Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Trong toán học, tam giác vuông là một trong những dạng tam giác phổ biến nhất. Cạnh huyền của tam giác vuông luôn là đường chéo, tạo thành góc vuông giữa hai cạnh góc vuông. Một trong những quan hệ quan trọng giữa các cạnh và đường cao của tam giác vuông là định lý Pythagoras. Ngoài ra, còn tồn tại một số hệ thức khác liên quan đến các cạnh và đường cao của tam giác vuông, giúp cho việc tính toán và giải các bài toán liên quan đến tam giác vuông trở nên dễ dàng hơn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số hệ thức cơ bản về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

1. Lý thuyết một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Đặt cạnh huyền BC = a, các cạnh góc vuông AB = c; AC = b; đường cao ứng với cạnh huyền AH = h; các đoạn BH = c'; CH = b' lần lượt là hình chiếu của AB, AC trên cạnh huyền

Khi đó ta có các hệ thức sau:

Định lí 1: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền

Trong tam giác ABC vuông tại A có hệ thức:

b² = a.b’; c² = a.c’

Định lí 2: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền

Hệ thức:

h² = b' . c'

Định lí 3: Trong một tam vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

Hệ thức:

b . c = a . h

Định lí 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

 \(\frac1{h^2}=\frac1{b^2}\;+\;\frac1{c^2}\)

Định lí Py - ta - go: Trong một tam giác vuông bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Hệ thức:

Hệ thức: a² = b² + c²

2. Một số bài tập minh hoạ

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB : AC = 7 : 24, BC = 625 cm. Tính độ dài hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Lời giải

Vẽ AH ⊥ BC

 Ta có: AB2 = BH.BC ; AC2 = CH.BC

⇒\(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH}{CH}\Rightarrow\frac{BH}{CH}=\left(\frac7{24}\right)\;=\;\frac{49}{576}\)

Ta có:

\(\frac{BH}{49}=\frac{CH}{576}=\frac{BH\;+\;CH}{49\;+\;576}=\frac{BC}{625}=\frac{625}{625}=1\)

⇒ BH = 49.1 = 49

    CH = 576 .1 = 576

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AC = 20 cm, BH = 9cm. Tính độ dài BC và AH

Lời giải

Đặt HC = x. Áp dụng hệ thức AC2 = BC.HC

⇒ 202 = (9 + x)x

⇔ x2 + 9x - 400 = 0

⇔ (x + 25)(x - 16) = 0

⇔ x = -25 (loại); x = 16

Vậy BC = 16 + 9 = 25 cm

Ta có: AH2 = HB.HC = 9.25 ⇒ AH = 15 (cm)

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB/AC = 20/21 và AH = 420. Tính chu vi tam giác ABC

Đặt AB = 20k ⇒ AC = 21k

Áp dụng định lí Pytago, tính được BC = 29k

Áp dụng hệ thức AB. AC = AH. BC

⇒ 20k.21k = 420.29k ⇒ k = 29

Do đó: AB = 580; AC = 609; BC = 841

Khi đó, chu vi của tam giác ABC là 2030

Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB, HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho góc AMC bằng góc ANB bằng 90°. Chứng minh rằng AM = AN

Lời giải

Áp dụng hệ thức b² = a.b' vào các tam giác vuông AMC và ANB ta được:

AM² = AC.AD ; AN² = AE.AB

ΔABD ~ ΔACE (g.g)

\(\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=AC\;.\;AD\;=\;AE\;.\;AB\)

⇒ AM² = AN² hay AM = AN