Hình nón. Hình nón cụt. Diện tích xung quanh, thể tích hình nón và hình nón cụt

Hình nón là một trong những hình học cơ bản trong toán học. Nó được tạo thành bởi một đa giác đều có số cạnh lớn hơn hai được gọi là đáy và một điểm không thuộc đáy được gọi là đỉnh. Hình nón cụt là một hình nón có một mặt phẳng cắt qua nó song song với mặt đáy. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về diện tích xung quanh, thể tích của hình nón và hình nón cụt, và cách tính chúng bằng các công thức toán học.

1. Hình nón là gì

Định nghĩa

Hình nón là hình học không gian ba chiều đặc biệt được tạo ra bởi bề mặt phẳng và bề mặt cong hướng về phía trên. Đầu nhọn của hình nón được gọi là đỉnh, bề mặt phẳng được gọi là đáy. Những đồ vật, vật dang có dạng hình nón trong đời sống như: chiếc nóng là, chiếc mũ sinh nhật, chiếc phễu,...

Hình nón được tạo ra khi quay tam giác vuông một vòng quanh một góc vuông cố định.

Tính chất hình nón

• Không có cạnh
• Có một đỉnh hình tam giác
• Có một mặt tròn được gọi là đáy
• Chiều cao là khoảng cách từ tâm vòng tròn đến đỉnh của hình nón, hình tạo bởi đường cao và bán kính trong hình nón sẽ là 1 tam giác vuông.

2. Các loại hình nón

• Hình nón tròn: Là kiểu hình nón có đỉnh nằm thẳng lên và vuông góc với mặt đáy. 
• Hình nón xiên: Là kiểu hình nón có đỉnh nằm xiên và không vuông góc với mặt đáy.
• Hình nón cụt: Là kiểu hình nón bị cắt mất phần đỉnh. Giống như khi hình nón bị cắt bởi một mặt phẳng song song với đáy, phần mặt phẳng nằm trong hình nón sẽ là một hình tròn. Hình tính từ đáy và mặt phẳng hình tròn này được gọi là hình nón cụt.

3. Cách nhận biết, ký hiệu và công thức tính mặt đáy, đường cao, đường sinh, bán kính đáy của hình nón

	Cách nhận biết	Kí hiệu
Mặt đáy	Là mặt phẳng có hình tròn của hình nón
Đường cao	Là khoảng cách từ tâm mặt đáy đến đỉnh của hình chóp hay được gọi là đường cao hạ từ đỉnh xuống tâm đáy hình nón	h
Đường sinh	Là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường tròn đấy đến đỉnh của hình chóp	l
Bán kính đáy	Là khoảng cách từ tâm đến một điểm trên hình tròn của mặt phẳng đáy	r

Khi biết đường cao và bán kính đáy của hình nón, công thức tính đường sinh là:

\(l=\sqrt{r2+h2}\)

Khi biết đường sinh và bán kính đáy của hình nón, Công thức tính chiều cao:

\(h=\sqrt{l2-r2}\)

Khi biết đường sinh và đường cao của hình nón, công thức tính bán kính đáy là:

\(r=\sqrt{l2-h2}\)

Khi biết bán kính đáy của hình nón, công thức tính diện tích đáy là:  

Sđáy = π.r²

4. Công thức tính diện tích và thể tích hình nón

Diện tích xung quanh hình nón

Diện tích xung quanh hình nón là phần chỉ bao gồm diện tích mặt xung quanh, bao quanh hình nón, không gồm diện tích đáy.

Để tính diện tích xung quanh hình nón ta lấy số pi nhân với bán kính (r) nhân với đường sinh (l) ta sẽ ra kết quả.

Công thức

\(Sxq=\mathrm\pi.\mathrm r.\mathrm l\)

Diện tích toàn phần hình nón

Diện tích toàn phần hình nón được tính là độ lớn của toàn bộ không gian hình chiếm giữ, bao gồm cả diện tích xung quanh và diện tích đáy tròn.

Để tính được diện tích toàn phần của hình nón ta lấy diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy sẽ đạt được kết quả.

Công thức

\(Stp=Sxq+Sđ=\mathrm\pi.\mathrm r.\mathrm l+\mathrm{πr}^2\)

Công thức tính thể tích hình nón

 Để tính thể tích của hình nón ta lấy chiều cao (h) nhân với bán kính (r) bình phương rồi nhân tiếp với số pi sau đó chia cho 3 sẽ ra kết quả.

Công thức

\(V=\frac13.\mathrm\pi.\mathrm r^2.\mathrm h\)

Trong đó 

• h: Chiều cao của hình
• r, r1. r2: bán kính các đáy
• l: đường sinh

5. Hình nón cụt

Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nằm giữa mặt phẳng nói trên và mặt đáy được gọi là một hình nón cụt.

