Trong chương trình hóa học cấp THCS, tam giác vuông là một trong những dạng hình học quen thuộc và rất quan trọng. Theo đó, việc ghi nhớ một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông sẽ giúp bạn giải nhanh và đúng các bài toán hình học. Bài viết sau sẽ đề cập đủ các công thức, hướng giải của bài tập về cạnh và đường cao trong hình này.
1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Xét \[\triangle ABC\], vuông tại A. Từ điểm A, ta hạ một đường cao AH xuống cạnh huyền là BC, đường cao này cắt cạnh huyền ngay tại điểm H. Dựa vào hình học này, ta sẽ có được những hệ thức quan trọng sau:
- Định lý 1: Mỗi cạnh góc vuông của một hình tam giác vuông khi được bình phương lên sẽ bằng với tích của cạnh huyền cùng hình chiếu của cạnh góc vuông đó lên cạnh huyền. Như vậy, ta có: \[AB^{2}=BH.HC\]; \[AC^{2}=HC.BC\
- Định lý 2: Khi lấy đường cao ứng với cạnh huyền và bình phương, kết quả sẽ bằng với tích 2 hình chiếu của cả hai cạnh góc vuông. Với định lý này, ta có: \[AH^{2}=BH.HC\]
- Định lý 3: Khi nhân hai cạnh góc vuông, nó sẽ cho ra kết quả bằng đúng tích của đường cao ứng với cạnh huyền và chính cạnh huyền đó.\. Cụ thể: AB . AC = BC . AH
- Định lý 4: Khi bình phương đường cao và lấy nghịch đảo của nó, ta sẽ nhận được kết quả bằng với việc cộng nghịch đảo bình phương của 2 cạnh góc vuông. Cụ thể, ta có: \[\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}\]
2. Bảng tổng hợp công thức
Để giúp bạn dễ dàng giải được những bài tập liên quan đến cạnh và đường cao của một tam giác vuông, chúng tôi đã tổng hợp bảng công thức sau:
| Tên gọi | Biểu thức toán học |
| Định lý Pythagore | \[a^{2}=b^{2}+c^{2}\] |
| Hệ thức cạnh – đường chiếu | \[b^{2}=ab’,c^{2}=ac’\] |
| Đường cao theo hình chiếu | \[h^{2}=b’.c’\] |
| Tích cạnh góc vuông và đường cao | a.h = b.c |
| Hệ thức nghịch đảo bình phương đường cao | \[\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\] |
Trong đó:
- a = BC là cạnh huyền
- b = AC, c = AB lần lượt là 2 cạnh góc vuông
- h = AH cũng chính là đường cao của tam giác, ứng với cạnh huyền
- b’ = BH, c’= HC gọi là hình chiếu của 2 cạnh góc vuông ngay trên cạnh huyền
Ngoài ra, chúng ta còn có công thức tính diện tích của một hình tam giác vuông là: \[S=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.bc\]
3. Dạng bài tập về chuyên đề cạnh và đường cao tam giác vuông
3.1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông – Tính độ dài cạnh
Đối với dạng bài tập này, bạn nên làm như sau:
- Bước 1: Xác định vai trò của các đoạn thẳng, bao gồm cả đoạn đã biết lẫn chưa biết.
- Bước 2: Chọn và sử dụng công thức thích hợp để bắt đầu tính toán.
Tuy nhiên, vẫn có một số trường hợp buộc phải dùng đến kỹ thuật đại số. Chẳng hạn:
- Nếu có \[\frac{AB}{AC}=\frac{m}{n}\] thì đặt:
\[\frac{AB}{m}=\frac{AC}{n}=k(m,n,k>0)\Rightarrow AB=km,AC=kn\]
- Nếu có \[BH=x\Rightarrow CH=BC-BH=BC-x\]
Ví dụ: Cho một \[\triangle ABC\] vuông ngay tại đỉnh A, vẽ đường cao AH \[\left(H\in BC\right)\] và có AC = 10cm, AB= 8cm. Hãy tính ngay BC, BH, CH và AH.
