Hình chóp tứ giác đều không đơn thuần là một khái niệm trong hình học không gian, mà còn là cấu trúc đặc biệt với nhiều tính chất thú vị. Với bề ngoài cân đối với các mặt bên là các tam cân chung đỉnh, dạng hình này đã khơi dậy sự tò mò của nhiều người. Dưới đây là lý thuyết trọng điểm của hình chóp đều này và dạng bài phổ biến, theo dõi ngay nhé!
1. Các kiến thức cốt lõi
1.1. Hình chóp dạng tứ giác đều là gì?
Hình chóp dạng tứ giác đều chính là một hình học không gian có phần đỉnh chung và mặt đáy là hình vuông. Xét hình chóp \[\textit{S.ABCD}\], ta thấy:
- Hình này có tất cả 5 mặt: 4 mặt bên, 1 đáy. Ngoài ra, hình còn có 8 cạnh cùng 5 đỉnh.
- Đáy \[\textit{ABCD}\] là một hình vuông với tất cả 4 cạnh bằng nhau, cụ thể ở đây là: \[AB=BC=CD=DA\].
- Các mặt bên \[\textit{SBC}\], \[\textit{SAB}\], \[\textit{SAD}\], \[\textit{SCD}\] đều thuộc dạng hình tam giác cân, có chung đỉnh \[\textit{S}\] và sở hữu 2 cạnh bên bằng nhau.
- Tất cả 4 cạnh bên gồm \[\textit{SA}\], \[\textit{SB}\], \[\textit{SC}\], \[\textit{SD}\] đều mang số đo bằng nhau.
- Đỉnh \[\textit{S}\] được gọi là điểm chung của toàn bộ các mặt bên, đồng thời cũng là phần đỉnh chóp.
Với các đặc điểm trên , hình chóp dạng tứ giác đều đích thực là một hình học không gian sở hữu tính đối xứng cực kỳ cao. Hơn nữa, ở hình này, các mặt bên còn kết hợp với phần đáy để tạo một góc đều nhau.
1.2. Diện tích hình chóp tứ giác đều
Thực tế, diện tích xung quanh của hình chóp này cũng chính là tổng diện tích bốn mặt bên (hay bốn tam giác cân). Như vậy ta có công thức:
\[S_{xq}=\frac{1}{2}.C.d\]
Trong đó:
- C: Chu vi đáy (với \[C=4.a\])
- d: Độ dài của trung đoạn (hay chiều cao tam giác cân)
Ngoài ra, ta còn có công thức tính diện tích toàn phần của hình chóp này như sau:
\[S_{tp}=S_{day}+S_{xq}\]
Trong đó:
- \[S_{tp}\]: Diện tích toàn phần
- \[S_{day}\]: Diện tích xung quanh (\[S_{day}=a^{2}\]; a là cạnh hình vuông)
1.3. Thể hình chóp dạng tứ giác đều
Thể tích hình chóp này sẽ được tính dựa trên diện tích của phần đáy và chiều cao được hạ từ đỉnh \[\textit{S}\] xuống mặt đáy. Như vậy, ta có công thức tổng quát về thể tích như sau:
\[V=\frac{1}{3}.S_{day}.h\]
Trong đó:
- V: Thể tích hình chóp
- h: chiều cao được hạ từ phần đỉnh chóp cho đến mặt đáy
2. Một vài dạng bài có liên quan đến hình chóp tứ giác đều
2.1. Nhận biết các kiến thức cơ bản trong hình chóp loại tứ giác đều
Có thể nói rằng, đây là một trong những dạng mà các em học sinh khối tiểu học thường xuyên gặp nhất. Theo đó, để giải quyết kiểu bài thế này, bạn chỉ cần sử dụng đến các kiến thức đã được nêu rõ ở phần định nghĩa.
Ví dụ: Cho một hình chóp loại tứ giác đều \[\textit{S.ABCD}\] với đường cao \[\textit{SO}\].
- a) Hình chóp này có các mặt bên là hình gì? Đây là đỉnh của hình chóp?
- b) Kể nhanh tên toàn bộ cạnh bên của hình.
- c) Kể nhanh tên của tất cả mặt bên cũng như mặt đáy trong hình.
Lời giải:
- a) Toàn bộ mặt bên của hình này đều có dạng là hình tam giác cân. Trong đó, phần đỉnh của hình là đỉnh \[\textit{S}\]
- b) Các cạnh bên lần lượt là: \[\textit{SA}\], \[\textit{SB}\], \[\textit{SC}\], \[\textit{SD}\]
- d) Mặt đáy: \[\textit{ABCD}\]. Mặt bên: \[\textit{SBC}\], \[\textit{SAB}\], \[\textit{SAD}\], \[\textit{SCD}\].
