Hình tròn. Đường tròn. Chu vi đường tròn. Diện tích hình tròn

Hình tròn là một trong những khái niệm quen thuộc trong toán học, với đường tròn là hình học đặc trưng của nó. Đường tròn là tập hợp các điểm nằm cách một điểm gọi là tâm của đường tròn, cùng một khoảng cách được gọi là bán kính. Chu vi đường tròn là tổng độ dài các cạnh của đường tròn, trong khi diện tích hình tròn là diện tích của phần mặt phẳng bị bao quanh bởi đường tròn đó. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các khái niệm này và các công thức tính toán liên quan đến hình tròn.

1. Hình tròn

Khái niệm

Hình tròn là tập hợp tất cả các điểm nằm bên trong và bên trên đường tròn hay nó là tập hợp các điểm cách tâm một khoảng nhỏ hơn hoặc bằng bán kính. Một nửa hình tròn được gọi là hình bán nguyệt.

Ví dụ: điểm D, C nằm trên đường tròn, điểm B, A nằm trong hình tròn.

Tính chất hình tròn

• Hình tròn có tính đối xứng tròn
• Đường kính là trường hợp đặc biệt của dây cung đi qua tâm đường tròn và nó cũng là đoạn thẳng lớn nhất đi qua hình tròn và chia hình tròn thành hai nửa bằng nhau.
• Độ dài đường kính của một đường tròn lớn bằng 2 lần bán kính của đường tròn đó. Bán kính hình tròn là khoảng cách từ tâm của đường tròn tới đường tròn đó và kí hiệu là r.

2. Đường tròn

Khái niệm

Đường tròn (hoặc vòng tròn) là tập hợp của tất cả những điểm trên một mặt phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Điểm cho trước gọi là tâm đường tròn, còn khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn. Đường tròn không có diện tích như hình tròn.

Ví dụ: Đường tròn tâm O, bán kính R, là hình gồm tất cả các điểm nằm trên cùng một mặt phẳng và cách O một khoảng bằng R, kí hiệu (O, R).

Tính chất đường tròn

Đường tròn có những tính chất:

• Góc ở tâm đường tròn bằng 360 độ.
• Đường kính là đoạn thẳng dài nhất trong một hình tròn.
• Các đường tròn bằng nhau có chu vi bằng nhau.
• Một tiếp tuyến của đường tròn nằm ở một góc vuông với bán kính tại điểm tiếp xúc.
• Hai tiếp tuyến được vẽ trên một đường tròn từ một điểm bên ngoài có chiều dài bằng nhau.
• Đường tròn là hình có tâm và vô số trục đối xứng với nhau.

Phân biệt: 
Đường tròn là một hình khép kín đơn giản chia mặt phẳng ra làm 2 phần: phần bên trong và phần bên ngoài. 
Trong khi "đường tròn" chỉ gồm ranh giới của hình, "hình tròn" bao gồm cả ranh giới và phần bên trong.

3. Bán kính và đường kính hình tròn

Bán kính là khoảng cách không đổi từ tâm đến cạnh của hình tròn và có kí hiệu là r

Đường kính hình tròn là đoạn thẳng đi qua tâm của đường tròn, cắt đường tròn tại hai điểm và có kí hiệu là d.

4. Chu vi đường tròn

Chu vi đường tròn là đường biên giới hạn của hình tròn

Muốn tính chu vi đường tròn ta lấy đường kính nhân với số pi (hoặc lấy bán kính nhân 2 rồi nhân với pi)

Công thức:

\(C=d\times\mathrm\pi\) hoặc \(C=r\times2\times\mathrm\pi\)

Trong đó

• C là chu vi hình tròn
• r là bán kính hình tròn
• d là đường kính hình tròn
• π là số pi có giá trị sấp sỉ 3.14

5. Diện tích hình tròn

Diện tích của hình tròn được biết đến là phần diện tích nằm phía trong đường tròn, chúng tỷ lệ thuận cùng với bình phương bán kính của nó.

Muốn tính tính diện tích hình tròn ta lấy bình phương bán kính nhân với Pi.

\(S=r^2\times\mathrm\pi\)

Hay diện tích hình tròn cũng được tính theo công thức là bình phương đường kính nhân với Pi rồi chia cho 4.

\(S=\frac{d^2\times\mathrm\pi}4\)

Trong đó

• S là chu vi hình tròn
• r là bán kính hình tròn
• d là đường kính hình tròn
• π là số pi có giá trị sấp sỉ 3.14

Nhận xét:

Để tính được S ta cần phải biết bán kính của hình tròn đó. Một số đại lượng giúp ta tìm ra giá trị bán kính của hình tròn và S của nó:

• Đường kính hình tròn: d = 2R => R = d/2 => S = πd2/4
• Chu vi hình tròn: C = πd = 2πR => R = C/2π => S = C2/4π

6. Bài tập

Bài 1. Có một hình tròn C có đường kính nối từ điểm AB = 10cm. Hỏi chu vi hình tròn C bằng bao nhiêu?

Giải

Ta áp dụng: cách tính chu vi hình tròn đã có ở trên: d = AB = 10 cm. Như vậy:
C = d x π = 10 x π = 10 x 3,14 = 31,4 cm
 Hình tròn có bán kính R = 2 sẽ có diện tích hình tròn là: S = 2².3,14 = 12,56.

Bài 2. Bánh xe của một xe lửa có đường kính là 1.5m. Hãy tính chu vi của bánh xe đó.

Giải

Chu vi của bánh xe lửa hình tròn là:
C = d x π = 1.5 x 3.14 = 4.71m
Đáp số: 4.71m

Bài 3. Cho hình tròn tâm O có đường kính AB= 15cm. Hãy tính chu vi hình tròn tâm O.
Giải:
Chu vi của hình tròn tâm O là:
C = d x π= 15x 3,14= 47,1 (cm)
Đáp số: 47,1 (cm)

Bài 4. Một bảng chỉ đường hình tròn có bán kính là 15 cm. Hãy tính đường kính và chu vi của bảng chỉ đường đó.

Giải:

Đường kính của bảng chỉ đường là:
d= 2r= 2x 15= 30 (cm)
Chu vi của bảng chỉ đường là:
C = 2r x π = 2x 15x 3.14= 94,2 (cm)
Đáp số: d= 30 (cm)
             C= 94,2 (cm)

Bài 6. Tính diện tích hình tròn, khi biết chu vi C bằng 15,33cm

Giải:

– Ta có, chu vi hình tròn  C = d.π = 2r.π => r = C/(2π)
– Diện tích hình tròn là S = π.r²
=> S = π. (C/2π)²  =   18,71cm²
Vậy diện tích hình tròn là 18,71cm²

Bài 7. Cho hình tròn C có diện tích bằng 26cm². Tính chu vi hình tròn

Giải: 

– Diện tích hình tròn là S = π.r²
Mà diện tích bằng 26cm² => r = 2,877cm
– Chu vi hình tròn là C = d.π = 2r.π = 2 . 2,887 . 3,14 = 18,068cm
Vậy chu vi của hình tròn bằng 18,068cm