Lời giải:
Xét \[\triangle ABC\] vuông ngay tại đỉnh A và đường cao AH với \[\left(H\in BC\right)\]) ta có:
\[BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Mũi tên phải BC=2\sqrt{41}\] (cm)
\[AB^{2}=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^{2}}{BC}=\frac{64}{2\sqrt{41}}=\frac{32}{\sqrt{41}}\] (cm)
\[ CH=BC-BH=2\sqrt{41}-\frac{32}{\sqrt{41}}=\frac{50}{\sqrt{41}}\] (cm)
\[\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{10^{2}}=\frac{1}{64}+\frac{1}{100}\Rightarrow AH=6,4 \] (cm)
3.2. Tính chu vi, diện tích
Khi nhắc đến một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, nhiều học sinh sẽ nghĩ ngay đến việc tính chu vi và diện tích của hình. Theo đó, 3 bước giúp bạn giải tốt bài này là:
- Bước 1: Xác định xem hình cần bạn tính chu vi hay diện tích là hình gì?
- Bước 2: Ghi lại chính xác và đầy đủ nhất công thức dùng để tính chu vi hoặc diện tích hình đã cho, tùy theo yêu cầu của đề bài.
- Bước 3: Tiến hành thay số vào công thức và thực hiện các phép tính đúng theo quy tắc. Trong trường hợp có một hoặc nhiều đoạn thẳng chưa biết độ dài, bạn cần tính trước đoạn đó bằng phương pháp đã áp dụng ở dạng bài trước đó.
Ví dụ: Cho một \[\triangle ABC\] vuông ngay tại đỉnh A, vẽ đường cao AH với \[\left(H\in BC\right)\], lại biết BH = 9cm và đoạn CH = 16cm. Hãy tính ngay chu vi, diện tích \[\triangle ABC\].
Lời giải:
Ta có: \[BC=9+16=25(cm)\]
\[AB^{2}=BH.BC=9.25\Rightarrow AB=\sqrt{9.25}=15(cm)\]
\[AC^{2}=CH.BC=16.25\Rightarrow AC=\sqrt{6.25}=20(cm)\]
Chu vi \[\triangle ABC\] là: \[AB+BC+CA=15+20+25=60(cm)\]
Diện tích \[\triangle ABC\] là: \[\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.15.20=150(cm^{2})\]
3.3. Chứng minh hệ thức
Để chứng minh một hay một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, bạn có thể thử thực hiện đúng theo trình tự sau:
- Bước đầu tiên: Xem xét đến các tam giác vuông xuất hiện trong hình, đặc biệt là những tam giác có chứa các đoạn thẳng được nêu trong đề bài. Việc nhận diện đúng hình chắc chắn sẽ giúp bạn tiếp cận bài toán dễ dàng hơn.
- Tiếp theo: Áp dụng các hệ thức phù hợp, có liên quan đến tam giác vuông – như hệ thức giữa cạnh và hình chiếu, giữa đường cao và cạnh huyền để tìm ra các đoạn thẳng còn thiếu.
- Cuối cùng: Dựa vào các mối liên hệ vừa tính ra, bạn sắp xếp lại thông tin, kết nối các yếu tố để xây dựng lập luận logic, từ đó chứng minh hệ thức đã cho.
