Khám phá hình bình hành và hướng giải chính xác của các dạng toán

Trong hình học phẳng, hình bình hành nổi bật với một cấu trúc đầy tinh tế, vừa đơn giản lại vừa ẩn chứa đầy quy luật. Tưởng chừng chỉ là một tứ giác quen thuộc, nhưng nó chắc chắn sẽ khiến bạn bất ngờ bởi các tính chất thú vị. Không để bạn phải chờ lâu! Chần chừ gì mà không nhanh tay khám phá đặc điểm cũng như các dạng bài thuộc về kiểu hình học này nhé!

1. Các kiến thức cần nhớ

1.1. Định nghĩa và tính chất

Hình bình hành là một tứ giác đặc biệt trong hình học với đặc điểm nổi bật là hai cặp cạnh đối song song. Do đó, nếu \[\lozenge ABCD\] thỏa mãn điều kiện:

\[AB//CD\] và \[AD//BC\]

thì \[\lozenge ABCD\] chính là một HBH.

Sau khi đã xác định chắc chắn một tứ giác là HBH, bạn hoàn toàn có thể sử dụng đến những tính chất cơ bản sau:

Hai cạnh nằm đối diện nhau trong hình này không chỉ song song mà còn bằng nhau.
Hai góc nằm đối nhau sẽ sở hữu cùng số đo.
Hai đường chéo của hình sẽ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nghĩa là chúng giao nhau ngay tại điểm chính giữa.

1.2. Dấu hiệu nhận biết

Hình bình hành và các dấu hiệu nhận biết chính xác

Dựa vào khái niệm và tính chất vừa nêu trên, chúng ta có nhận biết HBH một cách nhanh chóng thông qua một trong những tiêu chí sau:

Sở hữu hai cặp cạnh nằm đối nhau song song.
Sở hữu hai cặp cạnh đối nhau có cùng số đo.
Có một cặp cạnh vừa nằm song song lại vừa bằng nhau.
Có hai góc đối diện bằng nhau.
Có hai đường chéo cắt nhau ngay tại trung điểm của mỗi đường.

2. Một số dạng bài thường gặp có liên quan đến hình bình hành

2.1. Chứng minh các tính chất hình học

Có thể nói rằng, đây là một trong số dạng bài mà bạn sẽ thường xuyên bắt gặp trong các bài kiểm tra. Theo đó, để giải quyết hiệu quả bài toán thế này, bạn cần vận dụng thật tốt tính chất về cạnh, đường chéo, góc và định nghĩa.

Ví dụ: Cho một HBH \[\textit{ABCD}\]. Gọi \[\textit{E}\] và \[\textit{F}\] lần lượt là trung điểm trên các cạnh \[\textit{AB}\] và \[\textit{CD}\].

a) Chứng minh rằng \[AF//CE\].
b) Gọi \[\textit{M}\], \[\textit{N}\] lần lượt là giao điểm của đoạn \[\textit{BD}\] với \[\textit{AF}\] và \[\textit{CE}\]. Chứng minh rằng: \[DM=MN=NB\]

Lời giải:

Ta có \[\textit{ABCD}\] là HBH, nên: \[AB=CD\] (tc. hbh)

Mà \[\textit{E}\], \[\textit{F}\] là trung điểm \[\textit{AB}\] và \[\textit{CD}\]

\[\Rightarrow AB=CF=BE=DF\]

Xét \[\lozenge AECF\], có \[\left\{\begin{matrix}AE=CF\\AE//CF(do AB//CD)\end{matrix}\right.\]

\[\Rightarrow\lozenge AECF\] là HBH \[\Rightarrow AF//EC\]

b) Gọi \[AC\cap BD=\left\{O\right\}\]

Xét \[\triangle ADC\], có \[\textit{DO}\] và \[\textit{AF}\] là trung tuyến; \[AF\cap DO=\left\{M\right\}\]

\[\Rightarrow\] \[\textit{M}\] là trọng tâm của \[\triangle ADC\]

\[\Rightarrow\left\{\begin{matrix}DM=\frac{2}{3}DO=\frac{2}{3}BO(1)\\OM=\frac{1}{3}DO=\frac{1}{3}BO(2)\end{matrix}\right.(\text{do}DO=BO)\]

