Hướng dẫn giải phương trình bậc hai 1 ẩn không hoặc có chứa tham số

Phương trình bậc hai 1 ẩn là dạng toán cực kỳ quen thuộc và quan trọng trong chương trình toán học từ khối lớp 9 trở lên. Theo đó, việc giải loại phương trình này không chỉ giúp các em học sinh rèn luyện kỹ năng tư duy logic mà còn là nền tảng cho các dạng bài nâng cao khác. Cùng khám phá chi tiết phương pháp giải phương trình bậc hai có một ẩn này nhé!

1. Các kiến thức cần nhớ

Để giải quyết nhanh và chuẩn xác các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai, trước tiên chúng ta cần phải nắm vững một số kiến thức cơ bản. Những nội dung dưới đây sẽ giúp bạn hệ thống lại toàn bộ phần lý thuyết quan trọng nhất, bắt đầu từ định nghĩa cho đến dấu nghiệm của phương trình bậc hai.

1.1. Định nghĩa phương trình bậc hai 1 ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là một loại phương trình có dạng: 

\[ ax^{2}+bx+c=0\]

Trong đó: 

• x: ẩn số
• a, b, c: các hệ số (hay những con số cho trước) (với \[ a\neq 0\])

1.2. Công thức nghiệm của phương trình

Đối với dạng phương trình bậc hai \[ax^{2}+bx+c=0\] (với \[ a\neq 0\]) và biệt thức \[\Delta=b^{2}-4ac\]: 

• Nếu ta thấy \[\Delta>0\]  thì phương trình sẽ có 2 nghiệm phân biệt, lần lượt là: \[x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a};x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\]
• Nếu ta thấy \[\Delta=0\] thì phương trình sẽ sở hữu nghiệm kép là: \[x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\]
• Nếu ta thấy \[\Delta<0\] thì phương trình đã cho chắc chắn vô nghiệm.

Chú ý rằng: Nếu phương trình đề cho có a và c ngược dấu với nhau thì \[\Delta>0\]. Lúc này, phương trình sẽ có 2 nghiệm phân biệt như trên.

1.3. Công thức nghiệm thu gọn

Đối với phương trình bậc hai 1 ẩn dạng: \[ax^{2}+bx+c=0\] (với \[ a\neq 0\]) và \[b=2b’,\Delta’=b’^{2}-ac\]: 

• Nếu nhận thấy \[\Delta’>0 \] thì phương trình sẽ có 2 nghiệm phân biệt, cụ thể là: \[x_{1}=\frac{-b’+\sqrt{\Delta’}}{a};x_{2}=\frac{-b’-\sqrt{\Delta’}}{a}\]
• Nếu nhận thấy \[\Delta’=0 \] thì phương trình đó sở hữu nghiệm kép là: \[x_{1}=x_{2}=-\frac{b’}{a}\]
• Nếu nhận thấy \[\Delta'<0 \] thì phương trình đã cho chắc chắn vô nghiệm.

1.4. Hệ thức Viet

Nội dung của hệ thức Viet: Nếu \[x_{1},x_{2}\] lần lượt là các nghiệm của phương trình bậc hai dạng \[ax^{2}+bx+c=0\] (với \[ a\neq 0\]), thì: 

\[\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a};x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}\end{matrix}\right.\]

Nếu hai số đó có tích bằng \[\mathbf{P}\] và tổng bằng \[\mathbf{S}\] thì hai số đó sẽ là 2 nghiệm của phương trình.: 

\[X^{2}-SX+P=0\] (điều kiện là: \[S^{2}-4P\geq 0\])

1.5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai 1 ẩn

Cho một phương trình: \[ax^{2}+bx+c=0\] (với \[ a\neq 0\]) (1)

• (1) có 2 nghiệm ngược dấu  \[\Leftrightarrow P<0\]
• (1) có 2 nghiệm cùng dấu \[\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\Delta\geq 0\\P>0\end{matrix}\right.\]
• (1) có 2 nghiệm dương phân biệt \[\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\Delta>0\\P>0\\S>0\end{matrix}\right.\]
• (1) Có 2 nghiệm âm phân biệt \[\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\Delta>0\\P>0\\S<0\end{matrix}\right.\]