Ví dụ: Cho một \[\triangle ABC\] vuông ngay tại đỉnh A, có đường cao AH. Hãy chứng minh:
- a) \[ AB^{2}+CH^{2}=AC^{2}+BH^{2}\]
- b) Vẽ thêm trung điểm AM cho \[\triangle ABC\]. Chứng minh:
+ \[ AB^{2}+AC^{2}=\frac{BC^{2}}{2}+2AM^{2}\]
+ \[ AC^{2}-AB^{2}=2.BC.HM(AC>AB)\]
Lời giải:
- a) Xét đến \[\triangle HAB\] và \[\triangle HAC\] đều vuông ngay tại H, theo định lý Pytago, ta sẽ có:
\[AB^{2}-BH^{2}=AC^{2}-HC^{2}\Rightarrow AB^{2}+CH^{2}=AC^{2}+BH^{2}(dpcm)\]
- b)
(1) Áp dụng định lý trung điểm trong hình tam giác, ta sẽ có:
\[AB^{2}+AC^{2}=2AM^{2}+\frac{1}{2}BC^{2}\]
Đây cũng chính là định lý trung tuyến, đúng với mọi tam giác
\[\Rightarrow AB^{2}+AC^{2}=\frac{BC^{2}}{2}+2AM^{2}(dpcm)\]
(2) Trong \[\triangle ABC\] vuông ngay tại A, từ trực giao \[H\to BC\] thì:
\[AB^{2}=BH.BC \]
\[AC^{2}=CH.BC \]
Nên: \[AC^{2}-AB^{2}=(CH-BH).BC\]
Nhưng : \[CH-BH=2.HM\] (vì H đứng đối xứng qua trung điểm M)
\[\Rightarrow AC^{2}-AB^{2}=2.HM.BC(dpcm)\]
4. Bài tập vận dụng
Đề bài:
Bài tập 1: Cho \[\triangle ABC\] vuông ngay tại đỉnh A, có đường cao AH. Biết AC = 16cm, \[\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\]. Hãy tính ngay AB, BC, AH, BH và CH.
Bài tập 2: Cho \[\triangle ABC\] vuông ngay tại đỉnh A, có thêm đường cao AH với \[H\in BC\]. Ngoài ra, đoạn AH = 4,8cm và đoạn AB = 6 cm. Hãy tính ngay chu vi lẫn diện tích của \[\triangle ABC\]
Đáp án:
Bài tập 1:
Ta có:
\[frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow AB=\frac{3}{4}AC=\frac{3}{4}.16=12(cm)\]
Xét đến \[\triangle ABC\] vuông ngay tại A, có đường cao AH ta được: \[BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\] (định lý Pytago)
\[\Rightarrow BC^{2}=12^{2}+16^{2}=400\Rightarrow BC=20(cm)\]
Lại có: \[AB^{2}=BH.BC\] (hệ thức về cạnh – đường cao)
\[\Rightarrow BH=AB^{2}:BC=12^{2}:20=7,2(cm)\]
\[HC=BC-BH=20-7,2=12,8(cm)\]
Mặt khác \[AH^{2}=BH.HC=7,2.12,8=92,16\Rightarrow AH=9,6(cm)\]
Bài tập 2:
Vì \[AH\perp BC \] nên \[\widehat{AHB}=90^{\circ}\]
Xét đến \[\triangle ABH\] vuông ngay tại đỉnh H, ta có:
\[AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}\] (định lý Pytago) \[\Rightarrow BH=3,6(cm)\]
Xét đến \[\triangle ABH\] vuông tại tại A, có thêm đường cao AH, ta được:
\[AH^{2}=BH.BC\] (hệ thức về cạnh – đường cao)
\[\Rightarrow BC=\frac{AB^{2}}{BH}\frac{6^{2}}{3,6}=10(cm)\]
Hơn nữa: \[AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\] (định lý Pytago) \[\Rightarrow AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}=10^{2}-6^{2}=64\Rightarrow AC=8(cm)\]
Chu vi của \[\triangle ABC\] là: \[AB+BC+AC=6+8+10=24(cm)\]
Diện tích của \[\triangle ABC\] là: \[\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.6.8=24(cm^{2})\]
Bài viết trên đây đã tổng hợp một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đã biết cách nhận diện từng dạng bài tập về chuyên đề hình học này và nắm vững phương pháp giải chuẩn xác nhé!