Xét \[\triangle ABC\] có: \[\textit{BO}\], \[\textit{CE}\] là trung tuyến; \[BO\cap CE=\left\{N\right\}\]

\[\Rightarrow\] \[\textit{N}\] là trọng tâm của \[\triangle ABC\]

\[\Rightarrow\left\{\begin{matrix}BN=\frac{2}{3}BO(3)\\ON=\frac{1}{3}BO(4)\end{matrix}\right.\]

Từ (2) và (4):

\[\Rightarrow MN=OM+ON=\frac{1}{3}BO+\frac{1}{3}BO=\frac{2}{3}BO(5)\]

Từ (1), (3) và (5):

\[\Rightarrow DM=BN=MN(dpcm)\]

2.2. Chứng minh một tứ giác nào đó là hình bình hành

Đây là bài tập không hề khó, nhưng lại khiến nhiều người cảm thấy đau đầu, đặc biệt là các em học sinh. Thực ra, để giải quyết nhanh chóng và hiệu quả dạng bài chứng minh một tứ giác nào đó là HBH, bạn chỉ cần sử dụng đến những dấu hiệu nhận biết của loại hình học này.

Ví dụ: Cho \[\triangle ABC\] với trực tâm \[\textit{H}\]. Từ đỉnh \[\textit{B}\], vẽ đường thẳng vuông góc cạnh \[\textit{AC}\]. Từ điểm \[\textit{C}\], vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh \[\textit{AB}\]. Hai đường này cắt nhau tại \[\textit{D}\]. Chứng minh rằng:

a) \[\lozenge BDCH\] là HBH
b) \[\widehat{BAC}+\widehat{BDC}=180^{\circ}\]
c) \[\textit{H}\], \[\textit{M}\], \[\textit{D}\] thẳng hàng (\[\textit{M}\] là trung điểm của \[\textit{BC}\]).

Lời giải:

a) Ta có:

\[\left.\begin{matrix}CH\perp AB\\BD\perp AB\end{matrix}\right\}\Rightarrow CH//BD(1)\]

Lại có:

\[\left.\begin{matrix}BH\perp AC\\CD\perp AC\end{matrix}\right\}\Rightarrow BH//CD(2)\]

Từ (1) và (2), suy ra \[\lozenge BDCH\] là HBH.

b) \[\lozenge ABCD\] có:

\[\widehat{BAC}+\widehat{ABD}+\widehat{BDC}+\widehat{ACD}=360^{\circ}\]

\[\Rightarrow\widehat{BAC}+90^{\circ}+\widehat{BDC}+90^{\circ}=360^{\circ}\]

\[\Rightarrow\widehat{BAC}+\widehat{BDC}=180^{\circ}(dpcm)\]

c) Vì \[\lozenge BDCH\] là HBH nên \[\textit{BC}\] cắt \[\textit{HD}\] tại trung điểm của mỗi đường, ta có: \[\textit{M}\] là trung điểm \[\textit{BC}\]

\[\Rightarrow\] \[\textit{M}\] là trung điểm \[\textit{HD}\]

\[\Rightarrow\] \[\textit{H}\], \[\textit{M}\], \[\textit{D}\] thẳng hàng.

2.3. Chứng minh các đường thẳng đồng quy

Không kém cạnh hai dạng bài trên, chứng minh các đường thẳng đồng quy cũng là một kiểu bài toán có độ phổ biến khá cao trong chuyên đề hình bình hành. Theo đó, để giải quyết chính xác và nhanh chóng bài tập này, bạn cần vận dụng tốt tính chất về đường chéo của HBH.

Ví dụ: Cho một HBH \[\textit{ABCD}\], lấy \[ N\in AB,M\in CD\], sao cho \[AN=CM\]. Chứng minh rằng:

a) \[AM//CN\]
b) \[DN=BM\]
c) \[\textit{AC}\], \[\textit{BD}\], \[\textit{MN}\] đồng quy.

Lời giải:

a) Xét HBH \[\textit{ABCD}\], có:

\[AN=CM\]

\[AN//CM(\text{do}AB//CD)\]

\[\Rightarrow\lozenge ANCM\] là HBH

\[\Rightarrow AM//CN\]

b) Ta có:

\[BN=AB-AN\]

\[DM=DC-CM\]

Mà \[AB=DC,AN=CM\Rightarrow BN=DM\]

\[\Rightarrow\lozenge BNDM\] là HBH

\[\Rightarrow DN=BM\]

c) Gọi \[AC\cap BD=\left\{O\right\}(1)\]

\[\Rightarrow\textit{O}\] là trung điểm của \[\textit{AC}\] và \[\textit{BD}\]

Ta có \[\lozenge ANCM\] là HBH; \[\textit{O}\] là trung điểm của đường chéo \[\textit{AC}\]

\[\Rightarrow\textit{O}\] là trung điểm của \[\textit{MN}\]

\[\Rightarrow O\in MN(2)\]

Từ (1) và (2) \[\Rightarrow AC,BD,MN\] đồng quy.

