theo bất đẳng thức của hình tam giác, ta có \[AB-AC<BC<AB+AC\]. Suy ra \[4<BC<8\]. Mà \[\textit{BC}\] lại có độ dài theo cm thuộc nhóm số chẵn trong số tự nhiên nên \[\textit{BC}=6cm\]
Bài tập 2: Cho hình \[\triangle ABC\] có \[\textit{M}\] là trung điểm của đoạn \[\textit{BC}\]. Hãy chứng minh rằng \[AB+AC>2AM\].
Lời giải:
Ngay trên tia đối của \[\textit{MA}\], lấy một điểm \[\textit{D}\] sao cho: \[MD=MA\]
Xét \[\triangle MAB\] và \[\triangle MDC\], ta có:
MA = MD
\[\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\] (đối đỉnh)
MB = MC (gt)
\[\Rightarrow\triangle MAB=\triangle MDC\] (c.g.c)
\[\Rightarrow AB=DC\] (hai cạnh tương ứng)
Xét \[\triangle ADC\], ta có: \[CD+AC>AD\] (bất đẳng thức nằm trong một tam giác)
Do đó: \[AB+AC>AD\] mà \[AD=2AM\]
\[\Rightarrow AB+AC>2AM\] (đpcm)
Bài tập 3: Cho điểm \[\textit{M}\] nằm trong hình \[\triangle ABC\]. Hãy chứng minh \[MB+MC<AB+AC \], từ đó suy ra \[MA+MB+MC<AB+AC+BC\].
Lời giải:
Kẻ đường thẳng \[\textit{BM}\] cắt cạnh \[\textit{AC}\] ngay tại \[\textit{D}\].
Xét \[\triangle ABD\], ta có: \[BD<AB+AD\Rightarrow MB+MD<AB+AD\] (1)
Xét \[\triangle MDC\], ta có: \[MC<MD+DC\] (2)
Từ (1) và (2), suy ra:
\[MB+MC+MD<AB+AD+DC+MD\]
\[\Rightarrow MB+MC<AB+AC\]
Chứng minh tương tự, ta sẽ có: \[MA+MC<AB+BC\] và \[MA+MB<AC+BC\]
Do đó: \[2.(MA+MB+MC)<2.(AB+AC+BC)\]
\[\Rightarrow MA+MB+MC<AB+AC+BC\]
Bài viết trên đây đã nêu rất rõ ràng về mối quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đã ghi nhớ được các kiến thức trọng điểm và giải quyết tốt dạng bài thuộc chuyên đề này rồi nhé!