Ước chung. Ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số là số nguyên dương lớn nhất chia hết cho mỗi số mà không có phần dư. Nó là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong toán số và có thể được sử dụng để tìm cách đơn giản hóa các phân số, giải các phương trình Diophantine tuyến tính, v.v.

Ước chung. Ước chung lớn nhất là gì?

Ước chung

"Ước” chính là số chia của một số. Lấy một số chia cho ước thì sẽ được phép tính chia hết, không dư.

Ví dụ: 3 là ước của 21, vì 21 chia hết cho 3 (bằng 7).

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Ví dụ: 20 và 24, có ước chung là 2 vì 20 và 24 đều chia hết cho 2.

Ước chung lớn nhất 

Đối với tập hợp các số nguyên dương (a, b), ước chung lớn nhất được định nghĩa là ước chung lớn nhất của cả hai số nguyên dương (a, b).

Ước chung lớn nhất của hai số bất kỳ không bao giờ âm hoặc bằng 0 vì số nguyên dương nhỏ nhất chung của hai số bất kỳ luôn là 1.

Khi mà cả hai số đều có một tập hợp số chia chung ta gọi đó là tập hợp ước chung. Số lớn nhất trong tập hợp ước chung đó, được gọi là ước chung lớn nhất (ƯCLN).

Ví dụ:

Uớc chung lớn nhất của 12 và 10 là 2, vì 12 và 10 đều chia hết cho 2 và không có số nào lớn hơn có tính chất này.

Tập hợp các “ước” của một số được tìm ra bằng cách dựa vào các nhân tử tạo thành số đó. Trước hết ta phân tích một số thành nhân tử. Sau đó chọn nhân tử chung tạo thành tích và tìm ra ước chung của hai số.

Cách tìm ước chung lớn nhất

Liệt kê các ước chung của các số rồi chọn ra ƯCLN

Đối với tập hợp hai số nguyên dương (a, b), chúng ta sử dụng các bước dưới đây để tìm ước chung lớn nhất:

• Bước 1: Viết các ước của số nguyên dương “a”.
• Bước 2: Viết các ước của số nguyên dương “b”.
• Bước 3: Liệt kê các ước chung của “a” và “b”.
• Bước 4: Tìm ước chung lớn nhất trong tập hợp các ước chung của cả "a" và "b".

Ví dụ:

Tìm ước chung lớn nhất của 11 và 121 .

Hướng dẫn:

Chúng ta sẽ sử dụng các bước dưới đây để xác định ước chung lớn nhất của 11 và 21

Các ước của 11 là: 1 và 11.

Các ước của 121 là: 1, 11, 121.

Ước chung của 11 và 121 là 1 và 11

Ước chung lớn nhất của 11 và 121 là 11.

Do đó, ƯCLN (11, 121) = 11.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

• Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
• Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
• Bước 3: Lập tích các tích thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.

Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ví dụ:

a) Tìm ƯCLN (25, 40)

25 = 5 × 5

40 = 2 × 2 × 2 × 5

Ta có: thừa số nguyên tố chung là của 25 và 40 là 5.

Vậy ƯCLN (25, 40) = 5

b) Tìm ƯCLN (24, 96)

24 = 2 × 2 × 2 × 3

96 = 2 × 2 × 2 × 3 × 4

Ta có: Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3 (2 × 2 × 2 × 3) .

Vậy ƯCLN (24, 96) = 2 × 2 × 2 × 3 = 24

Tìm ƯCLN bằng bội chung nhỏ nhất (BCNN) (điều kiện a, b khác 0)

Các bước để tính ƯCLN của (a, b) bằng phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố là:

• Bước 1: Tìm tích của a và b
• Bước 2: Tìm bội chung nhỏ nhất của a và b
• Bước 3: Chia các giá trị thu được ở Bước 1 và Bước 2.
• Bước 4: Giá trị thu được sau phép chia là ước chung lớn nhất của (a, b).

Ví dụ:

Tìm ước chung lớn nhất của 4 và 15

Giải:

Ước chung lớn nhất của 4 và 15 có thể tính như sau:

Tích của 4 và 15  là 4 × 15 

Bội chung của 4 là: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60,...

Bội chung của 15 là: 15, 30, 45, 60,...

Bội chung nhỏ nhất của 4 và 15 là 60

Vậy ƯCLN (4, 15) = (4 × 15) : 60 = 1.

Ước chung lớn nhất của (4, 15) là 1.