Trong cuộc sống, chúng ta thường bắt gặp các tình huống không thể biết chắc điều gì sẽ xảy ra. Lúc này, để hiểu và ước lượng khả năng xảy ra của bất kỳ sự kiện nào đó, người ta sẽ dùng đến khái niệm xác suất thực nghiệm. Hãy theo dõi bài viết để khám phá sâu hơn về công cụ quan trọng trong toán thống kê và xác suất học này nhé!
1. Tổng hợp kiến thức trọng điểm
1.1. Phép liệt kê, phép thử ngẫu nhiên
Trước khi tìm hiểu sâu hơn về xác suất thực nghiệm, bạn cần biết khái niệm phép thử ngẫu nhiên và phép liệt kê. Trong đó, phép thử ngẫu nhiên hay còn gọi là phép thử (ký hiệu là t), được hiểu đơn giản là một hành động hoặc thí nghiệm mang tính bất định, đồng thời nó phải thỏa mãn một số điều kiện cụ thể sau:
- Có thể thực hiện việc lặp đi lặp lại nhiều lần với cùng một điều kiện.
- Kết quả thu được sau này sẽ không thể xác định chính xác trước khi thực hiện xong phép thử.
- Từ phép thử đó, ta có thể xác định được một danh sách bao gồm tất cả các khả năng có thể xảy ra.
Trong khi đó, phép liệt kê chính là tập hợp toàn bộ các kết quả có thể diễn ra của một phép thử nào đó (ký hiệu là N).
1.2. Sự kiện liên quan đến phép thử
Ta xem sự kiện A là một tập hợp gồm một vài kết quả có thể diễn ra khi tiến hành bất kỳ phép thử nào đó, tức là \[ A\subseteq N\]. Khi đó, chúng ta sẽ phân loại các sự kiện như sau:
- Sự kiện chắc chắn: Chắc chắn sẽ xảy ra trong bất kỳ lần thực hiện nào của phép thử.
- Sự kiện không thể: Chẳng bao giờ diễn ra trong một lần thực hiện nào của phép thử.
- Sự kiện có thể: Có thể xuất hiện trong một vài lần thực hiện phép thử.
1.3. Xác suất thực nghiệm
Giả sử ta tiến hành một lần thực hiện phép thử bằng cách lặp lại n lần và quan sát xem sự kiện A sẽ xảy ra bao nhiêu lần. Khi đó:
- Tần số của A cũng chính là số lần mà sự kiện A sẽ xuất hiện trong quá trình thực hiện một phép thử.
- Tỷ số giữa số lần thử n và tần số của A chính là tần suất của A.
- Khi số lần thử n tăng lên thì tần suất xuất hiện của A cũng sẽ dần tiệm cận một giá trị cố định và giá trị này sẽ được gọi là xác suất thực nghiệm của A.
Nếu sự kiện A xảy ra n(A) lần trong tổng số n phép thử, thì xuất suất sẽ được tính dựa theo công thức:
\[P(A)=\frac{n(A)}{n}\]
Trong đó:
- n(A): Số lần sự kiện A diễn ra.
- n: Tổng số lần thực hiện phép thử.
2. Một vài dạng bài tập thường gặp về xác suất thực nghiệm
2.1. Liệt kê kết quả có thể xảy ra và nêu số phần tử của tập hợp
Đối với dạng bài này, bạn cần dựa vào những kiến thức sau:
- Để tìm được những kết quả có thể diễn ra của bất kỳ phép thử nào đó, bạn cần mô phỏng hay suy luận các tình huống có thể xuất hiện khi tiến hành phép thử đó.
- Tập hợp các kết quả có thể diễn ra sẽ được trình bày theo dạng của một tập hợp gồm các phần tử, ví dụ: \[ X=\left\{a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n}\right\}\]
- Số lượng phần tử nằm trong tập hợp có thể được xác định nhanh bằng cách:
- Đếm trực tiếp từng trường hợp;
- Áp dụng một quy tắc cụ thể nào đó, tùy thuộc vào hoàn cảnh của bài toán.
Ví dụ: Trong hộp bút của Hương có 1 bút đỏ, 1 bút xanh, 1 bút tím. Bạn hãy liệt kê đủ các khả năng có thể diễn ra của mỗi hoạt động sau. Đồng thời, hãy viết chính xác tập hợp tất cả những kết quả có thể diễn ra đó.
- a) Lấy ra một bút từ hộp
- b) Lấy ra cùng lúc 2 cây bút.
