Bội chung. Bội chung nhỏ nhất
Bội chung là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực số học. Bội chung của hai hoặc nhiều số là bội số chung nhỏ nhất của chúng, tức là số lớn nhất mà có thể chia hết cho tất cả các số đó mà không có số nào khác lớn hơn cũng chia hết cho tất cả các số đó. Bội chung nhỏ nhất rất quan trọng trong các bài toán liên quan đến phân số, tỉ lệ, đơn vị đo lường, v.v. Bài viết này sẽ giải thích chi tiết về khái niệm bội chung, cách tính bội chung của hai hoặc nhiều số và áp dụng chúng vào các bài toán thực tế.
Bội số, bội số chung và bội số chung nhỏ nhất
Bội số hay bội: là tích giữa một số bất kì với một số nguyên.
Nói cách khác, với các số a và b, ta nói b là một bội của a nếu b = a × n, (với mọi số nguyên n, trong đó n được gọi là số nhân).
Ví dụ:
8 là bội của 2, vì 2 × 4 = 8
15 là bội của 3, vì 3 × 5 = 15
77 là bội của 7, vì 7 × 11 = 77
Bội số chung là một khái niệm cơ bản trong toán học, đặc biệt là trong nghiên cứu về số và tính chất của chúng.
Khi một bội số là bội của hai hay nhiều số ta gọi số đó là bôi số chung.
Ví dụ:
Bội chung của 3 và 6 là 12, 24, 36, v.v. Các số này là bội của cả 3 và 6, do đó có thể coi là bội chung.
Trong số học, bội số chung nhỏ nhất (hay còn gọi tắt là bội chung nhỏ nhất, được viết tắt là BCNN, tiếng Anh: least common multiple hoặc lowest common multiple (LCM) hoặc smallest common multiple) của hai số nguyên a và b là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả a và b. Tức là nó có thể chia cho a và b mà không để lại số dư.
Nếu a hoặc b là 0, thì không tồn tại số nguyên dương chia hết cho a và b, khi đó quy ước rằng bội chung nhỏ nhất của a và b là 0.
Bội số chung nhỏ nhất của hai số a và b được ký hiệu là BCNN (a,b).
Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất trong các bội chung của các số đã cho.
Ví dụ:
Chúng ta hãy lấy hai số, 4 và 5. Mỗi số sẽ có một bộ bội số riêng.
Các bội của 4 là: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
Các bội của 5 là: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …
Vậy bội chung nhỏ nhất của 4 và 5 là 20.
Cách tìm bội chung nhỏ nhất
Liệt kê bội số chung
Ta có thể tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số bằng cách liệt kê các bội chung của chúng. Trong số các bội số chung này, bội số chung nhỏ nhất được xem xét và do đó có thể tính được BCNN của hai số đã cho. Để tính BCNN của hai số a và b theo phương pháp liệt kê, sử dụng các bước dưới đây:
- Bước 1: Liệt kê một vài bội số đầu tiên của a và b.
- Bước 2: Đánh dấu các bội chung từ các bội của cả hai số.
- Bước 3: Chọn bội chung nhỏ nhất.
Ví dụ:
Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 2 và 11.
Giải:
Bội số của 2 là: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,...
Bội số của 11 là: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99,...
Theo như danh sách bội của 2 và 11 đã liệt kê ở trên, ta có thể nhận thấy 22 chính là bội chung nhỏ nhất của 2 và 11.
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
- Bước 1: Tiến hành phân tích mỗi số đã cho thành thừa số nguyên tố.
- Bước 2: Viết các số dưới dạng số mũ. Tìm tích của chỉ những thừa số nguyên tố có lũy thừa cao nhất.
- Bước 3: Lập tích những thừa số nguyên tố đã tìm được ở bước 2, mỗi thừa số sẽ lấy với số mũ lớn nhất và tích đó chính là BCNN cần tìm
Ví dụ:
Tìm bội chung nhỏ nhất của: 4, 72, 90
Bước 1:
Phân tích 3 số sau thành thừa số nguyên tố. Cụ thể:
4 = 2 × 2
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
90 = 2 × 3 × 3 × 5
Bước 2: Viết các thừa số nguyên tố này dưới dạng số mũ
4 = 2 × 2 = 22
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 23 × 32
90 = 2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 32 × 51
Tiến hành chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng, tương ứng sẽ là 2, 3 và 5.
Lúc này, số mũ lớn nhất của 2 là 3 (23), số mũ của 3 là 2 (32) và 5 sẽ là 1.
Bước 3:
Lúc này tích của những số đó sẽ là BCNN của 4, 72, 90 sẽ là 23 × 32 × 5 = 360
Chú ý:
Trường hợp nếu số đã cho từng là 1 cặp số nguyên tố cùng nhau, lúc này BCNN chính là tích của những số đó. Ví dụ: BCNN (5, 7, 8) = 5 × 7 × 8 = 280
Trường hợp những số đã cho, nếu số lớn nhất chính là bội của số còn lại, lúc này BCNN chính là số lớn nhất đó. Ví dụ: BCNN (12, 16, 48) = 48