Trong toán học của THCS, phương trình bậc nhất hai ẩn được xem là kiến thức quan trọng, đặt nền móng cho các chuyên đề đại số nâng cao sau này. Theo đó, việc hiểu rõ định nghĩa, cấu trúc và cách biểu diễn các tập nghiệm của dạng phương trình này sẽ giúp bạn giải quyết nhanh nhiều bài toán khác nhau. Hãy theo dõi bài viết để hiểu rõ hơn về chủ đề này nhé!
1. Các kiến thức cần nhớ
Sau đây là những kiến thức về dạng phương trình này mà bạn cần nắm vững:
1.1. Phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?
Phương trình bậc nhất 2 ẩn chính là một loại phương trình đại số được viết dưới dạng tổng quát như sau:
\[ax+by=c\]
Trong đó:
- a, b, c lần lượt là những hằng số đã được cho trước và có ít nhất một trong hai hệ số a và b phải khác 0 (\[a\neq 0\] hoặc \[b\neq 0\])
- x và y là hai số còn ẩn mà bạn cần tìm.
1.2. Nghiệm của phương trình
Một cặp số \[\left(x_{0};y_{0}\right)\] sẽ được xem là nghiệm của dạng phương trình này khi bạn thay chúng vào phương trình lại nhận được đẳng thức đúng, nghĩa là:
\[a.x_{0}+b.y_{0}=c\]
Điều quan trọng là mỗi điểm như vậy đều có thể biểu diễn bằng một điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Hay nói cách khác, nếu \[\left(x_{0};y_{0}\right)\] đúng là nghiệm của phương trình thì điểm đó sẽ nằm trên đồ thị của phương trình trong hệ trục tọa độ.
1.3. Tập nghiệm và đồ thị phương trình bậc nhất hai ẩn
Dạng phương trình \[ax+by=c\] (1) (\[a\neq 0\] hoặc \[b\neq 0\]), luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của chính nó sẽ được biểu diễn bởi đường thẳng \[ax+by=c\] (d). Theo đó:
- Nếu \[a\neq 0\] và \[b\neq 0\] \[\Rightarrow \] đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số \[y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{d}\]
- Nếu \[a\neq 0\], \[c\neq 0\] và \[b=0\] \[\Rightarrow \] đường thẳng (d) sẽ song song với Oy (trục tung) và phương trình thành \[ax=c\Leftrightarrow x=\frac{c}{a}\].
- Nếu \[a\neq 0\], \[b=0\] và \[c=0\] \[\Rightarrow \] đường thẳng (d) trùng với Oy (trục tung) và phương trình thành \[ax=0\Leftrightarrow x=0\].
- Nếu \[a=0\]; \[b\neq 0\] và \[c\neq 0\] \[\Rightarrow \] đường thẳng (d) sẽ song song với Ox (trục hoành) và phương trình thành \[by=c\Leftrightarrow y=\frac{c}{b}\].
- Nếu \[a=0\]; \[b\neq 0\] và \[c=0\] \[\Rightarrow \] đường thẳng (d) sẽ trùng với Ox (trục hoành) và phương trình thành \[by=0\Leftrightarrow y=0\]
2. Dạng bài tập thường gặp về dạng phương trình bậc nhất hai ẩn
2.1. Xác định xem cặp số nào là nghiệm đúng của phương trình
Đối với kiểu bài tập thế này, bạn chỉ cần thực hiện đúng theo hướng dẫn sau:
- Bước 1: Tính giá trị biểu thức nằm phía bên trái phương trình bằng cách thay giá trị x, y của các cặp số.
- Bước 2: So sánh
- Nếu vế trái = vế phải \[\Rightarrow\] cặp số đó đúng là nghiệm của phương trình.
- Nếu vế trái \[\neq\] vế phải \[\Rightarrow\] cặp số đó chẳng phải là nghiệm của phương trình.
