Hình chóp đều và hình chóp cụt đều

Hình chóp đều và hình chóp cụt đều là những hình học cơ bản trong toán học và hình học học. Chúng ta có thể áp dụng các công thức và tính toán để tìm ra diện tích bề mặt và thể tích của các loại hình chóp này. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về đặc điểm và tính chất của hình chóp đều và hình chóp cụt đều, cũng như cách tính toán diện tích bề mặt và thể tích của chúng.

1. Hình chóp là gì?

Định nghĩa

Hình chóp là hình học không gian có mặt đáy là đa giác lồi và các mặt bên đều là tam giác có chung một đỉnh, đỉnh này gọi là đỉnh của hình chóp

• Hình chóp có nhiều loại khác nhau, tên của nó được quy định dựa theo đáy.
• Hình chóp tam giác có đáy là hình tam giác, hình chóp tứ giác có đáy là hình tứ giác.
• Trong các trường hợp đặc biệt như đáy là tam giác đều, tứ giác đều thì ta gọi đó là hình chóp đều

Tính chất

Tính chất 1. Đường thẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy được gọi là đường cao của hình chóp.
Tính chất 2. Nếu hình chóp có cạnh bên hợp với mặt đáy các góc bằng nhau hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao chính  là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
Tính chất 3. Nếu hình chóp có các mặt bên hợp với mặt đáy các góc bằng nhau hoặc có các đường cao của các mặt bên xuất phát từ 1 đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy.
Tính chất 4. Nếu hình chóp có mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với mặt phẳng đáy thì đường cao của hình chóp sẽ là đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.

2. Hình chóp đều

Hình chóp đều là gì?

Hình chóp đều là hình chóp có mặt đáy là một đa giác đều, có mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

Tính chất của hình chóp đều

• Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau
• Các mặt bên của hình chóp cụt đều là hình thang
• Các đường có chứa các cạnh bên sẽ hội tụ tại một điểm nào đó

Phân biệt các hình chóp đều

	Đáy	Mặt bên	Số cạnh đáy	Số cạnh	Số mặt
Hình chóp tam giác đều	Tam giác đều	Tam giác đều	3	6	4
Hình chóp tứ giác đều	Hình vuông	Tam giác cân	4	8	5
Hình chóp ngũ ngác đều	Ngũ giác đều	Tam giác cân	5	10	6
Hình chóp lục giác đều	Lục giác đều	Tam giác cân	6	12	7

Diện tích xung quanh của hình chóp đều

Diện tích xung quanh hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy và trung đoạn

Công thức

S_xq = p . d

Trong đó:

p là nửa chu vi đáy
d là trung đoạn của hình chóp đều

Thể tích hình chóp đều

Thể tích hình chóp đều bằng \(\frac{1}{3}\) diện tích đáy nhân với chiều cao

Công thức

V = \(\frac{1}{3}\) S . h

Trong đó:
S là diện tích đáy
h là chiều cao

3. Hình chóp cụt đều

Hình chóp cụt đều là gì?

Cắt hình chóp đều bằng một mặt phẳng song song với đáy. Phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng đó và mặt phẳng đáy của hình chóp là một hình chóp cụt đều.
Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân.

Tính chất của hình chóp cụt đều

• Mỗi ​​mặt bên của hình chóp cụt đều là hình thang cân.
• Hình chóp cụt đều có 2 mặt đáy
• Các mặt đáy song song với nhau

Thể tích chóp cụt đều

Để tính thể tích chóp cụt đều ta lấy thể tích của hình chóp đều lớn trừ đi thể tích của hình chóp đều nhỏ hoặc áp dụng công thức:

\(V=\frac13\;.\;h(B\;+\;B'+\;\sqrt{B.B'})\)

Trong đó:
B và B’ lần lượt là diện tích của đáy lớn và đáy nhỏ của hình chóp cụt đều.
h là chiều cao (khoảng cách giữa 2 mặt đáy).

4. Bài tập

Bài 1. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau?
A. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác bất kì, các mặt bên là những tam giác bất kì có chung đỉnh.
B. Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy.
C. Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp đều được gọi là trung đoạn của hình chóp đó.
D. Trong hình chóp đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao.

Lời giải
Áp dụng định nghĩa của hình chóp: Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.
Phát biểu A sai.

Bài 2. Một hình chóp có thể tích bằng 64cm3, chiều cao bằng 12cm. Tính độ dài cạnh đáy.

Lời giải
Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có V = 64cm³, đường cao h = 12cm.
Ta có: \(V=\frac{1}{3} S_{đáy} .h\Rightarrow S_{đáy} =\frac{3V}{SH} =\frac{3.64}{12} =16\ (cm^{2} )\)
Tức BC² = 16 ⇒ BC = 4
Vậy độ dài cạnh đáy là 4cm

Bài 3. Thể tích của hình chóp tứ giác đều có chiều cao 6cm, cạnh đáy 4cm là
Lời giải
Đáy của hình chóp tứ giác đều là hình vuông nên diện tích đáy là S = 42 = 16cm²
Thể tích cần tìm là: \(V=\frac{1}{3} .6.16=32\) cm³

Bài 4. Tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt tứ giác đều  có các cạnh đáy bằng 6cm và 8cm, chiều cao của mặt bên bằng 5cm.

Lời giải
Mặt bên hình chóp cụt tứ giác đều là hình thang cân nên diện tích một mặt bên bằng
\(\frac{(6+8).5}{2} =35\ (cm^{2} )\)