Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

Hình trụ là một trong những hình học được ứng dụng nhiều trong đời sống hàng ngày. Nhờ khả năng chịu lực vô cùng tốt, hình trụ được mô phỏng qua nhiều hình dạng cấu trúc như ống khói, đường ống nước, cột trụ,… Trong đó những lon nước ngọt có thiết kế hình trụ chính là ứng dụng bạn thường gặp nhất. Trong bài viết hôm nay OLIM sẽ gửi tới những thông tin về hình trụ, diện tích và thể tích hình trụ để bạn có thể nắm bắt một cách nhanh chóng nhất. 

1. Hình trụ là gì?

Hình trụ là một loại hình học không gian cơ bản được giới hạn bởi mặt trụ và hai đáy là hai đường tròn bằng nhau.

Hình trụ tròn: khi quay hình chữ nhật quanh một cạnh cố định, ta có một hình trụ.

Ví dụ: Ta sẽ có một hình trụ khi xoay một hình chữ nhật ABCD theo một cạnh cố định

• Đường AB là trục.
• CD là đường sinh.
• Độ dài AB = CD = h (chiều cao của hình trụ).
• Hình tròn tâm A. Bán kính r = AD.
• Hình tròn tâm B. Bán kính r = BC. Hai hình tròn tâm A và tâm B là đáy của hình trụ.
• Khối trụ tròn xoay (hay khối trụ) là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.

2. Tính chất hình trụ

• Hình trụ có hai mặt đáy là hình tròn và đường kính bằng nhau
• Hai cạnh có độ dài bằng nhau khi chúng song song với nhau 
• Đường thẳng nối từ hai tâm của hai mặt đáy chính là trục tọa độ của hình trụ.
• Các đường thẳng có cùng độ dài và song song với trục tọa độ được gọi là các đường sinh của hình trụ.

3. Diện tích hình trụ

Diện tích hình trụ bao gồm diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của nó

Diện tích xung quanh của hình trụ

Diện tích xung quanh hình trụ chỉ bao gồm diện tích mặt xung quanh, bao quanh hình trụ, không gồm diện tích hai đáy.
Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ bằng chu vi đường tròn đáy nhân với chiều cao.

Công thức:

\(S_{xq} =2\pi .r.h\)

Trong đó

• S_xq là diện tích xung quanh.
• r là bán kính hình trụ.
• h là chiều cao, khoảng cách giữa 2 đáy của hình trụ

Diện tích toàn phần của hình trụ

Diện tích toàn phần được tính là độ lớn của toàn bộ không gian hình chiếm giữ, bao gồm cả diện tích xung quanh và diện tích hai đáy tròn.
Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích của 2 đáy.

Công thức:

\(Stp=2\pi .r.h+2\pi .r^{2} =2\pi .r.(r+h)\)

Trong đó

• Stp là diện tích xung quanh.
• r là bán kính hình trụ.
• h là chiều cao, khoảng cách giữa 2 đáy của hình trụ

4. Thể tích hình trụ

Thể tích hình trụ là lượng không gian được chiếm giữ một hình trụ nhất định. Để tính được thể tích hình trụ, bạn cần lấy diện tích đáy nhân cho chiều cao của hình trụ.

Công thức

\(V=\pi .r^{2} .h\)

Trong đó

• V là thể tích hình trụ
• \(\pi .r^{2}\) là diện tích đáy
• h là chiều cao

5. Bài tập

Bài 1. Cho một hình trụ có r = 5 cm, h = 10 cm. Hãy tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
Giải
Diện tích xung quanh hình trụ là:
\(Sxq=2.\mathrm\pi.\mathrm r.\mathrm h=2\times3,14\times5\times10=314\) (cm²)
Diện tích toàn phần hình trụ là:
\(S\mathrm{tp}=2.\mathrm\pi.\mathrm r^2+\mathrm{Sxq}=2\times3,14\times5^2+314=471\) cm²

Bài 2. Diện tích xung quanh của một hình trụ có chu vi hình tròn đáy là 13cm và chiều cao là 3cm.

Giải:
Ta có: chu vi hình tròn C = 2r.π = 13cm, h = 3cm
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là :
Sxq = 2.π.r.h = C.h = 13.3 = 39 (cm²)

Bài 3. Cho một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 6cm, trong khi đó chiều cao nối từ đáy tới đỉnh hình trụ dày 8 cm. Hỏi diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ bằng bao nhiêu?

Giải
Theo công thức ta có bán đường tròn đáy r = 6 cm và chiều cao của hình trụ h = 8 cm . Suy ra ta có công thức tính diện tích xung quanh hình trụ và diện tích toàn phần hình trụ bằng:

Diện tích xung quanh hình trụ là

\(Sxq=2.\mathrm\pi.\mathrm r.\mathrm h=2\times3,14\times6\times8=301\) cm²

Diện tích toàn phần hình trụ là

\(S\mathrm{tp}=2.\mathrm\pi.\mathrm r.(\mathrm r+\mathrm h)=2\times3,14\times6(6+8)=527\)cm²

Bài 4. Chiều cao của một hình trụ bằng bán kính đường tròn đáy. Diện tích xung quanh của hình trụ 314 cm2. Hãy tính bán kính đường tròn đáy và thể tích hình trụ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Giải:
Diện tích xung quanh hình trụ bằng 314cm²
Ta có Sxq = 2.π.r.h = 314
Mà r = h
Nên 2.π.r² = 314 => r² ≈ 50 => r ≈ 7,07 (cm)
Thể tích hình trụ: V = π.r2.h = π.r3 ≈ 1109,65 (cm³).

Bài 5. Tính thể tích của hình trụ biết bán kính hai mặt đáy bằng 7,1 cm; chiều cao bằng 5 cm.

Giải:
Thể tích của hình trụ là: 3.14 x (7,1)² x 5 = 791,437 (cm³)

Bài 6. Một hình trụ có diện tích xung quanh là 20π cm² và diện tích toàn phần là 28π cm². Tính thể tích của hình trụ đó.

Giải:
Diện tích toàn phần hình trụ là Stp = Sxq + Sđ = 2π.r.h + 2.π.r²
Suy ra, 2.π.r² = 28.π - 20.π = 8π
Do đó, r = 2cm
Diện tích xung quanh hình trụ là Sxq = 2.π.r.h
<=> 20.π = 2π.2.h
<=> h = 5cm
Thể tích hình trụ là V = π.r².h = π.22.5 = 20π cm³