Lời giải:
- a) Khi lấy 1 bút từ hộp, chúng ta sẽ có các khả năng sau:
Hoạt động 1: Lấy 1 bút từ hộp 3 bút sẽ có thể lấy được 1 cây bút xanh.
Hoạt động 2: Lấy 1 bút từ hộp 3 bút sẽ có thể lấy được 1 cây bút đỏ.
Hoạt động 3: Lấy 1 bút từ hộp 3 bút sẽ có thể lấy được 1 cây bút tím.
Như vậy, tập hợp tất cả các trường hợp có thể xảy ra là X = {1 bút xanh, 1 bút tím, 1 bút đỏ} với số phần tử là 3.
- b) Khi lấy đồng thời 2 cây bút ra từ trong hộp bút của Hương, chúng ta sẽ thu được những khả năng sau:
Trường hợp 1: Lấy 2 trong 3 bút sẽ có khả năng nhận được 1 bút đỏ, 1 bút xanh hay \[ X=\left\{X,D\right\}\]
Trường hợp 2: Lấy 2 trong 3 bút sẽ có thể nhận được 1 bút xanh, 1 bút tím hay \[ X=\left\{X,T\right\}\]
Trường hợp 3: Lấy 2 trong 3 bút có thể nhận được 1 bút tím, 1 bút đỏ hay \[ X=\left\{Đ,T\right\}\]
Trường hợp 4: Lấy 2 bút từ 3 bút trong hợp có thể nhận được 2 cây bút màu đỏ hay \[ X=\left\{D,D\right\}\]
Trường hợp 5: Lấy ra 2 bút từ số 3 bút trong hộp có thể thu được 2 cây bút tím hay \[ X=\left\{T,T\right\}\]
Trường hợp 6: Lấy 2 bút từ tổng 3 bút có thể gặp cả 2 cây bút màu xanh hay \[ X=\left\{X,X\right\}\]
Như vậy, tập hợp của tất cả các kết quả có thể diễn ra là \[ X=\left\{XX,DD,TT,DT,XT,XD\right\}\] với 6 phần tử.
2.2. Tính xác suất thực nghiệm
Khi gặp phải dạng bài thế này, bạn chỉ cần áp dụng ngay công thức tính xác suất của thực nghiệm, cụ thể là:
\[P=\frac{n(A)}{n}\]
Ví dụ 1: Tung 2 đồng xu có bề mặt cân đối trong 50 lần, ta được kết quả sau:
| Số sự kiện | Hai đồng sấp | Một đồng ngửa, một đồng sấp | Hai đồng ngửa |
| Số lần sự kiện diễn ra | 12 | 24 | 14 |
Hãy tính xác suất của thực nghiệm cho các sự kiện
- a) Một đồng ngửa, một đồng sấp.
- b) Hai đồng xu ngửa.
Lời giải:
- a) Xác suất của thực nghiệm từ sự kiện một đồng ngửa, một đồng sấp trong tổng 50 lần thử là:
\[P(A)=\frac{n(A)}{n}=\frac{24}{50}=0,48\]
- b) Xác suất của thực nghiệm từ sự kiện hai đồng xu ngửa trong tổng 50 lần thử là:
\[P(A)=\frac{n(A)}{n}=\frac{24}{50}=0,48\]
Ví dụ 2: Liên lục gieo một con xúc xắc có đủ 6 mặt trong 100 lần, ta thu được kết quả như bảng sau:
| Mặt | 1 chấm | 2 chấm | 3 chấm | 4 chấm | 5 chấm | 6 chấm |
| Số lần xuất hiện | 17 | 18 | 15 | 14 | 16 | 20 |
Hãy tính:
- a) Xác suất của thực nghiệm theo sự kiện gieo được mặt 6 chấm
- b) Xác suất của thực nghiệm theo sự kiện gieo được mặt chấm chẵn
- c) Xác suất của thực nghiệm theo sự kiện gieo được mặt chấm lẻ
Lời giải:
- a) Gọi xác suất của thực nghiệm gieo được 6 mặt là \[P_{1}\]. Khi đó:
\[P_{1}=\frac{n(A)}{n}=\frac{20}{100}=0,2\]
- b) Gọi xác suất của thực nghiệm gieo được mặt chấm chẵn là \[P_{2}\]. Khi đó:
\[P_{2}=\frac{n(A)}{n}=\frac{18+14+20}{100}=0,52\]
- c) Gọi xác suất của thực nghiệm theo được mặt chấm lẻ là \[P_{3}\]. Khi đó:
\[P_{3}=\frac{n(A)}{n}=\frac{17+15+16}{100}=0,48\]
2.3. Nhận biết sự kiện có liên quan đến phép thử
Nhận biết sự kiện của phép thử cũng được xem là dạng bài tập phổ biến trong chuyên đề xác suất thực nghiệm. Theo đó, để nhận biết đâu là sự kiện có thể xảy ra/ chắc chắn xảy ra/ không xảy ra, bạn chỉ cần dựa vào kiến thức mà chúng tôi đã đề cặp ở phần 1.2. Sự kiện liên quan đến phép thử”.