3. Bài tập vận dụng cho chuyên đề hình bình hành

Bài tập 1: Cho HBH \[\textit{ABCD}\], \[\textit{O}\] là giao điểm của 2 đường chéo, \[\textit{E}\] và \[\textit{F}\] lần lượt là trung điểm của \[\textit{OD}\] và \[\textit{OB}\].

a) Chứng minh \[AE//CF\]
b) Gọi \[\textit{K}\] là giao điểm của \[\textit{AE}\] và \[\textit{DC}\]. Chứng minh \[DK=\frac{1}{2}KC\].

Bài tập 2: Cho \[\lozenge ABCD\]. Gọi \[\textit{E}\], \[\textit{F}\], \[\textit{G}\], \[\textit{H}\] lần lượt là trung điểm của \[\textit{BD}\], \[\textit{AB}\], \[\textit{AC}\], \[\textit{CD}\] .

a) Chứng minh \[\lozenge EFGH\] là HBH.
b) Cho \[AD=a,BC=b\]. Tính chu vi của HBH \[\textit{EFGH}\]

Đáp án:

Bài tập 1:

a) \[AC\cap BD=\left\{O\right\}\Rightarrow DO=BO\]

\[\textit{E}\], \[\textit{F}\] là trung điểm của \[\textit{DO}\] và \[\textit{BO}\], nên: \[DE=EO=OF=FB\]

Xét \[\lozenge AFCE\], có:

\[\left\{\begin{matrix}AC\cap EF=\left\{O\right\}\\OA=OC\\OE=OF\end{matrix}\right.\Rightarrow\lozenge AFCE\] là HBH.

\[\Rightarrow AE//CF\] (tc.HBH)

b) Từ \[\textit{O}\] kẻ \[OM//EK\]

Xét \[\triangle DOM\] có:

\[OM//EK\]

Và \[\textit{E}\] là trung điểm của \[\textit{DO}\]

\[\Rightarrow K\] là trung điểm của \[\textit{DM}\]

\[\Rightarrow DK=KM(1)\]

Xét đến \[\triangle CDK\], có:

\[OM//AK\] và \[\textit{O}\] là trung điểm của \[\textit{AC}\]

\[\Rightarrow M\] là trung điểm của \[\textit{KC}\]

\[\Rightarrow CM=KM(2)\]

Từ (1) và (2) \[\Rightarrow DK=KM=CM\]

Mà \[KM+CM=KC\Rightarrow DK=\frac{1}{2}KC(dpcm)\]

Bài tập 2:

a) Xét \[\triangle ABD\] có, \[\textit{F}\], \[\textit{E}\] lần lượt là trung điểm của \[\textit{AB}\], \[\textit{BD}\]

\[\Rightarrow EF\] là đường trung bình của \[\triangle ABD\]

\[\Rightarrow\left\{\begin{matrix}EF//AD(1)\\EF=\frac{1}{2}AD(2)\end{matrix}\right.\]

Tương tự, ta có \[\textit{GH}\] là đường trung bình của \[\triangle ACD\]

\[\Rightarrow\left\{\begin{matrix}GH//AD(3)\\GH=\frac{1}{2}AD(4)\end{matrix}\right.\]

\[\Rightarrow\left\{\begin{matrix}(1),(2)\Rightarrow EF//GH\\(3),(4)\Rightarrow EF=GH\end{matrix}\right.\Rightarrow\lozenge GFEH\] là HBH.

b) Ta có: \[GH=EF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}a\]

Tương tự: \[FG=HE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}b\]

\[\Rightarrow P_{\lozenge GFEH}=\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b\right).2=a+b\]

Hình bình hành là một loại hình học không gian thú vị, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra toán ở cả ba khối lớp. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã thuộc lòng kiến thức cơ bản về hình này và ghi nhớ phương pháp giải cho các dạng bài liên quan nhé!