Hệ thức Vi-ét
Hệ thức Vi-ét là một công thức toán học quan trọng trong giải phương trình bậc hai và bậc ba. Được đặt tên theo nhà toán học người Pháp Vi-ét, hệ thức này đã đóng góp rất lớn vào sự phát triển của đại số. Bài viết này sẽ giới thiệu về hệ thức Vi-ét, cách sử dụng nó để giải phương trình bậc hai và bậc ba, và một số ví dụ minh họa để giúp bạn hiểu rõ hơn về công thức này.
Hệ thức Vi-ét
"Hệ thức Vi-ét" (hay còn gọi là "phương trình Vi-ét") là một công thức toán học được đặt tên theo nhà toán học người Pháp Vi-ét (Viète) và được sử dụng để giải phương trình bậc hai và bậc ba.
Công thức Vi-ét cho phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c = 0 là:
x = (-b ± \(\sqrt(b^2 - 4ac)\)) / 2a
Công thức Vi-ét cho phương trình bậc ba có dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0 là:
x = (u + v + w) / 3a
v = (-(u + w) + 2b\(\sqrt3\)) / 6a
u = (-(w + v) - 2b\(\sqrt3\)) / 6a
w = (-b + (b2 - 3ac)1/2) / 3a
Trong đó, a, b, c, d là các hệ số của phương trình, và sqrt là ký hiệu căn bậc hai.
Định lý Vi-ét
Định lý Vi-ét là một định lý toán học liên quan đến các hệ số của một đa thức và các nghiệm của nó. Định lý này khẳng định rằng tổng của các nghiệm của một đa thức bậc n bất kỳ (với n > 0) bằng đúng với hệ số của hạng tử bậc n-1 chia cho hệ số của hạng tử bậc n. Tương tự, tích của các nghiệm của đa thức bằng đúng với hằng số tự do chia cho hệ số của hạng tử bậc n.
Cụ thể, cho đa thức bậc n có dạng:
P(x) = an xn + a{n-1} x{n-1} + ... + a1 x + a0
Với a_n khác 0, các nghiệm của đa thức được ký hiệu là x1, x2, ..., xn. Khi đó, định lý Vi-ét khẳng định rằng:
- x1 + x2 + ... + xn = - a{n-1} / an
- x1 x2 ... xn = (-1)n a0 / an
Định lý Vi-ét có thể được mở rộng để áp dụng cho các đa thức có hạng tử bậc cao hơn và có các hệ số phức. Định lý này là một trong những định lý cơ bản trong lý thuyết đa thức và có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, bao gồm đại số, phương trình vi phân và lý thuyết số.
Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Giả sử chúng ta muốn tìm hai số a và b biết tổng và tích của chúng. Để giải quyết vấn đề này, ta có thể sử dụng phương trình bậc hai có dạng:
x2 - (a + b)x + ab = 0
Trong đó x là một số không xác định. Khi đó, ta có thể áp dụng công thức Vi-ét để giải phương trình này:
x = [(a + b) ± \(\sqrt((a + b)^2 - 4ab)\)] / 2
Do đó, ta có thể tìm được hai số a và b bằng cách giải hệ phương trình sau đây:
a + b = tổng của hai số ab = tích của hai số
Bằng cách thay a + b và ab vào phương trình bậc hai ở trên, ta có thể tìm ra giá trị của x. Sau đó, giá trị của a và b có thể được tính bằng cách giải các phương trình sau:
- a = x
- b = tổng của hai số - a
Lưu ý rằng nếu tích của hai số là 0, tức là một trong hai số bằng 0, thì ta chỉ cần tìm số còn lại là được.
Bài tập luyện tập
1. Tìm các nghiệm của đa thức sau: x2 - 5x + 6 = 0.
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là 7 và 12.
3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là -3 và -28.
4. Tìm các nghiệm của đa thức sau: 2x2 + 5x - 3 = 0.
5. Tìm các nghiệm của đa thức sau: x2 - 4x + 4 = 0.
Đáp án:
1. Tìm các nghiệm của đa thức sau: x2 - 5x + 6 = 0.
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 + x2 = 5 x1x2 = 6
Giải hệ phương trình này, ta có:
x1 = 2
x2 = 3
Vậy các nghiệm của đa thức là x1 = 2 và x2 = 3.
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là 7 và 12.
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
a + b = 7
ab = 12
Giải hệ phương trình này, ta có:
a = 3
b = 4
Hoặc:
a = 4
b = 3
Vậy hai số đó là 3 và 4 hoặc 4 và 3.
3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là -3 và -28.
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
a + b = -3
ab = -28
Giải hệ phương trình này, ta có:
a = 4
b = -7
Hoặc:
a = -7 b = 4
Vậy hai số đó là 4 và -7 hoặc -7 và 4.
4. Tìm các nghiệm của đa thức sau: 2x2 + 5x - 3 = 0.
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 + x2 = -5/2 x1x2 = -3/2
Giải hệ phương trình này, ta có:
x1 = -3
x2 = 1/2
Hoặc:
x1 = 1/2
x2 = -3
Vậy các nghiệm của đa thức là x1 = -3 và x2 = 1/2 hoặc x1 = 1/2 và x2 = -3.
- Tìm các nghiệm của đa thức sau: x2 - 4x + 4 = 0.
Đa thức này có dạng (x - 2)2 = 0. Vậy nghiệm của đa thức là x = 2.