Đối xứng tâm
Chúng ta đã được học về khái niệm điểm, đường thẳng và các hình phẳng trong toán học. Bài viết dưới đây sẽ giúp các bạn tìm hiểu về khái niệm đối xứng tâm, cùng với đó bài viết sẽ tổng hợp và chia sẻ một số bài tập bổ ích về chuyên đề này. Mời các bạn cùng tìm hiểu.
1. Hai điểm đối xứng qua một điểm
Định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm I nếu I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó
=>Hai điểm M và M' gọi là điểm đối xứng với nhau qua điểm I
2. Hai hình đối xứng qua một điểm
Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm I nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm I và ngược lại.
3. Hình có tâm đối xứng
Định nghĩa: Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua điểm O cũng thuộc hình H. Ta nói hình
H có tâm đối xứng.
Ví dụ: Giao điểm O của AC và BD là tâm của hình bình hành ABCD.
Tâm đối xứng của một số hình phẳng
| Loại hình | Tâm đối xứng của hình |
|---|---|
| Hình bình hành | Giao điểm hai đường chéo |
| Đường tròn | Tâm của đường tròn |
| Hình chữ nhật | Giao điểm hai đường chéo |
| Hình thoi | Giao điểm hai đường chéo |
| Hình vuông | Giao điểm hai đường chéo |
| Đa giác đều (có số cạnh chẵn) | Giao điểm của các đường chéo nối liền 2 đỉnh đối diện nhau |
4. Bài tập
Bài 1. Cho AB = 6cm, A' là điểm đối xứng với A qua B, AA' có độ dài bằng bao nhiêu ?
A. AA' = 3cm
B. AA' = 12cm
C. AA' = 6cm
D. AA' = 9cm
Lời giải:
Định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Khi đó, A' là điểm đối xứng với A qua B thì AB = BA' = 6cm
⇒ AA' = AB + BA' = 6 + 6 = 12cm
Bài 2. Hình nào dưới đây có tâm không phải là giao điểm của hai đường chéo?
A. Hình bình hành
B. Hình chữ nhật
C. Hình thoi
D. Hình thang
Lời giải:
Các hình có tâm đối xứng là giao điểm điểm của hai đường chéo là
+ Hình bình hành
+ Hình chữ nhật
+ Hình thoi
Hình thang không có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
Bài 3. Tam giác ABC đối xứng với tam giác A’B’C’ qua O. Biết chu vi của tam giác A’B’C’ là 32cm. Chu vi của tam giác ABC là:
A. 32dm
B. 64cm
C. 16cm
D. 32cm
Lời giải:
Vì tam giác ABC đối xứng với tam giác A’B’C’ qua O nên ΔABC = ΔA’B’C’
⇒ AB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’
Nên AB + AC + BC = A’B’ + A’C’ + B’C’
⇒ PABC = PA’B’C’
Do đó chu vi tam giác ABC là PABC = 32cm
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua điểm A, F là điểm đối xứng với D qua C. Chứng minh rằng E đối xứng với F qua B
Lời giải
Theo giả thiết ta có:
A là trung điểm của DE thì AD = AE (1)
C là trung điểm của DF thì CD = CF (2)
Ta có ABCD là hình bình hành nên AD//BC
=>AE//BC (3) và AD = BC (4)
Từ (1), (4) => AE = BC (5)
Từ (3) và (5), tứ giác ACBE có cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành
Áp dụng tính chất và định nghĩa về hình bình hành ACBE ta được AC//BE và AC = BE (6)
Chứng minh tương tự, tứ giác ACFB là hình bình hành ta được AC//BF và BF = AC (7)
Từ (6), (7) => E,B,F thẳng hàng và BE = BF do đó B là trung điểm của È hay E đối xứng với F qua B
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có tâm đối xứng là O, E là điểm bất kỳ trên đoạn OD. Gọi F là điểm đối xứng của C qua E.
1. Tứ giác ODFA là hình gì?
A. Hình thang
B. Hình bình hành
C. Hình thang cân
D. Hình thang vuông
Lời giải
Xét tam giác CAF có E là trung điểm của CF (do F là điểm đối xứng của điểm C qua E); O là trung điểm AC (do O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD) nên OE là đường trung bình của tam giác CAF
=> OE = \(\frac{1}{2}\)AF; OE // AF suy ra OD // AF
=> ODFA là hình thang.