Trong hình học phẳng, hai đường thẳng song song được xem là một khái niệm rất quan trọng. Theo đó, việc hiểu rõ đặc điểm và tính chất của hai đường thẳng nằm song song với nhau sẽ giúp bạn giải quyết tốt các bài tập liên quan. Bài viết sau sẽ giúp bạn nắm vững các kiến thức trọng tâm và bật mí cách giải nhanh và chuẩn xác những dạng bài tập về khái niệm này.
1. Các kiến thức cần ghi nhớ
Trước khi tìm hiểu các dạng bài tập phổ biến về hai đường thẳng nằm song song, bạn nhất định phải thuộc nằm lòng các kiến thức sau:
1.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian
Khi xét đến hai đường thẳng phân biệt trong không gian, chúng ta có thể gặp phải một trong ba trường hợp sau:
- Đồng phẳng: Hai đường thẳng được gọi là đồng phẳng với nhau khi chúng cùng nằm trên một mặt phẳng cụ thể nào đó.
- Chéo nhau: Nếu hai đường thẳng không có đồng phẳng, tức không nằm cùng một mặt phẳng thì chúng được gọi là chéo nhau.
- Song song: Hai đường thẳng sẽ được gọi là song song khi cùng đồng phẳng và chẳng có bất kỳ điểm chung nào. Khi đó, hai đường thẳng này sẽ xác định nên một mặt phẳng, thường được ký hiệu là mp (a,b).
1.2. Tính chất, định lý liên quan đến hai đường thẳng song song
Sau đây là 3 tính chất và định lý quan trọng về hai đường thẳng nằm song song mà bạn cần nhớ rõ:
- Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài đường thẳng cho trước, chỉ có duy nhất một đường thẳng sẽ đi qua điểm đó và song song với đường thẳng đã cho.
- Tính chất 2: Nếu có hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng sẽ song song với nhau.
- Định lý: Nếu có ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một, đồng thời tạo thành ba giao tuyến, thì ba giao tuyến đó sẽ cùng đi qua một điểm (tức đồng quy) hoặc đôi một song song với nhau.
Ngoài ra, khi nhắc đến khái niệm hình học này, bạn cũng cần phải nắm vững hệ quả sau: Nếu có hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa đựng hai đường thẳng nằm song song, thì giao tuyến của hai mặt phẳng này (nếu có) chắc chắn sẽ song song với hai đường thẳng đó hoặc chỉ trùng với một trong hai đường.
2. Một số dạng bài tập thường gặp về hai đường thẳng song song
Sau đây là 2 dạng bài tập thường xuất hiện trong các bài kiểm tra về khái niệm “hai đường thẳng nằm song song”, phương pháp giải đúng và ví dụ minh họa:
2.1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Trong trường hợp đề bài yêu cầu bạn xác định giao điểm của hai mặt phẳng \[\left(\alpha\right)\] và \[\left(\beta\right)\], bạn có thể thực hiện theo các bước sau:
- Xác định giao điểm chung của hai mặt phẳng: Đầu tiên, bạn cần tìm thấy một điểm S nằm đồng thời ở cả hai mặt phẳng. Điểm này cũng chính là một điểm thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng này, tức là: \[S\in\left(\alpha\right)\cap\left(\beta\right)\]
- Tìm hai đường thẳng nằm song song thuộc mỗi mặt phẳng: Tiếp theo, bạn phải tìm thấy hai đường thẳng \[ a\subset(\alpha)\] và \[ b\subset(\beta)\], sao cho \[a\parallel b\]. Lưu ý rằng hai đường thẳng này không cần trùng nhau nhưng nhất định phải song song và mỗi đường sẽ nằm trên một mặt phẳng tương ứng.
- Kết luận giao tuyến: Giao tuyến d của hai mặt phẳng sẽ là đường thẳng đi qua điểm S (điểm này đã được xác định tại bước đầu tiên) và nằm song song với a (hoặc b, vì chúng song song với nhau). Tới đây, bạn đã có thể xác định đúng giao tuyến d rồi đấy.