Lưu ý: Giải phương trình dạng trên bằng cách nhẩm nghiệm:

• Nếu ta nhẩm được: \[x_{1}+x_{2}=m+n;x_{1}x_{2}=mn\], thì phương trình sẽ có các nghiệm lần lượt là: \[x_{1}=m,x_{2}=n\]
• Nếu \[a+b+c=0\], thì phương trình có nghiệm: \[x_{1}=1,x_{2}=\frac{c}{a}\]
• Nếu \[a-b+c=0\], thì phương trình lúc này sẽ có nghiệm: \[x_{1}=-1,x_{2}=-\frac{c}{a}\]

2. Các dạng bài phổ biến về chuyên đề giải phương trình bậc hai 1 ẩn

Trong chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn, có rất nhiều dạng bài tập khác nhau và mỗi dạng đều yêu cầu học sinh vận dụng một phương pháp giải phù hợp. Với nội dung phần dưới đây, chúng ta sẽ tìm hiểu hướng giải đúng của một vài dạng bài thường gặp và ví dụ cụ thể.

2.1. Giải phương trình bậc 2 với tổng quát là \[ax^{2}+bx+c=0\]

Đối với dạng bài như thế này, bạn hoàn toàn có thể chọn giữa 1 trong 3 cách giải sau:

• Phương pháp 1: Chuyển đổi phương trình đã cho về phương trình tích rồi mới giải phương trình tích đó. 
• Phương pháp 2: Sử dụng đến công thức nghiệm tổng quát (hay công thức nghiệm thu gọn) để giải nhanh phương trình bậc hai. 
• Phương pháp 3: Giải phương trình đề cho bằng cách nhẩm nghiệm mà chúng tôi đã nêu ở phần lý thuyết. 

Ví dụ: Giải phương trình sau: \[5x^{2}-6x+1=0\]

Lời giải: 

• Phương pháp 1: 

\[5x^{2}-6x+1=0\Leftrightarrow 5x^{2}-5x-x+1=0\Leftrightarrow 5x(x-1)-(x-1)=0\]

\[\Leftrightarrow(5x-1)(x-1)=0\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}5x-1=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{5}\\x=1\end{matrix}\right.\]

Vậy tập nghiệm của phương trình \[5x^{2}-6x+1=0\] là: \[S=\left\{1;\frac{1}{5}\right\}\]

• Phương pháp 2: 

Ta có: \[a=5;b=-6\Rightarrow b’=\frac{b}{2}=\frac{-6}{2}=-3;c=1\]

\[\Delta’=b’^{2}-ac=(-3)^{2}-5.1=9-5=4>0\]

Vậy phương trình này sẽ sở hữu 2 nghiệm phân biệt là: 

\[x_{1}=\frac{-b’+\sqrt{\Delta’}}{a}=\frac{-(-3)+\sqrt{4}}{5}=\frac{3+2}{5}=1\]

\[x_{2}=\frac{-b’-\sqrt{\Delta’}}{a}=\frac{-(-3)-\sqrt{4}}{5}=\frac{3-2}{5}=\frac{1}{5}\]

• Phương pháp 3: 

Ta có: \[a=5;b=-6,c=1\] và \[a+b+c=5+(-6)+1=0\]

Nên phương trình chắc chắn sẽ có 2 nghiệm phân biệt, lần lượt là: \[x_{1}=1\] và \[x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{1}{5}\]

2.2. Giải phương trình bậc hai 1 ẩn đã bị khuyết mất b hoặc c

Đây cũng là một trong những dạng bài có tần suất xuất hiện khá cao trong các bài kiểm tra về phương trình bậc hai. Tuy nhiên, bạn không cần phải lo lắng! Để giải quyết dạng bài này, bạn chỉ cần làm đúng theo hướng dẫn sau: 

