Hình chóp tam giác đều là một dạng hình học không gian quen thuộc, được ứng dụng nhiều trong thực tế. Theo đó, thể tích, diện tích toàn phần và diện tích xung quanh hình chóp tam giác đều là 3 yếu tố quan trọng nhất của hình này. Bài viết sau sẽ giúp bạn ghi nhớ các công thức về dạng hình thú vị này và bật mí cách giải một số dạng bài tập liên quan.
1. Sơ lược về hình chóp tam giác đều
Hình chóp tam giác đều là một khối hình học không gian có phần đáy là tam giác đều và cả 3 mặt bên đều là tam giác cân có cùng một đỉnh nhọn. Theo đó, đỉnh của hình chóp sẽ nằm trên đường vuông góc với mặt phẳng đáy, đảm bảo rằng các mặt bên có được kích thước và diện tích bằng với nhau.
2. Cách tính thể tích, diện tích xung quanh hình chóp tam giác đều
2.1. Công thức tính diện tích xung quanh hình chóp tam giác đều
Diện tích xung quanh của hình này được tính bằng tích của nửa chu vi đáy và đường trung đoạn, cụ thể là:
\[S_{\text{xq}}=p\times d\]
Trong đó:
- Vì đáy là hình tam giác đều có cạnh là a nên nửa chu vi đáy là: \[p=\frac{3a}{2}\]
- Trung đoạn d là đường cao của một trong các mặt bên hình chóp (tức là đường cao của tam giác cân).
Diện tích toàn phần của hình chóp này sẽ được tính bằng tổng diện tích xung quanh và dện tích đáy, cụ thể là:
\[S_{\text{tp}}=S_{\text{xq}}+S_{\text{day}}\]
Trong đó, \[S_{\text{day}}\] của hình chóp tam giác đều được tính bằng công thức: \[S_{\text{day}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\]
2.2. Công thức tính thể tích
Thể tích của hình này sẽ được tính bằng một phần ba tích của diện tích đáy và chiều cao, cụ thể là:
\[V=\frac{1}{3}S_{\text{day}}\times h\]
Trong đó:
- \[S_{\text{day}}\] là diện tích đáy.
- h là chiều cao hình chóp.
Công thức này vẫn luôn đúng cho mọi hình chóp đều, bao gồm cả hình chóp tam giác đều.
3. Dạng bài tập về thể tích, diện tích hình chóp tam giác đều
Trong các bài toán có liên quan đến hình chóp tam giác đều, việc tìm kiếm các đại lượng hình học như trung đoạn, chiều cao, thể tích và diện tích là điều quan trọng nhất. Để giải các bài tập này, bạn có thể thực hiện như sau:
- Tìm chiều cao (h) của hình chóp: Sử dụng định lý Pytago trong hình tam giác vuông được tạo bởi trung đoạn, chiều cao và cạnh bên.
- Trung đoạn (d): Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông.
- Tính diện tích, thể tích: Áp dụng toàn bộ các công thức đã nêu rõ ở nội dung phần trên để tính toán.
Ví dụ: Cho một hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt bên là tam giác đều, với AB = 4cm và O là trọng tâm của tam giác đáy. Ngoài ra, M còn là trung điểm của cạnh BC.
- a) Xác định đúng độ dài các đoạn thẳng SO và SM.
- b) Tính ngay diện tích toàn phần, diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp.
Lời giải:
- a) Nhận xét rằng:
\[SA=SB\Leftrightarrow\triangle SAB\] cân ngay tại S \[\Rightarrow SM\perp AB\]
Trong \[\triangle SMA\] vuông tại M, ta có:
\[SM^{2}=SA^{2}-AM^{2}=4^{2}-2^{2}=12\Leftrightarrow SM=2\sqrt{3}cm\]
Trong \[\triangle SOA\] vuông tại O, ta có:
\[SO^{2}=SA^{2}-AO^{2}=4^{2}-\left(\frac{2}{3}.\frac{4\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{32}{3}\Leftrightarrow SO=\frac{4\sqrt{6}}{3}cm\]
- b) Ta lần lượt có:
- Diện tích xung quanh hình chóp tam giác đều là:
\[S_{\text{xq}}=\frac{1}{2}(AB+BC+CA).SM=\frac{1}{2}(4+4+4).2\sqrt{3}=12\sqrt{3}(cm^{2})\]
- Diện tích toàn phần hình chóp là:
\[S_{\text{tp}}=S_{\text{xq}}+S_{\text{day}}=12\sqrt{3}+4\sqrt{3}=16\sqrt{3}(cm^{2})\]
- Thể tích hình chóp là:
\[V=\frac{1}{3}S_{\text{day}}.h=\frac{1}{3}.4\sqrt{3}.\frac{4\sqrt{6}}{3}=\frac{16\sqrt{2}}{3}(cm^{3})\]
4. Bài tập vận dụng có đính kèm đáp án
Đề bài: Cho một hình chóp tam giác đều tên S.DEF có tất cả các mặt bên là tam giác đều, với độ dài cạnh DE= 6cm và O là trọng tâm của tam giác đáy. Bên cạnh đó, N còn là trung điểm cạnh EF. Hãy:
- a) Xác định đúng độ dài của các đoạn SO và SN.
- b) Tính diện tích toàn phần, diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp này.
Đáp án:
- a) \[SN=3\sqrt{3}cm\], \[SO=\frac{4\sqrt{23}}{3}cm\]
- b) Ta lần lượt có:
- Diện tích xung quanh hình chóp tam giác đều S.DEF:
\[S_{\text{xq}}=27\sqrt{3}(cm^{2})\]
- Diện tích toàn phần hình chóp S.DEF:
\[S_{\text{tp}}=36\sqrt{3}(cm^{2})\]
- Thể tích của hình chóp đều:
\[V=\frac{12\sqrt{69}}{3}\approx 13.85(cm^{3})\]
Bài viết trên đây là tất tần tật các thông tin liên quan đến hình chóp tam giác đều. Mong rằng bài viết hữu ích và bạn đọc đã có thể ghi nhớ chính xác cách tính thể tích, diện tích toàn phần cũng như diện tích xung quanh hình chóp tam giác đều rồi nhé!