2.2. Tính diện tích xung quanh/ toàn phần cho một hình chóp tứ giác đều
Đây là kiểu bài có tần suất xuất hiện cực kỳ cao trong những bài kiểm tra nhỏ và đời sống hàng ngày. Mặc dù quen thuộc là thế, nhưng nó vẫn khiến nhiều người cảm thấy đau đầu, đặc biệt là các em học sinh lần đầu tiếp cận với hình chóp dạng tứ giác đều. Theo đó, để giải hiệu quả bài này, bạn chỉ cần áp dụng chính xác hai công thức sau:
- \[S_{xq}=\frac{1}{2}.C.d\]
- \[S_{tp}=S_{xq}+S_{day}\]
Ví dụ 1: Cho một hình chóp dạng tứ giác đều \[\textit{S.ABCD}\] với kích thước đúng như hình vẽ bên dưới.
- a) Tính đúng chu vi mặt đáy \[\textit{ABCD}\].
- b) Trung đoạn hình chóp \[\textit{S.ABC}\] sở hữu độ dài bao nhiêu?
- c) Tính diện tích xung quanh (hay \[S_{xq}\]) của hình chóp \[\textit{S.ABCD}\]
Lời giải:
- a) Chu vi \[\triangle ABC\] là: \[C=4.a=4.10=40(cm)\]
- b) Trung đoạn hình chóp \[\textit{S.ABC}\] có độ dài là \[d=SI=12(cm)\]
- c) Diện tích xung quanh (hay \[S_{xq}\]) của hình chóp \[\textit{S.ABCD}\] là:
\[S_{xq}=\frac{1}{2}.C.d=\frac{1}{2}.40.12=240(cm^{2})\]
Ví dụ 2: Cho một hình chóp tứ giác đều \[\textit{S.ABCD}\] sở hữu diện tích đáy là \[400 cm^{2}\] và có trung đoạn \[SI=25cm\]. Tính diện tích xung quanh (hay \[S_{xq}\]), diện tích toàn phần ((hay \[S_{tp}\]) của hình này.
Lời giải:
- a) Ta có diện tích đáy là \[400 cm^{2}\], suy ra: \[400=a^{2}\Rightarrow a=20\]
- b) Diện tích xung quanh (hay \[S_{xq}\]) của hình chóp là:
\[S_{xq}=\frac{1}{2}.C.d=\frac{1}{2}.(4.20).25=1000(cm^{2})\]
- b) Diện tích toàn phần (hay \[S_{tp}\] của hình chóp là:
\[S_{tp}=S_{xq}+S_{day}=1000+20^{2}=1400(cm^{2})\]
2.3. Tính đúng thể tích cho một hình chóp dạng tứ giác đều
Tương tự như cách giải dạng bài trên, khi gặp phải bài toán yêu cầu tính thể tích cho một hình chóp nào đó thuộc dạng tứ giác đều, bạn chỉ cần áp dụng chuẩn xác công thức mà chúng tôi đã nói rõ ràng ở phần lý thuyết. Cụ thể là:
\[V=\frac{1}{3}.S.h\]
Ví dụ 1: Cho một hình chóp tứ giác đều \[\textit{S.ABCD}\], được biết \[AD=25mm,So=27mm\]. Hãy tính nhanh thể tích của hình này.
Lời giải:
Thể tích hình chóp \[\textit{S.ABCD}\] là:
\[V=\frac{1}{3}.S.h=\frac{1}{3}.25^{2}.27=5625(mm^{3})\]
Ví dụ 2: Cho một hình chóp dạng tứ giác đều \[\textit{S.ABCD}\] có các cạnh đáy bằng x. Được biết, diện tích xung quanh của hình gấp đôi diện tích phần đáy. Hãy tính thể tích của hình này.
Lời giải:
Thể tích khối hình chóp sẽ được tính dựa vào công thức:
\[V=\frac{1}{3}.S.h\] trong khi \[S=x^{2}\]
Gọi điểm \[\textit{O}\] là tâm của hình vuông và điểm \[\textit{I}\] lại chính là trung điểm trên đoạn \[\textit{CD}\] \[\Rightarrow SI\perp CD\]
Gọi chiều dài của đoạn thẳng \[\textit{SO}\] là h
\[\Rightarrow SI=\sqrt{SO^{2}+OI^{2}}=\sqrt{h^{2}+\frac{x^{2}}{4}}\]
Lại có: \[S_{xq}=2.SI.CD\] hay \[S_{xq}=2.S\]
\[2x\sqrt{h^{2}+\frac{x^{2}}{4}}=2x^{2}\Rightarrow\sqrt{h^{2}+\frac{x^{2}}{4}}=x\]
Suy ra:
\[h^{2}+\frac{x^{2}}{4}=x^{2}\Rightarrow\frac{3x^{2}}{4}=h^{2}\Rightarrow h=\frac{x\sqrt{3}}{2}\]
Như vậy, thể tích đúng của hình chóp này là:
\[V=\frac{1}{3}.x^{2}.\frac{x\sqrt{3}}{2}=\frac{x^{3}\sqrt{3}}{6}\]
3. Hình chóp tứ giác đều – Bài tập vận dụng (đính kèm đáp án)
Bài tập 1: Cho một hình chóp thuộc dạng tứ giác đều \[\textit{S.ABCD}\] với mặt đáy \[\textit{ABCD}\] là hình vuông cạnh \[a=6cm\]. Các cạnh bên \[SA=SB=SC=SD=10 cm\].
