Nhân đơn thức với đa thức

Đa thức là một khái niệm quan trọng trong đại số và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, từ toán học đến khoa học máy tính và kỹ thuật. Trong quá trình tính toán đa thức, việc nhân đơn thức với đa thức là một phép toán cực kỳ phổ biến và quan trọng. Bài viết này sẽ giải thích chi tiết về khái niệm nhân đơn thức với đa thức, bao gồm cách thực hiện phép toán này và ví dụ về cách áp dụng trong thực tế. Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm về đại số đa thức và cách áp dụng nó trong giải quyết các bài toán thực tế, hãy đọc tiếp bài viết này.

Nhân đơn thức với đa thức

Trong đại số đa thức, một nhân đơn thức là một đa thức bậc một chỉ chứa một số hạng. Nó có thể được biểu diễn dưới dạng ax^n, trong đó a là hệ số và n là số mũ.

Ví dụ, nhân đơn thức x² được biểu diễn dưới dạng 1x^2, trong đó a = 1 và n = 2.

Tương tự, nhân đơn thức -3y được biểu diễn dưới dạng -3y¹, trong đó a = -3 và n = 1.

Để nhân một nhân đơn thức với một đa thức, ta nhân từng hạng của đa thức với nhân đơn thức.

Ví dụ:

Để nhân đa thức (x² + 3x - 2) với nhân đơn thức 2y, ta nhân từng hạng của đa thức với 2y:

2y(x²) + 2y(3x) - 2y(2) = 2xy² + 6xy - 4y

Kết quả là một đa thức mới có bậc bằng tổng của bậc của nhân đơn thức và bậc của đa thức ban đầu. Trong ví dụ này, bậc của nhân đơn thức là 1, bậc của đa thức ban đầu là 2, do đó bậc của đa thức mới là 3.

Ngoài ra, khi nhân hai nhân đơn thức với nhau, ta chỉ cần nhân hệ số và cộng số mũ.

Ví dụ:

Nhân đơn thức 2x³ với 3x², ta nhân hệ số và cộng số mũ:

(2)(3) = 6 (x³)(x²) = x⁵

Do đó, kết quả là 6x⁵.

Ví dụ:

Nhân đa thức P(x) = 3x³ + 4x² + 5x + 6 với đơn thức Q(x) = 2x. Ta có thể thực hiện như sau:

Q(x)P(x) = 2x(3x³ + 4x² + 5x + 6) = 6x⁴ + 8x³ + 10x² + 12x

Vì vậy, kết quả của phép nhân đa thức P(x) với đơn thức Q(x) là đa thức R(x) là  6x⁴ + 8x³ + 10x² + 12x

Hãy tính tích của đa thức P(x) = 2x³ - x² + 3x - 4 và đơn thức Q(x) = 4x.

Ta thực hiện nhân từng hạng tử của đa thức với hệ số của đơn thức:

Q(x)P(x) = 4x(2x³ - x² + 3x - 4) = 8x⁴ - 4x³ + 12x² - 16x

Vậy kết quả của phép nhân đơn thức Q(x) với đa thức P(x) là đa thức R(x) là 8x⁴ - 4x³ + 12x² - 16x.

Luyện tập

1. Tính (3x² - 2x + 1)(5x)

Đáp án: 15x³ - 10x² + 5x

2. Tính (4a³ - 2a² + 3a - 1)(2a²)

Đáp án: 8a⁵ - 4a⁴ + 6a³ - 2a²

3. Tính (x⁴ - 3x² + 2)(2x³)

Đáp án: 2x⁷ - 6x⁵ + 4x³