• Khuyết b: Nếu phương trình bị đi khuyết b, nó sẽ có dạng \[ax^{2}+c=0(a\neq 0)\] và bạn cần phải biến đổi \[\Leftrightarrow x^{2}=\frac{-c}{a}\]. Khi đó, phương trình này sẽ có nghiệm khi và chỉ khi \[\frac{-c}{a}\geq 0\]. Lúc này, nghiệm của phương trình là \[x=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}\]
• Khuyết c: Nếu phương trình bị khuyết c, nó sẽ có dạng \[ax^{2}+bx=0(a\neq 0)\] và bạn phải biến đổi nó thành phương trình tích \[ax^{2}+bx=0(a\neq 0)=x(ax+b)=0\] để tìm nghiệm. Khi đó, phương trình này sẽ có 2 nghiệm, lần lượt là: \[x=0\] và \[x=\frac{-b}{a}\]

Ví dụ: Giải các phương trình sau: 

1. a) \[2x^{2}=8\]
2. b) \[x^{2}-5x=0\]

Lời giải

1. a) 

\[2x^{2}=8\Leftrightarrow x^{2}=\frac{8}{2}\Leftrightarrow x^{2}=4\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=\sqrt{4}\\x=-\sqrt{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\]

1. b) 

\[x^{2}-5x=0\Leftrightarrow x(x-5)=0\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=0\\x-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=0\\x=5\end{matrix}\right.\]

2.3. Giải phương trình bậc hai 1 ẩn chứa tham số

Khi gặp phải dạng bài như thế này, bạn không nên hoảng hốt mà chỉ cần thực hiện đúng theo hướng dẫn dưới đây: 

• Bước 1 – Xét các trường hợp đặc biệt của tham số m: Đầu tiên, bạn hãy tìm những giá trị đặc biệt khiến phương trình đề cho trở nên đơn giản hơn hoặc không còn là dạng phương trình bậc hai (ví dụ như m = 0 hoặc a = 0). Sau đó, hãy thay từng giá trị đặc biệt vào phương trình ở trên để giải riêng biệt.
• Bước 2 – Tính biệt thức \[\Delta \]: \[\Delta=b^{2}-4ac\]. Lưu ý rằng: a, b, c là những biểu thức theo m, nên \[\Delta \] cũng sẽ là một biểu thức theo m. 
• Bước 3 – Biện luận theo dấu của \[\Delta \]: 
  • Nếu \[\Delta>0\]: Phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt.
  • Nếu \[\Delta=0\]: Phương trình mang nghiệm kép.
  • Nếu \[\Delta<0\]: Phương trình vô nghiệm. 
• Bước 4: Viết kết luận rõ ràng. 

Ví dụ 1: Cho phương trình \[mx^{2}-2(m-2)x+m-3=0\] (với m là tham số). Hãy tiến hành biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình. 

Lời giải: 

\[mx^{2}-2(m-2)x+m-3=0\] (1)

Nếu m = 0, thay vào (1), ta có: \[4x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}\]

Nếu \[m\neq 0\], ta lập \[\Delta’=(m-2)-m(m-3)=-m+4\]

• \[\Delta'<0\Leftrightarrow-m+4<0\Leftrightarrow m>0\]: Phương trình (1) vô nghiệm. 
• \[\Delta’=0\Leftrightarrow-m+4=0\Leftrightarrow m=4\]: Phương trình (1) nghiệm kép: 

\[x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{a}=\frac{m-2}{m}=\frac{4-2}{2}=\frac{1}{2}\]

• \[\Delta’>0\Leftrightarrow-m+4>0\Leftrightarrow m<4\]: Phương trình (1) sẽ sở hữu nghiệm phân biệt: 

\[x_{1}=\frac{m-2-\sqrt{-m+4}}{m}\]; \[x_{2}=\frac{m-2+\sqrt{-m+4}}{m}\]

Vậy: 

m > 4: Phương trình (1) vô nghiệm. 

m = 0: Phương trình (1) có nghiệm kép \[x=\frac{1}{2}\]. 

\[0\neq m<4\]: Phương trình (1) sở hữu 2 nghiệm phân biệt: \[x_{1}=\frac{m-2-\sqrt{-m+4}}{m}\]; \[x_{2}=\frac{m-2+\sqrt{-m+4}}{m}\]

m = 0: Phương trình (1) có nghiệm đơn \[x=\frac{3}{4}\].

