Trong toán học, có khá nhiều loại hình cơ bản mà bạn đã được làm quen như hình chữ nhật, hình vuông, hình tam giác,… Rồi khi lớn hơn và trở thành học sinh trung học, bạn sẽ có cơ hội biết thêm nhiều dạng hình học không gian, trong đó có hình chóp cụt. Tính chất của dạng hình này là gì ? Và làm thế nào để tìm ra diện tích của chúng ?
Bật mí khái niệm hình chóp cụt là gì và các tính chất liên quan
Hình chóp cụt là một phần của hình chóp thông thường nhưng bị cắt bởi một mặt phẳng song song với phần đáy. Hình được chia thành hai phần bao gồm: Đáy lớn (tức phần đáy ban đầu) và đáy nhỏ (là mặt cắt nêu trên). Những mặt bên còn lại của hình sẽ thường là dạng hình thang. Tuỳ theo phần đáy mà sẽ có nhiều loại hình chóp dạng cụt khác nhau với tính chất như sau:
-
- Hai đáy của hình sẽ là hai đa giác (tứ giác, ngũ giác, tam giác,…). Toàn bộ các cạnh tương ứng sẽ song song và có tỉ số bằng nhau.
- Trong hình, tất cả các mặt bên sẽ là hình thang.
- Những đường thẳng có chứa cạnh bên đều đồng quy tại một điểm là đỉnh của hình chóp.
- Hình chóp cụt đều sẽ có các mặt đáy là đa giác đều (tức các cạnh của chúng bằng nhau). Vì thế, các mặt bên của chúng sẽ là hình thang cân.
Các công thức tính diện tích hình chóp cụt và bài tập ví dụ (có đáp án)
Là một dạng hình học không gian nên sẽ có đầy đủ các công thức tính diện tích xung quanh, toàn phần hình chóp cụt. Sau đây là những kiến thức quan trọng mà các em học sinh nhất định phải nhớ:
Công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt
Diện tích xung quanh sẽ là tổng diện tích của tất cả các mặt bên bao quanh hình, nhưng không gồm hai đáy với công thức là:
\[S_{xq}=n\times S_{mb}=>S_{xq}=n\times\frac{1}{2}(a+b)\times h\]
Trong đó:
- \[S_{xq}\]: Diện tích xung quanh cần tìm
- n: Tổng số lượng mặt bên của hình và bằng số cạnh của đa giác đáy
- a,b: chiều dài cạnh của 2 đáy trên và dưới
- h: chiều cao của tứ giác mặt bên
Bài tập 1: Tìm diện tích xung quanh của hình chóp cụt có đáy là tứ giác đều và cạnh đáy là 10cm và 15cm. Biết rằng, chiều cao của mặt bên bằng 12cm.
Lời giải:
Vì mặt bên hình chóp này là tứ giác đều và là hình thang cân nên diện tích một mặt là:
\[\frac{\left(10+15\right)\times12}{2}=150\;\left(cm^2\right)\]
Vậy, diện tích xung quanh của hình là: \[150\times 4=600(cm^2)\]
Bài tập 2: Tìm diện tích xung quanh biết đây là hình chóp dạng cụt có đáy là tứ giác đều với cạnh lần lượt là 6cm và 8cm. Chiều cao mặt bên bằng 5cm.
Diện tích một mặt bên sẽ là hình thang cân bằng:
\[\frac{\left(6+8\right)\times5}{2}=35\;\left(cm^2\right)\]
Vậy, diện tích xung quanh cần tìm là: \[35\times 4=140(cm^2)\]
Diện tích toàn phần
\[S_{tp}=S_{sq}+S_{dl}+S_{dn}\]
Trong đó:
- \[S_{tp}\]: Diện tích toàn phần
- \[S_{xq}\]: Diện tích xung quanh
- \[S_{dl}\]: Diện tích đáy lớn
- \[S_{dn}\]: Diện tích đáy nhỏ
Bài tập: Tìm diện tích toàn phần của hình chóp có đáy là tam giác đều với cạnh đáy là a, chiều cao là 2a.
Lời giải:
Hình chóp S.ABC sẽ có AB=AC=BC=a và SH=2a.
Đặt M là trung điểm BC => AM sẽ là trung tuyến, đường cao và đường phân giác của tam giác đều ABC
=> AM vuông góc với BC và HM=1/3AM.
Theo định lý Pytago trong tam giác vuông ABM tại M ta có:
\[AB^2=BM^2+AM^2 a^2=(\frac{HM}{3})^2+AM^2\]
\[AM^2=(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2=>AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]
Suy ra, \[HM=\frac{a\sqrt{3}}{6}\]
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác SHM vuông tại H, ta có:
\[SM^2=HM^2+SH^2\]
\[SM^2=(\frac{a\sqrt{3}}{6})^2+(2a)^2=>SM^2=(\frac{7a\sqrt{3}}{6})^2=>SM=\frac{7a\sqrt{3}}{6}\]
Áp dụng công thức \[S_{tp}=S_{sq}+S_{dl}+S_{dn}\]
\[=>S_{tp}=\frac{7a^2\sqrt{6}}{4}+\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=2a^2\sqrt{3}\]
Bài viết trên đã mang đến các kiến thức phổ quát giúp bạn hiểu hình chóp cụt là gì cách tính diện tích xung quanh cũng như diện tích toàn phần của chúng. Mong rằng, các bài tập vận dụng trên sẽ giúp bạn củng cố thêm tư duy và khả năng tính toán của bản thân.
