Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Hàm số y = ax² (a ≠ 0) là một trong những hàm số quan trọng và thường xuyên được sử dụng trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực đại số và hình học. Đây là một hàm số bậc hai, với biến số x được bình phương, và hệ số a khác không, tác động đến hình dáng và đặc tính của đường cong parabol tương ứng. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về định nghĩa của hàm số y = ax², các tính chất và ứng dụng của nó trong thực tế.

Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Hàm số y = ax² (a ≠ 0) là một hàm số bậc 2, trong đó a là một hằng số khác 0. Đây là một dạng hàm số bậc 2 đơn giản, có dạng đường cong là một đường parabol.

Hàm số y = ax² mô tả mối quan hệ giữa biến số đầu vào x và biến số đầu ra y. Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax², ta có thể chọn một số giá trị x, tính giá trị tương ứng của y bằng cách thay x vào hàm số, sau đó vẽ các điểm có tọa độ (x, y) trên hệ trục tọa độ. Khi nối các điểm này lại với nhau, ta sẽ thu được đường cong của hàm số y = ax².

Nếu a > 0, đường cong của hàm số y = ax² sẽ hướng lên trên. Nghĩa là khi x tăng, giá trị của y cũng tăng. Điều này thường được gọi là một đường parabol mở lên. Nếu a < 0, đường cong của hàm số y = ax² sẽ hướng xuống dưới. Nghĩa là khi x tăng, giá trị của y giảm. Điều này thường được gọi là một đường parabol mở xuống.

Ví dụ về hàm số y = ax² (a ≠ 0):

Hãy vẽ đồ thị của hàm số y = 2x².

Để vẽ đồ thị của hàm số này, ta có thể chọn một số giá trị x và tính giá trị tương ứng của y bằng cách thay x vào hàm số. Sau đó, ta vẽ các điểm có tọa độ (x, y) trên hệ trục tọa độ. Nối các điểm này lại với nhau, ta thu được đường cong của hàm số.

Ví dụ, khi x = -2, ta có:

y = 2x² = 2(-2)² = 8

Khi x = -1, ta có:

y = 2x² = 2(-1)² = 2

Khi x = 0, ta có:

y = 2x² = 2(0)² = 0

Khi x = 1, ta có:

y = 2x² = 2(1)² = 2

Khi x = 2, ta có:

y = 2x² = 2(2)² = 8

Sau khi tính được các giá trị của y tương ứng với các giá trị của x, ta có thể vẽ đồ thị của hàm số y = 2x². Kết quả thu được là một đường cong hình parabol mở lên với đỉnh tại điểm (0, 0) và đi qua các điểm (-2, 8), (-1, 2), (1, 2) và (2, 8).

Tính chất của hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Một số tính chất của hàm số y = ax² (a ≠ 0) là:

• Đường cong của hàm số y = ax² là một đường parabol mở lên nếu a > 0 hoặc mở xuống nếu a < 0.

• Đỉnh của đường cong parabol là điểm (0, 0).

• Nếu a > 0, đường cong của hàm số y = ax² có giá trị nhỏ nhất là 0 và không có giá trị lớn nhất. Nếu a < 0, đường cong của hàm số y = ax² có giá trị lớn nhất là 0 và không có giá trị nhỏ nhất.

• Đối xứng của đường cong parabol qua trục đứng x = 0.

• Hàm số y = ax² là một hàm số chẵn nếu a > 0 và là một hàm số lẻ nếu a < 0.

• Nếu a > 0, đồ thị của hàm số y = ax² là một đường tiệm cận y = 0. Nếu a < 0, không có đường tiệm cận nào.

• Nếu a > 0, hàm số y = ax² tăng trên khoảng (-∞, 0) và (0, +∞) và đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0. Nếu a < 0, hàm số y = ax² giảm trên khoảng (-∞, 0) và (0, +∞) và đạt giá trị lớn nhất tại x = 0.

Những tính chất này có thể giúp ta dễ dàng vẽ đồ thị của hàm số y = ax² và phân tích hành vi của hàm số trên khoảng xác định.

Bài tập

Bài tập 1:

Cho hàm số y = -2x² + 4x + 5. Hãy tính:

a) Đối xứng của đường cong parabol.

b) Tìm điểm cực trị của hàm số.

c) Tìm khoảng giá trị của hàm số.

Bài giải:

a) Đường cong parabol của hàm số y = -2x² + 4x + 5 là một đường parabol mở xuống. Vì a = -2 < 0, nên đường cong parabol sẽ mở xuống. Đối xứng của đường cong parabol qua trục đứng x = 1 (điểm giữa của hai điểm y bằng nhau trên đường cong parabol). Vậy, đường cong parabol là đường cong đối xứng qua trục đứng x = 1.

b) Để tìm điểm cực trị của hàm số, ta cần tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số trên đoạn xác định. Ta có:

y = -2x² + 4x + 5 = -2(x - 1)² + 7

Hàm số này đạt giá trị lớn nhất là 7 tại x = 1, điểm cực trị của hàm số.

c) Khoảng giá trị của hàm số là [7, +∞), vì hàm số đạt giá trị lớn nhất là 7 và không có giá trị nhỏ hơn.

Bài tập 2:

Cho hàm số y = 3x² - 6x - 2. Hãy tính:

a) Điểm cắt trục hoành.

b) Điểm cắt trục tung.

c) Đạo hàm của hàm số.

d) Tìm các điểm uốn của đường cong.

Bài giải:

a) Để tính điểm cắt trục hoành của đường cong, ta giải phương trình y = 0 với x là biến số:

3x² - 6x - 2 = 0

Giải phương trình trên ta được x = (-(-6) ± √((-6)² - 4(3)(-2))) / (2(3)) = 1 ± √2

Vậy, điểm cắt trục hoành là hai điểm có tọa độ là (1 + √2, 0) và (1 - √2, 0).

b) Để tính điểm cắt trục tung của đường cong, ta cho x = 0 trong phương trình hàm số:

y = 3x² - 6x - 2

Ta được y = -2.

Vậy, điểm cắt trục tung là (0, -2).

c) Để tính đạo hàm của hàm số, ta áp dụng công thức:

y' = 6x - 6

d) Để tìm các điểm uốn của đường cong, ta cần tìm giá trị của x sao cho đạo hàm của hàm số bằng 0. Ta giải phương trình y' = 0 với x là biến số:

6x - 6 = 0

Ta được x = 1.

Để xác định tính chất uốn của đường cong tại x = 1, ta tính đạo hàm hai lần của hàm số:

y'' = 6

Do y'' > 0, nên đường cong của hàm số tại x = 1 là đường cong uốn lên.