Ví dụ 2: Cho phương trình bậc hai 1 ẩn: \[x^{2}+2x+m-1=0\] (trong đó thì m là tham số). Hãy tiến hành biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình. 

Lời giải: 

\[x^{2}+2x+m-1=0\] (2)

Ta có: \[\Delta’=1^{2}-(m-1)=2-m\]

• \[\Delta'<0\Leftrightarrow 2-m>0\Leftrightarrow m>2\]: Phương trình (2) vô nghiệm. 
• \[\Delta’=0\Leftrightarrow 2-m=0\Leftrightarrow m=2\]: Phương trình (2) sở hữu nghiệm kép \[x_{1}=x_{2}=\frac{-b’}{a}=-1\]
• \[\Delta’>0\Leftrightarrow 2-m>0\Leftrightarrow m<2\]: Phương trình (2) sở hữu 2 nghiệm \[x_{1}=\frac{-b’+\sqrt{\Delta’}}{a}=-1+\sqrt{2-m};x_{2}=\frac{-b’-\sqrt{\Delta’}}{a}=-1-\sqrt{2-m}\]

Kết luận: 

Vậy m > 2 thì phương trình (2) chắc chắn sẽ vô nghiệm. 

m = 2: Phương trình (2) đã cho mang nghiệm kép \[x_{1}=x_{2}=\frac{-b’}{a}=-1\]

m < 2: Phương trình (2) được 2 nghiệm \[x_{1}=\frac{-b’+\sqrt{\Delta’}}{a}=-1+\sqrt{2-m};x_{2}=\frac{-b’-\sqrt{\Delta’}}{a}=-1-\sqrt{2-m}\]

2.4. Lập phương trình bậc hai khi biết trước tổng và tích của hai nghiệm

Đối với dạng bài này, bạn cần áp dụng kiến thức: Nếu \[x_{1}+x_{2}=S;x_{1}x_{2}=P \], thì \[x_{1};x_{2}\] cũng chính là nghiệm của phương trình \[X^{2}-SX+P=0\]

Ví dụ: Lập phương trình bậc hai mới khi biết nó có hai nghiệm là \[\frac{1}{10-\sqrt{72}}\] và \[\frac{1}{10+6\sqrt{2}}\]. 

Lời giải: 

Ta có: 

\[\left\{\begin{matrix}S=\frac{1}{10-\sqrt{72}}+\frac{1}{10+6\sqrt{2}}=\frac{5}{7}\\P=\frac{1}{10-\sqrt{72}}.\frac{1}{10+6\sqrt{2}}=\frac{1}{28}\end{matrix}\right.\]

Vậy phương trình bậc hai sở hữu 2 nghiệm \[\frac{1}{10-\sqrt{72}}\] và \[\frac{1}{10+6\sqrt{2}}\] là \[X^{2}-\frac{5}{7}+\frac{1}{28}=0\]

3. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Giải phương trình: 

1. a) \[3x^{2}+5x-2=0\]
2. b) \[x^{2}-8x-15=0\]
3. c) \[7x^{2}+8x+9=0\]
4. d) \[x^{2}-9x+10=0\]

Bài tập 2: Giải rồi biện luận phương trình: \[x^{2}-2(m+1)+2m+10=0\]

Đáp án: 

• Bài tập 1: a) x = -2; \[x=\frac{1}{3}\], b) x = 3, x = 5, c) Vô nghiệm, d) \[x_{1,2}=\frac{9+\sqrt{41}}{2}\]
• Bài tập 2:
  • m = 3 => Phương trình có nghiệm x = 4. 
  • m = -3 => Phương trình có nghiệm x = -2. 
  • m < -3 hoặc m > 3 => Phương trình được 2 nghiệm: \[x_{1}=m+1-\sqrt{m^{2}-9}\]; \[x_{2}=m+1+\sqrt{m^{2}-9}\]
  • -3 < m < 3 => Phương trình vô nghiệm. 

Bài viết trên đây đã tổng hợp đủ kiến thức trọng điểm về phương trình bậc hai 1 ẩn và một vài dạng bài phổ biến. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã có thể tự tin hơn khi giải quyết các dạng bài liên quan đến chuyên đề toán học này rồi nhé!