Lý thuyết hai đường thẳng song song

1. Hai đường thẳng song song là gì?

Hai hay nhiều đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không bao giờ cắt nhau gọi là hai đường thẳng song song. Chúng cách đều nhau và có cùng hệ số góc.
Hai đường thẳng song song (trong mặt phẳng) là hai đường thẳng không có điểm chung. 
Ký hiệu: a // b
Hai đường thẳng phân biệt thì hoặc cắt nhau hoặc song song.
 

2. Dấu hiệu nhận biết

• Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song
• Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng song song
• Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc trong cùng phía bù nhau thì hai đường thẳng song song
• Ngoài ra ta còn có dấu hiệu: Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc so le ngoài bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.

Ví dụ:

• \(\widehat{A_1}\) = \(\widehat{B_1}\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong
Suy ra a // b

• \(\widehat{A_3}\) = \(\widehat{B_1}\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị
Suy ra a // b

• \(\widehat{A_1}\) + \(\widehat{B_1}\) = 180 °

Mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía
Suy ra a // b

3. Tiên đề Ơ-clít về hai đường thẳng song song

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song song với đường thẳng đó

4. Tính chất hai đường thẳng song song

Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì:

• Hai góc so le trong bằng nhau
• Hai góc đồng vị bằng nhau
• Hai góc trong cùng phía bằng nhau.

Ví dụ:
 
Nếu a // b thì :

• \(\widehat{A_1}\) = \(\widehat{B_1}\)
• \(\widehat{A_3}\) = \(\widehat{B_1}\)
• \(\widehat{A_2}\) + \(\widehat{B_1}\) = 180 °

5. Cách vẽ hai đường thẳng song song bằng êke

Bước 1: Vẽ đường thẳng a và điểm M không thuộc a.
Bước 2: Đặt ê ke sao cho cạnh ngắn của góc vuông nằm trên đường thẳng a và cạnh huyền đi qua điểm M, vẽ theo cạnh huyền một phần đường thẳng c đi qua M (đường thẳng c cắt đường thẳng a tại điểm N).
Bước 3: Dịch chuyển ê ke sao cho cạnh huyền của ê ke vẫn nằm trên đường thẳng c còn cạnh ngắn của góc vuông đi qua điểm M, vẽ theo cạnh ngắn của góc vuông một phần đường thẳng b đi qua điểm M.
Bước 4: Vẽ hoàn thiện đường thẳng b.

6. Các dạng bài tập về hai đường thẳng song song

Dạng 1: Nhận biết và chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp:
Xét cặp góc so le trong, cắp góc đồng vị hoặc cặp góc trong cùng phía.
Rồi sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Ví dụ: Cho hình vẽ dưới đây biết \(\widehat{A_1}=180^\circ,\;\widehat{B_2}=72^\circ\). Chứng minh a//b

Ta có \(\widehat{B_1}\;+\widehat{B_2}=180^\circ\) (hai góc kề bù)
\(\widehat{B_1}+72^\circ=180^\circ\Rightarrow\widehat{B_1}=108^\circ\)
Do đó \(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}=108^\circ\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị suy ra a//b

Dạng 2: Tính số đo góc tạo bởi đường thẳng cắt hai đường thẳng song song

Phương pháp:
Sử dụng tính chất: Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì:

• Hai góc so le trong còn lại bằng nhau
• Hai góc đồng vị bằng nhau
• Hai góc trong cùng phía bù nhau

Ví dụ: Cho hình vẽ sau biết a//b. Tính  số đo các góc C₁, C₂ trong hình vẽ.

Ta có góc C₁ và D₄ là hai góc trong cùng phía.
Mà a // b nên \(C_1+D_4=180^\circ\)
Suy ra \(C_1=180^\circ-D_4=180^\circ-80^\circ=100^\circ\)
Góc C₂ và góc D₄ ở vị trí so le trong nên \(C_2=D_4=80^\circ\)
Vậy \(C_1=100^\circ,\;C_2=80^\circ\)

Dạng 3: Xác định các góc bằng nhau hoặc bù nhau dựa vào tính chất hai đường thẳng song song

Phương pháp:
Bước 1: Chứng minh hai đường thẳng song song 
Bước 2: Sử dụng tính chất:
Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì:

• Hai góc so le trong còn lại bằng nhau
• Hai góc đồng vị bằng nhau
• Hai góc trong cùng phía bù nhau

Ví dụ: Cho tam giác ACD có \(\widehat{ACD}\) = 30°. Trên AC lấy điểm B. Từ B kẻ đường thẳng song song với CD và cắt AD tại E. Tính \(\widehat{ABE}\)

Vì BE // CD nên \(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\) = 30° (hai góc đồng vị)