Key chính: Hệ thức Vi-et

Mô tả: Hệ thức Vi-et có thể ứng dụng để giải nhiều dạng bài tập như tìm tổng và tích của phương trình bậc 2, viết lại phương trình gốc. 

Bài viết 

Hệ thức Vi-et là gì? Ứng dụng và bài tập ví dụ kèm lời giải

Trong chương trình đại số THCS và THPT, hệ thức Vi-et là một trong những phần kiến thức quan trọng, được ứng dụng vào nhiều dạng bài tập. Hệ thức này chỉ ra mối quan hệ giữa tổng và tích của các nghiệm trong đa thức với hệ số tương ứng. 

Hệ thức Vi-et là gì?

Hệ thức Vi-et hay còn gọi là định lý Vi-et được phát triển bởi nhà toán học người Pháp François Viète. Định lý này chỉ ra mối quan hệ giữa các ẩn số hay nghiệm của đa thức. 

Với phương trình bậc hai: \[ax^{2}+bx+c=0\] 

Điều kiện ở đây là a ≠ 0, \[x_{1}\] và \[x_{2}\] lần lượt là nghiệm của phương trình trên nếu:

\[\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}&\\x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}&\\\end{matrix}\right.\]

\[\left\{ \begin{gathered}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a} \hfill \\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Ví dụ: Cho phương trình \[2x^{2}+x-3=0\] , vì \[\Delta=25>0\] nên theo hệ thức Vi-et ta có: \[\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=\frac{-1}{2}&\\x_{1}x_{2}=\frac{-3}{2}&\\\end{matrix}\right.\]

Ứng dụng của hệ thức Vi-et trong giải toán 

Thông qua mối quan hệ giữa từng nghiệm trong đa thức, bạn sẽ không khó để ứng dụng định lý Vi-et vào giải một số bài tập. Sau đây là phần giới thiệu những dạng toán phổ biến có thể áp dụng Vi-et. 

Tìm tổng và tích của nghiệm trong phương trình bậc 2

Theo hệ thức Vi-et, chúng ta có thể áp dụng vào dạng toán tìm tổng và tích của các nghiệm trong phương trình bậc 2.

Ví dụ: Tìm tổng và tích của hai nghiệm trong phương trình \[2x^{2}-5x+3=0\]

Giải:

Dựa vào mối quan hệ giữa các nghiệm trong đa thức theo Vi-et ta có: 

\[\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=\frac{5}{2}&\\x_{1}x_{2}=\frac{3}{2}&\\\end{matrix}\right.\]

Lập phương trình khi biết tổng và tích của hai nghiệm

Trường hợp biết tổng và tích của hai nghiệm, chúng ta có thể dễ dàng viết lại phương trình gốc. Dạng toán này tuy không phổ biến nhưng vẫn có khả năng xuất hiện trong một số đề thi. 

Ví dụ: Biết một phương trình bậc hai có nghiệm \[x_{1}=4,x_{2}=7\], hãy viết lại phương trình này. 

Giải: Theo Vi-et ta có: 

\[\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=11&\\x_{1}x_{2}=28&\\\end{matrix}\right.\]

Như vậy, phương trình gốc cần tìm ở đây là \[x^{2}-11x+28=0\] 

Tính giá trị của biểu thức theo nghiệm của phương trình cho trước 

Với dạng toán này, bạn cần tính giá trị theo biểu thức đề bài cho.

Cho phương trình \[x^{2}-5x+6=0\], hãy tìm giá trị biểu thức \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\]

Giải: \[{x_1}^2 + {x_2}^2 = {({x_1} + {x_2})^2} – 2{x_1}{x_2}\]

Ở dạng bài tập tính giá trị theo biểu thức cho trước, bạn nên triển khai biểu thức thành dạng hằng đẳng thức, không nhất thiết phải tốn thời gian tìm giá trị của từng nghiệm. Như vậy, quá trình tính toán sẽ nhanh hơn. 

