Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Hình cầu là một hình dạng được ứng dụng phổ biến trong đời sống thường ngày. Bạn có thể bắt gặp hình cầu qua hình dạng của quả bóng bàn, viên bi, quả địa cầu,… Nhưng công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu không phải ai cũng biết. Nếu bạn gặp khó khăn về công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu thì hãy xem bài viết này.

1. Khái niệm hình cầu, mặt cầu

Hình cầu là gì?

Khi quay nửa hình tròn (O, R) một vòng quanh đường kính AB cố định thì ta sẽ được một hình cầu.

• Nửa đường tròn trong phép quay trên sẽ tạo thành một mặt cầu.
• Điểm O được gọi tâm hình cầu, R là bán kính của hình cầu hay mặt cầu đó.

Mặt cầu là gì?

Mặt cầu là tập hợp các điểm cách đều điểm O (tâm hình cầu) cố định cho trước một khoảng không đổi bằng R (bán kính).

2. Cắt hình cầu, mặt cầu bởi một mặt phẳng

Cho hình cầu, khi cắt hình cầu đó bởi một mặt phẳng ta sẽ được một hình tròn.

Cho mặt cầu, khi cắt mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng ta sẽ được một đường tròn:

• Đường tròn đó có bán kính R nếu mặt phẳng cắt mặt cầu đi qua tâm (được gọi là đường tròn lớn).
• Đường tròn đó có bán kính bé hơn R nếu mặt phẳng cắt mặt cầu không đi qua tâm.

Ví dụ: Cho hình cầu tâm O bán kính hình cầu R, mặt phẳng (x) đi qua tâm O:

• Cắt hình cầu (O), ta được hình tròn tâm O.
• Cắt mặt cầu (O), ta được đường tròn (O, R).

3. Tính chất hình cầu

Hình cầu có 2 tính chất chính là:

• Trục đối xứng của hình cầu là bất kỳ đường thẳng nào giao nhau với hình cầu và đi qua tâm của nó. Khi đó, xoay 1 quả cầu xung quanh trục này ở bất kỳ góc độ nào cũng sẽ biến nó thành chính nó.
• Mặt phẳng phản xạ là một mặt phẳng cắt hình được đề cập qua tâm của nó chia hình cầu thành hai phần bằng nhau.

4. Công thức tính diện tích mặt cầu

Diện tích hình cầu chính là diện tích mặt cầu bên trong hình cầu. Diện tích mặt cầu được tính bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn, hay bằng bốn lần hằng số Pi nhân với bình phương bán kính của hình cầu.

Công thức

\(S=4\pi .r^{2} =\pi .d^{2}\)

Trong đó:

• S là diện tích mặt cầu
• r là bán kính mặt cầu/hình cầu
• d là đường kính mặt cầu/hình cầu
• π là số pi có giá trị sấp sỉ 3,14

5. Công thức tính thể tích hình cầu

Thể tích của hình cầu là lượng không gian mà hình cầu chiếm. Thể tích hình cầu (hay thể tích khối cầu) được tính bằng ba phần tư của Pi nhân với lập phương bán kính hình cầu.
Như vậy, để tính thể tích khối cầu, chỉ cần tìm bán kính hình cầu (hoặc đường kính). 

Công thức:

\(V=\frac{4\pi .r^{3}}{3} =\frac{1}{6} \pi .d^{3}\)

Trong đó

• V là thể tích khối cầu (đơn vị m³)
• π là số pi, có giá trị sấp sỉ 3,14
• r là bán kính khối cầu
• d là đường kính mặt cầu/hình cầu

6. Bài tập

Bài 1. Tính diện tích của mặt cầu có bán kính nối từ tâm O dài:
a) 8 m
b) 1,3 dm
c) 2 cm
d) 15 cm

Giải
Áp dụng công thức
a) Diện tích mặt cầu là:
4 x 3,14 x 8² = 803,84 (m²)
b) Diện tích của mặt cầu là:
4 x 3,14 x 1,3² = 21,2264 (dm²)
c) Diện tích của mặt cầu là:
4 x 3,14 x 2² = 50,24 (cm²)
d) Diện tích của mặt cầu là:
4 x 3,14 x 15² = 8026 (cm²)

Bài 2. Tính diện tích của mặt cầu biết đường kính có độ dài:
a) 2,3 cm
b) 9 cm
c) 1⁄2 cm
d) 5,5 cm

Giải: 
Áp dụng công thức
a) Diện tích của mặt cầu là:
3,14 x 2,3² = 16,6106 (cm²)
b) Diện tích của mặt cầu là:
3,14 x 9² = 254,34 (cm²)
c) Diện tích của mặt cầu là:
3,14 x (1/2)² = 0,785 (cm²)
d) Diện tích của mặt cầu là:
3,14 x (5,5)² = 94,985 (cm²)

Bài 3. Có đường tròn tâm O, bán kính là 8m. Hãy tính diện tích hình cầu? 
Giải: 
Trước tiên, khi đã có bán kính của mặt cầu bạn tiến hành thay vào công thức \(S=4\pi .r^{2}\), bạn được:
S = 4 x 3,14 x 9² = 803,84 m²

Bài 4. Cho đường tròn tâm O, đường kính 3,5 cm. Hãy tính diện tích mặt cầu
Giải: 
Để tính diện tích hình cầu trong trường hợp này bạn cũng thay đường kính vào công thức \(S=\pi .d^{2}\), bạn được:
S = 3,14 x 3,5² = 38,465 cm²

Bài 5. Tính thể tích khối cầu có đường kính d = 6 cm.
Giải:
Bán kính r = d/2 = 3 cm
Thể tích khối cầu là: V = \(\frac43\).π r³ = 4/3 . 3,14 . (3)³ = 113,04 cm³

Bài 6.  Cho mặt cầu có thể tích V = 288π (cm³). Tính đường kính mặt cầu:
Giải
Ta có: \(V=\frac{4}{3} \pi .r^{3} =288\pi \) -> r = 6cm
Từ đó đường kính của mặt cầu là: d = 2 . r = 2.6 =12cm

Bài 7. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh 3cm là?

Gọi R là bán kính khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD EFGH

Ta có \(CE=AB.\sqrt{3} =3\sqrt{3} \ cm\)

Suy ra \(R=\frac{1}{2} CE=\frac{3\sqrt{3}}{2} cm\)

Thể tích khối cầu là:

\(V=\frac{4}{3} \pi .R^{3} =\frac{4}{3} \pi .(\frac{3\sqrt{3}}{2} )^{3} =\frac{27\sqrt{3}}{2} \pi \ cm^{3}\)