Có thể hiểu, hình nón cụt là hình có 2 đáy là hai hình tròn có bán kính to nhỏ khác nhau nằm trên hai mặt phẳng song song có đường nối tâm là trục đối xứng.

6. Công thức tính diện tích và thể tích hình nón cụt

Diện tích xung quanh hình nón cụt

Diện tích xung quanh hình nón cụt bao gồm diện tích mặt xung quanh bao quanh hình nón cụt, không gồm diện tích 2 đáy và được tính bằng hiệu diện tích xung quanh của hình nón lớn và hình nón nhỏ.

Để tính được diện tích xung quanh hình nón cụt ta lấy số pi nhân với tổng của đáy lớn (r1) cộng với đáy (r2) rồi nhân với đường sinh (l) sẽ cho ra đáp án.

Công thức

\(Sxq=\mathrm\pi({\mathrm r}_1+{\mathrm r}_2).\;\mathrm l\)

Diện tích toàn phần hình nón cụt

Diện tích toàn phần hình nón cụt là độ lớn của toàn bộ không gian hình chiếm giữ, bao gồm cả diện tích xung quanh và diện tích hai đáy tròn và được tính bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích của 2 đáy.

Để tính được diện tích toàn phần của hình nón cụt ta lấy tổng của diện tích xung quanh cộng với diện tích của đáy lớn cộng tiếp với diện tích đáy nhỏ sẽ cho ra đáp án.

Công thức

\(Stp=\mathrm\pi({\mathrm r}_1+{\mathrm r}_2).\;\mathrm l+\mathrm\pi.{\mathrm r}_1^2+\mathrm\pi.{\mathrm r}_2^2\)

Thể tích hình nón cụt

Thể tích hình nón cụt là lượng không gian mà hình nón cụt chiếm.

Để tính được thể tích của hình nón cụt ta lấy tổng của đáy lớn (r1) bình phương cộng đáy nhỏ (r2) bình phương cộng tích của đáy lớn đáy nhỏ (r1.r2) rồi nhân với chiều cao và pi. Sau đó lấy kết quả chia cho 3 sẽ ra đáp án.

Công thức

\(V=\frac{(r_1^2+r_2^2+r_1.r_2)h.\pi}3\)

Trong đó 

• h: Chiều cao của hình
• r, r1. r2: bán kính các đáy
• l: đường sinh

7. Bài tập

Bài 1. Tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy R = 3, chiều cao h = 4

Giải
Độ dài đường sinh \(l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\)
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là \(Sxq=\mathrm\pi.\mathrm R.\mathrm l=15\mathrm\pi\)

Bài 2. Cho hình nón (N) có góc ở đỉnh bằng 60^o, độ dài đường sinh bằng 4. Thể tích khối nón đã cho bằng?

Giải
Vì góc ở đỉnh hình nón bằng 60^o \(\mathrm l=2\mathrm R=4\Rightarrow\mathrm R=2\)
Ta có \(h^2+R^2=l^2\Rightarrow h=\sqrt{l^2-R^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3\)
Vậy thể tích khối nón đã cho là \(V=\frac13\mathrm{πR}^2\mathrm h=\frac13\mathrm\pi.2^2.2\sqrt3=\frac{8\sqrt3\mathrm\pi}3\)

Bài 3. Cho tam giác AC vuông tại A, AB = a và AC = \(a\sqrt3\). Độ dài đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng?

Giải

Quay tam giác ABC xung quanh trục AB, ta được hình nón có chiều cao h = AB = a, bán kính đáy R=AC=\(a\sqrt3\)
Do đó độ dài đường sinh là \(l=\sqrt{h^2+R^2}=2a\)

Bài 4. Cho hình nón có đường kính đáy d = 10 cm và diện tích xung quanh 65π (cm²) . Tính thể tích khối nón:

Giải
Bán kính đường tròn đáy:
\(R=\frac d2=\frac{10}2=5cm\)
Diện tích xung quanh:
\(Sxq=\mathrm\pi.\mathrm R.\mathrm l\Leftrightarrow\mathrm\pi.5.\mathrm l=65\mathrm\pi\Rightarrow\mathrm l=13\mathrm{cm}\)
Ta có:
\(R^2+h^2=l^2\Leftrightarrow5^2+h^2=13^2\Rightarrow h^2=144\Rightarrow h=12cm\)
Thể tích khối nón:
\(V=\frac13\mathrm{πR}^2\mathrm h=\frac13\mathrm\pi.5^2.12=100\mathrm\pi\;(\mathrm m^3)\)