Chu vi và diện tích hình tứ giác
Hình tứ giác là một đa giác bao gồm bốn cạnh và bốn đỉnh. Tùy vào hình dạng của các cạnh và góc, hình tứ giác được phân loại thành nhiều loại khác nhau như hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi, hình bậc thang... Trong bài viết này, chúng ta sẽ tập trung vào các công thức tính chu vi và diện tích của hình tứ giác.
1. Hình tứ giác là gì?
Tứ giác là một đa giác có 4 cạnh và 4 đỉnh. Trong đó không có bất kì 2 đoạn thẳng nào cùng nằm trên một đường thẳng. Tứ giác đơn có thể lồi hay lõm.
Tứ giác ABCD thường được kí hiệu là \(\diamondsuit \ ABCD\)
Các dạng tứ giác thường gặp là: hình thang, hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi,...
2. Chu vi hình tứ giác
Chu vi của một tứ giác bất kỳ bằng tổng độ dài bốn cạnh.
Công thức
C = a + b + c + d
Trong đó
- C là chu vi hình tứ giác
- a, b,c, d là độ dài các cạnh tứ giác
3. Diện tích hình tứ giác
Diện tích của một tứ giác bất kỳ bằng ½ tích của độ dài đường chéo thứ nhất, độ dài đường chéo thứ 2 và sin của góc tạo bởi hai đường chéo đó.
Công thức
\(S=\frac12a.d.\sin A+\frac12b.c.\sin C\)
Trong đó: a, b, c, d là độ dài các cạnh tứ giác
Diện tích của hình thang bằng ½ tích của tổng hai cạnh đáy và chiều cao
\(S=\frac12h(a+b)\)
Trong đó
- a, b lần lượt là cạnh đáy của hình thang
- h là đường cao nối từ đỉnh tới đáy của hình thang
Diện tích của hình bình hành sẽ bằng tích của độ dài một cạnh và độ dài chiều cao tương ứng.
\(S=a.h\)
Trong đó
- a là cạnh đáy
- h là chiều cao
Diện tích của hình thoi bằng ½ tích của độ dài đường chéo thứ nhất với độ dài đường chéo thứ 2.
\(S=\frac12d_1.d_2\)
Trong đó: d1, d2 lần lượt là hai đường chéo của hình thoi
Diện tích của hình chữ nhật sẽ bằng tích của chiều dài và chiều rộng
\(S=a.b\)
Trong đó
- a là chiều dài
- b là chiều rộng
Diện tích của hình vuông sẽ bằng bình phương độ dài một cạnh.
\(S=a^2\)
Trong đó a là độ dài cạnh hình vuông
Diện tích tứ giác nội tiếp đường tròn
Với tứ giác có các cạnh lần lượt là a, b, c, d. Diện tích của tứ giác nội tiếp đường tròn bằng
\(S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\)
Trong đó p là nửa chu vi tứ giác được tính bằng công thức
\(p=\frac{a+b+c+d}2\)
Diện tích tứ giác ngoại tiếp đường tròn
Diện tích của tứ giác ngoại tiếp đường tròn bằng p.r với p là nửa chu vi của tứ giác, r là độ dài bán kính đường tròn nội tiếp
Công thức
\(S=p.r\)
4. Bài tập
Bài 1. Tính chu vi hình tứ giác có độ dài các cạnh là:
a) 3 dm, 8 dm, 2 dm và 7 dm.
b) 11 cm, 16 cm, 12 cm và 18 cm.
Lời giải
a. Chu vi hình tứ giác là:
3 + 8 + 2 + 7 = 20 (dm)
Đáp số: 18 dm.
b. Chu vi hình tứ giác là:
11 + 16 + 12 + 18 = 57 (cm)
Đáp số: 57 cm.
Bài 2. Cho tứ giác MNPQ có chu vi là 52 cm, tổng độ dài hai cạnh MN và NP là 20 cm. Tìm tổng độ dài hai cạnh PQ và QM
Lời giải:
Ta có chu vi tứ giác MNPQ là: P = MN + NP + PQ + QM = 52
Mà MN + NP = 20
⇒ P = 20 + (PQ + QM) = 52 (cm)
Tổng độ dài hai cạnh PQ và QM là: PQ + QM = 52 – 20 = 32
Đáp số: 32cm
Bài 3. Tính diện tích hình tứ giác MBND. Biết hình chữ nhật ABCD có chiều dài DC = 36 cm; chiều rộng AD = 20 cm và AM =1/3 MB, BN = NC.
Lời giải
Diện tích hình tứ giác MBND bằng diện tích hình chữ nhật ABCD trừ đi tổng diện tích của hai hình tam giác ADM và DCN
Ta có: \(AM\;=\;\frac13MB\;hay\;AM=\frac14AB\)
Suy ra AM = 36:4 = 9 cm
BN = NC = 20:2 = 10 cm
Diện tích hình tam giác ADM là:
20×9:2 = 90 cm2
Diện tích hình tam giác DCN là:
36×10:2 = 180 cm2
Diện tích hình chữ nhật ABCD là
36×20 = 720 cm2
Diện tích hình tứ giác MBND là
720 - (90+180) = 450 cm2
Đáp số 450 cm2
Bài 4. Cho hình thang cân ABCD (AB// CD) có AB = 30cm, CD = 50cm, diện tích hình thang bằng 800 cm2. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
b) Tính diện tích tứ giác MNPQ.
Lời giải
a) Ta có ABCD là hình thang cân ⇒ AC = BD
Xét tam giác ABD có M, Q lần lượt là trung điểm của AB, AD (giả thiết)
⇒ MQ là đường trung bình
⇒ \(MQ//BD,\;MQ=\frac12BD\)
Chứng minh tương tự ta có MN, NP lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC, tam giác BCD. Suy ra
\(MN//AC\\MN=\frac12AC\\NP//BD\\NP=\frac12BD\)
Xét tứ giác MNPQ có MQ // NP, MQ = NP = 1/2 BD nên tứ giác MNPQ là hình bình hành
Mà MN = NP (AC = BD)
Suy ra MNPQ là hình thoi
b) Xét hình thang ABCD có N, Q lần lượt là trung điểm BC, AD (giả thiết)
⇒ NQ là đường trung bình
⇒ NQ // AB // CD
⇒\(NQ=\frac{AB+CD}2=\frac{30+50}2=40cm\)
Hình thoi MNPQ có MP\(\perp\)NQ nên MP vuông góc với hai đáy AB, CD. Suy ra MP là đường cao của hình thang cân ABCD
\(S_{ABCD}=\frac12(AB+CD)MP\\\Rightarrow800=\frac12(30+50)MP\\\Rightarrow MP\;=\;\frac{1600}{80}=20cm\)
\(\\S_{MNPQ}\;=\;\frac12NQ.MP=\frac1220.40=400\;cm^2\)