Ví dụ: Cho một hình chóp S.ABCD với đáy là hình bình hành. Hãy tìm ngay giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Lời giải:
Ta có:
\[\left\{\begin{matrix}(SAB)\cap(SCD)=S\\AB\subset(SAB),CD\subset(SCD)\\AB//CD\end{matrix}\right.\]
Suy ra \[\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)=Sx\] với Sx // AB // CD
2.2. Chứng minh hai đường thẳng song song
Nếu muốn chứng minh hai đường thẳng a và b song song trong cùng một không gian, bạn có thể vận dụng nhiều cách giải khác nhau, tùy thuộc vào dữ kiện đề bài. Sau đây là 4 phương phải phổ biến:
| Hướng giải | Cách làm chi tiết |
| Chứng minh hai đường thẳng cùng nằm ở một phẳng phẳng và không cắt nhau | – Đầu tiên, bạn cần chứng minh hai đường thẳng cùng thuộc mặt phẳng, tức đồng phẳng.
– Sau đó, sử dụng đến các phương pháp chứng minh hai đường thẳng nằm song song trong hình học phẳng, ví dụ như: hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba hoặc tạo thành các cặp góc so le trong, đồng vị bằng nhau khi bị cắt bởi một đường. |
| Chứng minh là cả hai đường thẳng sẽ cùng song song với một đường thẳng thứ ba | Nếu \[\left(a//c\right)\] và \[\left(b//c\right)\] thì suy ra \[\left(a//b\right)\] (vì cùng song song với một đường thẳng). |
| Dựa vào tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng | Nếu có hai đường thẳng phân biệt lần lượt chứa đựng hai đường thẳng song song, thì giao tuyến của hai mặt phẳng này (nếu có) chắc chắn sẽ song song với hai đường thẳng đó. |
| Sử dụng định lý về ba mặt phẳng cắt nhau | – Nếu có ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một hoặc tạo thành ba giao tuyến, thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc song song với nhau.
– Dựa vào định lý này, bạn có thể suy ra tính song song của hai đường thẳng được yêu cầu nếu biết trước mối quan hệ giữa hai mặt phẳng chứa chúng. |
Lưu ý: Khi giải bài, bạn cần phải đọc thật kỹ các giả thiết để chọn được phương pháp phù hợp, kết hợp việc vẽ hình để hỗ trợ tư duy không gian.
Ví dụ: Cho một hình tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC và P nằm trên cạnh CD. Ngoài ra, gọi Q chính là giao điểm của DA với mặt phẳng (MNP). Hãy chứng minh PQ // MN và PQ // AC.
Lời giải:
Ta có: \[CD\cap(MNP)=\left\{P\right\}\] và MN //AC
Suy ra: \[(MNP)\cap(ACD)=Px \]
Trong đó Px // MN // AC
Mặc khác \[DA\cap(MNP)=\left\{Q\right\}\] nên \[Q\in Px\]
Vậy PQ // MN // AC
3. Bài tập vận dụng về hai đường thẳng song song
Đề bài: Cho một hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, SC, SD, AD sao cho cạnh MN // SB, NP // CD, MQ // CD.
- a) Hãy chứng minh rằng PQ // SA.
- b) Gọi K chính là giao điểm của MN và PQ. Hãy chứng minh rằng SK // AD // BC.
Lời giải:
- a) Ta có: \[MN//SB\Rightarrow\frac{CN}{SC}=\frac{CM}{CB}=\frac{DQ}{AD}\] (1)
Lại có: \[NP//CD\Rightarrow\frac{CN}{CS}=\frac{DP}{DS}\] (2) (Định lý Ta-let)
Từ (1), (2) ta suy ra \[\frac{DP}{DS}=\frac{DQ}{AD}\Rightarrow SA//PQ\]
- b) Xét đến cả 3 mặt phẳng (SAD), (SBC) và (ABCD) lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến là SK, AD, BC.
Suy ra SK, AD, BC sẽ đồng quy hoặc song song với nhau.
Mặt khác \[AC//BC\Rightarrow SK//AD//BC\]
Bài viết trên đây là tất tần tật các kiến thức trọng tâm về hai đường thẳng song song. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã hiểu rõ hơn về các dạng bài về khái niệm này, đồng thời nắm vững phương pháp giải chuẩn xác và nhanh chóng nhé!