Hãy tính:
- a) Diện tích xung quanh hình chóp.
- b) Diện tích toàn phần hình chóp.
- c) Thể tích hình chóp.
Bài tập 2: Cho một hình chóp dạng tứ giác đều \[\textit{S.ABCD}\], sở hữu đáy là hình vuông cạnh \[a=6cm\]. Được biết rằng diện tích xung quanh của khối chóp này lại gấp đôi phần diện tích đáy.
Hãy tính:
- a) Diện tích toàn phần hình chóp
- b) Chiều cao đúng của một mặt bên (hay trung đoạn)
- c) Thể tích khối chóp dựa theo một biểu thức có chứa thêm chiều cao h.
Đáp án:
Bài tập 1:
Gọi \[\textit{O}\] là tâm của hình vuông \[\textit{ABCD}\], tức là giao điểm của 2 đường chéo.
Vì là hình chóp dạng tứ giác đều nên \[SO\perp(ABCD)\] và \[\triangle SAO\] vuông ngay tại \[\textit{O}\].
Độ dài của đường chéo là:\[AC=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{2}=6\sqrt{2}\]
\[\Rightarrow AO=\frac{AC}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\]
Áp dụng định lý Pythagoras cho hình \[\triangle SAO\] vuông ngay tại \[\textit{O}\] ta có:
\[SO^{2}=SA^{2}+AO^{2}=10^{2}-(3\sqrt{2})^{2}=100-18=82\Rightarrow SO=\sqrt{82}\]
Gọi \[\textit{M}\] là trung điểm của cạnh đáy \[\textit{AB}\]. Khi đó, \[\triangle SAB\] là tam giác cân ngay tại đỉnh \[\textit{S}\] và \[\textit{SM}\] là chiều cao tương ứng hay trung đoạn d.
Ta có:
\[AM=\frac{a}{2}=3\Rightarrow d=SM\sqrt{SA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{10^{2}-3^{2}}=\sqrt{100-9}=\sqrt{91}\]
Lại có:
Chu vi: \[C=4a=4.6=24(cm)\]
a)
\[S_{xq}=\frac{1}{2}.C.d=\frac{1}{2}.24.\sqrt{91}=12\sqrt{91}(cm^{2})\]
- b)
\[S_{tp}=S_{xq}+S_{day}=12\sqrt{91}+a^{2}=12\sqrt{91}+36(cm^{2})\]
- c)
\[V=\frac{1}{3}.S_{day}.h=\frac{1}{3}.36.\sqrt{82}=12\sqrt{82}(cm^{3})\]
Bài tập 2:
- a) Diện tích đáy là:
\[S_{day}=a^{2}=6^{2}=36(cm^{2})\]
Diện tích xung quanh là:
\[S_{xq}=2.S_{day}=2.36=71(cm^{2})\]
Vậy diện tích toàn phần hình chóp là:
\[S_{tp}=S_{xq}+S_{day}=36+72=108(cm^{2})\]
- b) Tính trung đoạn \[\textit{d}\] theo công thức:
\[S_{xq}=\frac{1}{2}.C.d\Rightarrow 72=\frac{1}{2}.4a.d\Rightarrow d=\frac{72}{2a}=\frac{72}{12}=6(cm)\]
- c) Gọi \[\textit{h}\] là chiều cao đi được hạ từ đỉnh \[\textit{S}\] xuống đáy.
Áp dụng định lý Pythagoras ta có:
\[SA^{2}=d^{2}+(\frac{a}{2})^{2}=6^{2}+3^{2}+36+9=45\Rightarrow SA=\sqrt{5}\]
Gọi \[\textit{O}\] là tâm của hình vuông đáy, ta lại dùng đến \[\triangle SOA\]:
\[\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{2};SA=\sqrt{45}\]
Như vậy, chiều cao \[\textit{h}\] là:
\[SO^{2}=SA^{2}-AO^{2}=45-18=27\Rightarrow h=SO=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\]
\[\Rightarrow V=\frac{1}{3}.S_{day}.h=\frac{1}{3}.36.3\sqrt{3}=12.3\sqrt{3}=36\sqrt{3}(cm^{3})\]
Hình chóp tứ giác đều là một loại hình học không gian cực kỳ thú vị, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và mang tính ứng dụng cao. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã có thể nhận diện các dạng bài nhanh chóng và nắm bắt hướng giải đúng rồi nhé!