Xét dấu các nghiệm của phương trình 

Trong nhiều đề thi, bạn có thể bắt gặp dạng toán yêu cầu xét dấu từng nghiệm trong phương trình. Với dạng toán này bạn không cần phải giải phương trình mà nên áp dụng hệ thức Vi-et.

Ví dụ: Chứng minh hai nghiệm của phương trình \[x^{2}-6x+8=0\] đều là số dương.

Giải: Dựa vào hệ thức Vi-et ta có: 

Tổng hai nghiệm \[x_{1}+x_{2}=6\] 

Tích hai nghiệm \[x_{1}x_{2}=8\]  

Dễ thấy rằng vì tổng và tích của hai nghiệm đều lớn hơn 0 nên hai nghiệm đó đều là số dương.

Tìm số nguyên thỏa mãn điều kiện cho trước 

Đây là dạng toán khá phổ biến trong chương trình phổ thông. Để tìm giá trị số nguyên trong một phương trình cho trước, bạn hãy thử áp dụng hệ thức Vi-et.

Ví dụ: Cho phương trình \[x^{2}-(m+1)x+m=0\], xác định số nguyên m để phương trình có nghiệm.

Giải: 

Theo quan hệ giữa các nghiệm trong đa thức theo hệ thức Vi-et ta có:

 \[x_{1}+x^{2}=m+1,x_{1}x_{2}=m\] 

Lần lượt thay m bằng giá trị 2, 6, -2, -6 ta có các nghiệm nguyên của phương trình thỏa mãn điều kiện. 

Ngoài là một số dạng cơ bản trên, hệ thức Vi-et còn được ứng dụng trong giải phương trình bậc cao, tìm giá trị cực trị cùng nhiều dạng toán khác.

Lưu ý khi ứng dụng hệ thức Vi-et để giải bài tập 

Khi sử dụng hệ thức Vi-et để giải bài tập, bạn cần nắm rõ mối liên hệ giữa tổng và tích của các nghiệm với hệ số tương ứng trong phương trình. Phần lớn bài tập cơ liên quan đến ứng dụng Vi-et đều không yêu cầu quá phức tạp. Tuy nhiên, nếu muốn giải nhanh, bạn cần nắm rõ các hằng đẳng thức, so sánh điều kiện đề bài. 

Trong đó với phương trình bậc hai, hệ số a luôn phải khác 0. Trường hợp a = 0 thì phương trình thường chỉ có một nghiệm. Lúc này, hệ thức Vi-et không còn phù hợp để áp dụng. 

Một số bài tập tự luyện kèm đáp án 

Đề bài: 

Bài 1: Tìm nghiệm của các phương trình sau: 

1. \[x^{2}-5x+6=0\] 
2. \[2x^{2}+3x-2=0\] 
3. \[2x^{2}-7x+3=0\] 

Bài 2: Tìm m để phương trình \[x^{2}-3x+m=0\] có nghiệm, sao cho \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10\] .

Bài 3: So sánh tổng và tích của hai nghiệm trong phương trình \[x^{2}-5x+6=0\].

Đáp án: 

Bài 1: 

1. \[x_{1}=2,x_{2}=3\] 
2. \[x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=-2\]
3. \[x_{1}=\frac{3}{2},x_{2}=2\] 

Bài 2: \[m=\frac{9}{2}\] 

Bài 3: \[x_{1}+x_{2}<x_{1}x_{2}\] 

Lời kết 

Trong chương trình đại số, hệ thức Vi-et được ứng dụng để giải nhiều dạng bài tập như tìm nghiệm của phương trình, xác định giá trị hệ số để phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó, viết lại phương trình gốc khi biết tổng và tích của hai nghiệm,… Hy vọng thông qua bài viết trên đây, bạn đã phần nào nắm rõ tính chất cơ bản và cách thức ứng dụng hệ thức này trong giải toán!