Học toán luôn là niềm yêu thích của nhiều học sinh, nhưng cũng là môn khó nhằn với không ít bạn. Rút gọn phân số là kiến thức nền tảng rất quan trọng, nắm rõ phần này sẽ giúp các bạn học sinh áp dụng hiệu quả và yêu thích học toán hơn. Hôm nay, hãy cùng chúng tôi ôn luyện lại các công thức, các dạng bài tập và vận dụng thuần thục hơn nhé.
Rút gọn phân số là gì?
Rút gọn phân số hay còn gọi tối giản phân số, là quá trình biến đổi phân số về dạng đơn giản hơn, tức là tử số và mẫu số không còn chia được cho số tự nhiên nào lớn hơn 1. Khi rút gọn, giá trị của phân số không thay đổi, chỉ biểu diễn dưới dạng ngắn gọn và dễ hiểu hơn. Rút gọn các phân số là kỹ năng cơ bản nhưng rất quan trọng trong học toán, đặc biệt là các bài toán liên quan đến phân thức đại số.
Vậy khi nào thì chúng ta cần tối giản phân số:
- Khi cần biểu diễn kết quả ngắn gọn, dễ hiểu.
- Khi giải toán có liên quan đến so sánh hoặc tính toán nhiều phân số.
- Khi cần kiểm tra kết quả có đúng hay không (nhiều bài toán yêu cầu kết quả ở dạng rút gọn).
Lý thuyết cần nhớ
Để rút gọn phân số đúng và nhanh, học sinh cần nắm vững một số kiến thức lý thuyết quan trọng sau:
- Khái niệm phân số tối giản: một phân số được gọi là tối giản khi tử số và mẫu số không còn chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1, tức là chúng nguyên tố cùng nhau (ƯCLN = 1).
- Rút gọn hay tối giản phân số không làm thay đổi giá trị phân số. Ví dụ: \[\frac{6}{9} = \frac{2}{3}\]
- Quy tắc chung: một phân số có thể được rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của chúng.
- Nếu phân số có chứa biến số (ẩn), ta có thể phân tích tử và mẫu thành nhân tử, rồi rút gọn các thừa số giống nhau.
Công thức rút gọn phân số
Thực hiện rút gọn phân số không khó và nhanh chóng hơn nếu bạn có nền tảng nhân chia tốt. Để thực hiện rút gọn phân số, bạn chỉ cần thực hiện đúng theo quy trình 3 bước sau:
- Bước 1: Xác định phân số cần rút gọn, ký hiệu là \[\frac{a}{b}\]
- Bước 2: Tìm Ước Chung Lớn Nhất (ƯCLN) của a và b, ký hiệu là \[d=ƯCLN(a,b)\]
- Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN: \[\frac{a}{b}=\frac{a\div d}{b\div d}\]
Với phân thức đại số, ta cần phân tích biểu thức thành nhân tử để tìm thừa số chung trước khi rút gọn.
Các dạng bài tập tối giản phân số
Việc rút gọn phân số có thể gặp trong nhiều tình huống khác nhau, nhưng chung quy lại một số các dạng bài cơ bản và thường gặp nhất như sau:
Dạng 1: Tối giản phân số số học (không có biến)
Đây là dạng đơn giản nhất, ta chỉ cần tìm ƯCLN của tử và mẫu rồi chia cả hai cho ƯCLN.
Chẳng hạn như: \[\frac{20}{28}=\frac{20\div 4}{28\div 4}=\frac{5}{7}\]
Dạng 2: Tối giản phân số chứa biến (phân thức đại số)
Dạng này yêu cầu học sinh biết phân tích đa thức thành nhân tử. Chẳng hạn như với ví dụ sau: \[\frac{x^2 – x – 6}{x^2 – 9}\]
Phân tích thành:
= \[\frac{(x – 3)(x + 2)}{(x – 3)(x + 3)}\]
=\[ \frac{x + 2}{x + 3}\] \[\quad (x \ne 3)\]
Dạng 3: Rút gọn trước khi thực hiện phép tính (cộng, trừ, nhân, chia phân số)
Trước khi tính toán, bạn nên rút gọn các phân số để đơn giản phép tính. Điều này giúp việc tính toán nhanh chóng và dễ dàng hơn.
