Ước chung lớn nhất là kiến thức toán học đại số thuộc chương trình lớp 6. Hơn cả thế, chủ đề này còn theo bạn xuyên suốt trong quá trình học toán về sau. Nó chỉ là một kiến thức cơ bản phải nắm, mà còn là nền tảng giúp bạn giải nhanh nhiều bài toán phức tạp hơn. Ngay sau đây sẽ là cách tìm và các dạng đề liên quan đến chủ đề trên.
Ước chung lớn nhất được hiểu là gì ?
Để hiểu được ước chung lớn nhất là gì, trước hết các bạn học sinh cần nắm rõ khái niệm về ước. Giả sử, nếu có một số tự nhiên gọi là a chia hết cho b, vậy thì b sẽ là ước của a. Tập hợp ước của hằng số a sẽ được ký hiệu là \[ U(a)\]. Ví dụ như, \[ U(24)=\left\{1,2,3,4,6,8,12\right\}\].
Từ đó, có thể hiểu được ước chung của hai số tự nhiên a và b sẽ đồng thời là ước của cả hai số đó. Và số lớn nhất trong tập hợp ước chung kể trên sẽ là ước chung lớn nhất của a và b. Tập hợp ước chung được kí hiệu là \[ UC(a;b)\]. Ví dụ, \[ UC(12;24)=\left\{1,2,3,4,6,12\right\}\], và \[ ƯCLN(12;24)=\left\{12\right\}\].
Tuy nhiên, bạn cần lưu ý rằng, hai số nguyên tố cùng nhau phải là hai số có ƯCLN bằng 1. Đồng thời, phân số tối giản phải là phân số đã có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau theo đúng định nghĩa nêu trên.
Cách tìm ra ƯCLN thông qua định nghĩa
- Sẽ có một số trường hợp đặc biệt mà bạn cần ghi nhớ để có thể tìm ra ƯCLN nhanh hơn rất nhiều. Nếu trong các số đề bài đưa ra để tìm ƯCLN mà số nhỏ nhất là ước của những số còn lại thì ƯCLN là chính số đó. Cụ thể, nếu \[a\vdots b,UCLN(a;b)=b\].
- Số 1 chỉ có duy nhất một ước là 1, nên nếu xét chung với mọi số tự nhiên a và b thì ta có: \[UCLN(a;1)=1,UCLN(a;b;1)=1\].
Ngoài ra, để có xác định ƯCLN bằng định nghĩa thông qua việc tìm ước chung của hai số đó trước. Sau đó, chỉ cần chọn đúng số lớn nhất trong các ước chung vừa tìm được là xong. Ví dụ, hãy tìm ƯCLN (18;30).
Giải:
Ta có: \[U(18)=\left\{1,2,3,6,9,18\right\}\]
\[U(30)=\left\{1,2,3,5,10,15,30\right\}\]
Vậy, \[UC(18;30)=\left\{1,2,3,6\right\}\],
Mà 6 lớn nhất nên \[ƯCLN(18;30)=\left\{6\right\}\].
Mẹo tính ƯCLN bằng cách phân tích thừa số
Với phương pháp này, bạn có tìm ra ra ƯCLN của hai hoặc nhiều số lớn hơn 1 nhanh hơn rất nhiều. Đầu tiên, hãy phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố của chung. Tiếp đến, cần chọn ra các thừa số nguyên tố chung của các số đang xét. Cuối cùng, hãy lập tích các thừa số đã chọn, lưu ý rằng, mỗi thừa số cần lấy số mũ nhỏ nhất. Vậy suy ra, ƯCLN sẽ là tích vừa tìm được.
Ví dụ: Tìm ƯCLN (18;30)
- Phân tích thừa số nguyên tố: \[18=2\times 3^2\], \[30=2\times 3\times 5\].
- Thừa số nguyên tố chung sẽ là 2 và 3
- Vậy \[ƯCLN(18;30)=2\times 3=6\]
Bên cạnh đó, học sinh cần lưu ý rằng nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung, vậy ƯCLN của chúng sẽ là 1. Và như đã có định nghĩa từ trước, hai hoặc nhiều số có ƯCLN là 1 thì được gọi là số nguyên tố cùng nhau.
Các dạng bài tập liên quan đến ƯCLN mà bạn cần biết
Tìm ước chung lớn nhất thường được đánh giá là một dạng bài khá đơn giản. Thế nhưng, hiện nay thì trong nhiều đề thi, chúng thường được lồng ghép cùng nhiều kiến thức khác vô cùng phức tạp.
Dạng 1: Xác định và viết ra tập ước ước chung của 2 hoặc nhiều số
Đầu tiên, bạn nên kiểm tra trước xem hai số đó có đang chia hết cho số này không. Tiếp đến, chỉ cần viết tập hợp ước của mối số, và tìm giao của các tập hợp đó để tìm ra được ước chung của chúng.
Ví dụ: ƯCLN (18;30;15)
\[18=2\times 3^2\]
\[30=2\times 3\times 5\]
\[15=3\times 5\]
Vậy \[ƯCLN(18;30;15)=\left\{3\right\}\]
Dạng 2: Tìm ước chung cần thoả mãn điều kiện cho trước
Đầu tiên, bạn cần xác định đúng ƯCLN của hai hoặc nhiều số mà đề bài đưa ra. Tiếp đến, bạn hãy tìm ước của con số ƯCLN vừa tính và chọn ra số thỏa mãn các điều kiện đề bài đưa ra thì chính nó sẽ là đáp án.
Ví dụ: Tìm x, biết rằng 90 chia hết cho x, và 150 chia hết cho x, \[5<x<30\]
Ta có:
\[90=2\times 3^2\times 5\]
\[150=3\times 2\times 5^2\]
Từ đó, ta có thể tính \[UCLN(90;150)=2\times 3\times 5=30\]
Mà \[U(30)=\left\{1;2;3;5;6;10;15;30\right\}\]
Vì 5<x<30 nên \[x\in\left\{6;10;15\right\}\]
Dạng 3: Toán lời văn
Ví dụ: Một tổ đội gồm 36 nam và 120 nữ. Hỏi, có thể chia tổ đội đó thành nhiều nhất bao nhiêu nhóm nhỏ để cả nam và nữ đều được chia đều vào mỗi tổ.
Số tổ đội có thể chia nhiều nhất sẽ là ước chung lớn nhất của 36 và 120
Ta có:
\[36=2^2\times 3^2\]
\[120=2^3\times 3\times 5\]
\[\Rightarrow UCLN(36;120)=2^2\times 3=12\]
Vậy, số tổ đội có thể chia nhiều nhất là 12 tổ.
Bài viết trên đây đã mang đến góc nhìn sâu sắc và chi tiết hơn cho các bạn học sinh về kiến thức ước chung lớn nhất. Mong rằng, bạn đã tận hưởng được nhiều phút giây học tập thư giãn và hiệu quả.