Ví dụ: Trong một hộp thiết nhỏ có tổng 10 lá thăm đã được đánh số từ 0 – 9. Lấy ra từ hộp 2 lá thăm. Trong những sự kiện được cho bên dưới, sự kiện nào là chắc chắn xảy ra/ có thể xảy ra/ không thể xảy ra
- a) Tổng của số chấm tử hai lá thăm rút được đúng bằng 1.
- b) Tích số chấm được ghi trên cả hai lá thăm đúng bằng 1.
- c) Tích của số chấm có trên hai lá thăm đúng bằng 0.
- d) Tổng số chấm có trên cả hai lá thăm sẽ lớn hơn 0
- e) Tổng số chấm được ghi trên cả hai lá thăm lớn hơn 18
Lời giải:
Vì các lá thăm được đánh dấu từ 0 – 9, nên:
- a) Trường hợp tổng số chấm của cả hai lá thăm rút được bằng 1 thuộc sự kiện có thể xảy ra. Ví dụ: lá thứ nhất ghi 0 chấm, lá thứ hai ghi 1 chấm.
- b) Việc tích của số chấm trên cả hai lá thăm đúng bằng 1 cũng thuộc nhóm sự kiện có khả năng xảy ra, chẳng hạn như khi cả hai lá đều mang số 1 chấm.
- c) Tích của số chấm có trên hai lá thăm đúng bằng 0 là sự kiện có thể xảy ra, chẳng hạn như: lá đầu tiên cho 1 chấm, lá thứ hai cho 0 chấm.
- d) Tổng số chấm được ghi trên cả hai lá thăm lớn hơn 0 được xem là sự kiện chắc chắn xảy ra. Vì tất cả các số đều lớn hơn 0.
- e) Tổng số chấm ghi trên cả hai lá sẽ lớn hơn 18 chính là sự kiện không thể xảy ra. Vì chẳng có 2 lá nào cộng lại có tổng lớn hơn 18 cả.
3. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Hãy liệt kê đầy đủ, nhanh chóng tập hợp của tất cả các trường hợp có thể xảy ra cho phép thử sau:
- a) Lấy ra 1 cây bút từ hộp chứa 1 bút chì và 1 bút bi.
- b) Bạn Hùng chỉ chọn một ngày trong tuần để đi học đá bóng.
- c) Lấy một bóng từ thùng xốp chứa 10 quả bóng đã được đánh số từ 1 – 10.
Bài tập 2: Trong một hộp kín hình chữ nhật có một vài quả bóng màu tím, vàng, đỏ, xanh. Trong một trò chơi, người chơi sẽ được rút ngẫu nhiên một quả bóng, ghi lại màu rồi bỏ lại vào hộp. Sau khi Tuyết thực hiện việc làm này 100 lần thì nhận được bảng kết quả sau:
| Màu bóng | Số lần ra |
| Xanh | 43 |
| Đỏ | 22 |
| Tím | 18 |
| Vàng | 17 |
Hãy xác định đúng xác suất thực nghiệm của 2 sự kiện sau:
- a) Tuyết lấy được quả bóng có màu xanh.
- b) Quả bóng được lấy ra từ hộp không phải màu đỏ.
Đáp án:
Bài tập 1:
- a) X = {1 bút chì, 1 bút bi}.
- b) X = {T2, T3, T4, T5, T6, T7, CN}.
- c) X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Bài tập 2:
- a) \[P=\frac{n(A)}{n}=\frac{43}{100}=0,43\]
- b) \[P=\frac{n(A)}{n}=\frac{43+18+17}{100}=0,78\]
Xác suất thực nghiệm là một khái niệm quan trọng thuộc toán xác suất và thống kê. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đã có thể nhận diện và giải quyết được các dạng bài có liên quan đến chuyên đề toán học này rồi nhé