Chẳng hạn như:\[\frac{6}{4} + \frac{15}{10} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3}{4}\]
Dạng 4: Rút gọn biểu thức tổng quát hoặc có điều kiện
Một số bài yêu cầu bạn rút gọn biểu thức và chỉ ra điều kiện xác định (khi mẫu khác 0).
Ví dụ như: \[\frac{2x(x+1)}{4x} = \frac{2}{x+1}\] \[\quad (x \ne 0)\]
Bài tập vận dụng có đáp án
Để ghi nhớ và thuần thục công thức lý thuyết trên, áp dụng làm bài tập là bước quan trọng không thể thiếu. Bạn có thể luyện tập với các dạng toán thường gặp và lời giải như sau:
Bài 1: Rút gọn các phân số sau
- \[\frac{15}{25}\]
- \[\frac{18}{24}\]
- \[\frac{45x^2}{60x}\]
- \[\frac{x^2-9}{x-3}\]
- \[\frac{x^2+2x}{x}\]
- \[ \frac{6x^2 – 18}{3x – 9}\]
Hướng dẫn và đáp án:
- \[\frac{3}{5}\] bằng cách chia cả tử và mẫu cho 5
- \[\frac{3}{4}\] bằng cách chia cả tử và mẫu cho 6
- \[\frac{60x}{45x^2}= \frac{20}{15x} = \frac{4}{3x}\]
- \[\frac{x – 3}{x^2 – 9}= \frac{x – 3}{(x – 3)(x + 3)}= \frac{1}{x + 3}\] \[\quad (x \ne 3)\]
- \[\frac{x}{x^2 + 2x} = \frac{x}{x(x + 2)} = \frac{1}{x + 2}\] \[\quad (x \ne 0)\]
- Phân tích tử số: \[6x^2 – 18 = 6(x^2 – 3)\]
Phân tích mẫu số: \[3x – 9 = 3(x – 3)\]
Rút gọn: \[\frac{6x^2 – 18}{3x – 9} = \frac{6(x^2 – 3)}{3(x – 3)}=\frac{2(x^2 – 3)}{x – 3}\]
Bài 2: Rút gọn rồi tính
Bạn hãy thực hiện rút gọn các phân số sau:
- \[\frac{12}{18}+\frac{10}{15}\]
- \[\frac{x^2-9}{x^2+2x}\] với \[\x=1\]
Hướng dẫn giải gợi ý với từng bài như sau:
Bài 1: Thực hiện theo các bước
- Rút gọn các phân số: \[\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\] (chia tử và mẫu cho 6) và \[\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\] (chia tử và mẫu cho 5)
- Cộng phân số đã rút gọn: \[\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\]
Bài 2: Thực hiện theo từng bước
- Tử số: \[x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)\]
- Mẫu số: \[x^2 – 2x = x(x – 2)\]
- ⇒ Biểu thức rút gọn: \[\frac{(x – 3)(x + 3)}{x(x + 2)} \quad \text{(x ≠ 0, x ≠ -2)}\]
- Thay \[x=1\] vào biểu thức đã rút gọn, ta được kết quả \[\frac{-8}{3}\]
Lời kết
Trên đây là tổng hợp kiến thức và bài tập về rút gọn phân số, công thức toán này không chỉ giúp tiết kiệm thời gian làm bài mà còn giúp bạn học toán hiệu quả hơn. Chỉ cần nhớ đúng cách tìm ƯCLN của tử và mẫu, luyện tập thường xuyên, bạn sẽ thấy dạng toán này rất đơn giản. Hãy bắt đầu từ những bài cơ bản và nâng dần độ khó để thành thạo kỹ năng này nhé.