Ví dụ: Trong cặp số \[(0;4),(-1;3),(1;1),(2;3),(4;6)\] đâu là nghiệm của:
- a) \[5x-3y=2\]
- b) \[2x+y=7\]
Lời giải:
- a) Lần lượt thay mỗi cặp số mà đề bài đã cho vào \[5x-3y=2\] ta sẽ được:
\[5x-3y=2\Leftrightarrow 5.1-3.1=2\Rightarrow(1;1)\] là nghiệm đúng của phương trình \[5x-3y=2\].
\[5x-3y=2\Leftrightarrow 5.(-1)-3.3=-14\neq 2\Rightarrow(-1;3)\] chẳng phải là nghiệm của phương trình \[5x-3y=2\].
\[5x-3y=2\Leftrightarrow 5.0-3.4=-12\neq 2\Rightarrow(0;4)\] chẳng phải là nghiệm của \[5x-3y=2\].
\[5x-3y=2\Leftrightarrow 5.2-3.3=1\neq 2\Rightarrow(2;3)\] chẳng phải là nghiệm của phương trình \[5x-3y=2\].
\[5x-3y=2\Leftrightarrow 5.4-3.6=2\Rightarrow(4;6)\] là nghiệm đúng của phương trình \[5x-3y=2\].
- b) Lần lượt thay các cặp số vào \[2x+y=7\], ta sẽ được:
\[2x+y=7\Leftrightarrow 2.0+4=4\neq7\Rightarrow(0;4)\] không phải là nghiệm của \[2x+y=7\].
\[2x+y=7\Leftrightarrow 2.(-1)+3=1\neq7\Rightarrow(-1;3)\] không phải là nghiệm của \[2x+y=7\].
\[2x+y=7\Leftrightarrow 2.1+1=3\neq7\Rightarrow(-1;3)\] không phải là nghiệm của \[2x+y=7\].
\[2x+y=7\Leftrightarrow 2.2+3=7\Rightarrow(2;3)\] đúng là nghiệm của \[2x+y=7\].
\[2x+y=7\Leftrightarrow 2.4+6=14\Rightarrow(4;6)\] không phải là nghiệm của \[2x+y=7\].
2.2. Tìm nghiệm tổng quát, vẽ đồ thị cho phương trình
Đối với phương trình bậc nhất hai ẩn, phương pháp giải chi tiết dành cho dạng bài tập này như sau:
- Bước 1: Chuyển phương trình về dạng của hàm số tuyến tính
Trước hết, hãy thực hiện phép biến đổi đại số để cô lập một ẩn (thường là y hoặc x) sang một vế. Mục đích của việc làm này là chuyển phương trình đó về dạng quen thuộc nhất của hàm số bậc 1 với một ẩn phụ thuộc vào ẩn còn lại, chẳng hạn như:
\[y=ax+b\] hoặc \[x=ay+b\]
- Bước 2: Viết nghiệm tổng quát
Sau khi đưa phương trình về dưới dạng hàm số, ta đã có thể viết nghiệm tổng quát theo cách sau:
\[\left\{\begin{matrix}x\in\mathbb{R}\\y=ax+b\end{matrix}\right.\]
Hoặc \[\left\{\begin{matrix}y\in\mathbb{R}\\x=ay+b\end{matrix}\right.\]
- Bước 3: Lập bảng giá trị
Tại bước này, hãy chọn một số giá trị cụ thể cho ẩn được xem là biến tự do, sau đó thế nó vào đúng biểu thức đã rút gọn để tìm giá trị tương ứng của ẩn còn lại. Nếu muốn tính nhanh và thuận tiện hơn, bạn nên lấy x từ 0 – 2.
- Bước 4: Vẽ đồ thị
Sau khi xác định chính xác hai cặp giá trị (x;y), bạn hãy biểu diễn chúng trên hệ trục tọa độ bằng cách đặt các điểm tương ứng. Tiếp theo, hãy vẽ một đường thẳng duy nhất đi qua mọi điểm trên đó để hoàn thiện đồ thị.
Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát, vẽ đồ thị phương trình:
- a) \[3x-y=1\]
- b) \[x-2y=5\]
- c) \[2x-3y=5\]
Lời giải:
- a) Nghiệm tổng quát của \[3x-y=1\] là:
\[\left\{\begin{matrix}x\in\mathbb{R}\\y=3x-1\end{matrix}\right.\]
Hoặc \[\left\{\begin{matrix}y\in\mathbb{R}\\x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\]
Đồ thị hàm số là:
- b) Nghiệm tổng quát của \[x-2y=5\] là:
\[\left\{\begin{matrix}x\in\mathbb{R}\\y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\]
Hoặc \[\left\{\begin{matrix}y\in\mathbb{R}\\x=5+2y\end{matrix}\right.\]
Đồ thị hàm số là:
- c) Nghiệm tổng quát của \[2x-3y=5\] là:
\[\left\{\begin{matrix}x\in\mathbb{R}\\y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\end{matrix}\right.\]
Hoặc \[\left\{\begin{matrix}y\in\mathbb{R}\\x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\]
Đồ thị hàm số là:
2.3. Dạng bài tập về phương trình bậc nhất hai ẩn – Tìm tham số m
Ở dạng bài này, phương pháp giải chi tiết như sau:
- Bước 1: Chuyển đổi phương trình về dạng chuẩn
Phương trình thường được cho dưới dạng tổng quát:
\[ax+by+c=0\]
Đầu tiên, bạn cần phân tích và rút ra những hệ số a, b, c dựa theo tham số m.
- Bước 2: Áp dụng những điều kiện dưới đây:
- Để đường thẳng đi song song với Ox (tức trục hoành): \[b=0\] và \[a\neq 0\], phương trình còn lại dạng \[ax+c=0\]
- Để đường thẳng song song với Oy (trục tung): \[a=0\] và \[b\neq 0\], phương trình còn lại dạng \[by+c=0\]
- Để đường thẳng qua gốc tọa độ, tức điểm O (0;0): Bạn phải thay \[x=0,y=0 \] vào phương trình và giải nó để tìm thấy m.
- Để đường thẳng đi qua điểm A \[\left(x_{0};y_{0}\right)\]: Bạn phải thay \[x=x_{0};y=y_{0}\] vào phương trình, rồi giải nó để tìm m.
Ví dụ: Cho đường thẳng (d) có phương trình: \[(m-1)x+(3m-4)y=-2m-5\]. Tìm m để:
- a) (d) song song trục hoành
- b) (d) song song trục tung
- c) (d) đi qua gốc tọa độ
Lời giải: Phương trình đường thẳng (d) có: \[a=m+1;b=3m-4;c=-2m-5\]
- a) (d) song song với trục hoành
\[\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a=0\\b\neq 0\\c\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m-1=0\\3m-4\neq 0\\-2m-5\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m=1\\3m\neq 4\\2m\neq-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m=1\\m\neq\frac{4}{3}\\m\neq\frac{-5}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=1\]
Vậy với m = 1, phương trình đường thẳng (d) sẽ song song trục hoành.
- b) (d) song song với trục tung
\[\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a\neq 0\\b=0\\c\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m-1\neq 0\\3m-4=0\\-2m-5\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m\neq 1\\3m=4\\2m\neq-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m\neq 1\\m=\frac{4}{3}\\m\neq\frac{-5}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=\frac{4}{3}\]
Vậy với \[ m=\frac{4}{3}\], phương trình đường thẳng (d) sẽ song song trục tung.
- c) (d) đi qua gốc tọa độ
\[\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a\neq 0\\b\neq 0\\c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m-1\neq 0\\3m-4\neq 0\\-2m-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m\neq 1\\3m\neq 4\\2m=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m\neq 1\\m\neq\frac{4}{3}\\m=-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-\frac{5}{2}\]
Vậy với \[ m=-\frac{5}{2}\], phương trình đường thẳng (d) sẽ qua gốc tọa độ.
2.4. Phương trình bậc nhất hai ẩn – Dạng bài vẽ đồ thị với 2 đường thẳng
Phương pháp giải đúng khi gặp dạng bài này là:
- Bước 1: Biến phương trình về dạng hàm số
Trước hết, bạn cần phải chuyển đổi các phương trình về dạng:
\[y=ax+b\]
Điều này sẽ giúp bạn xác định nhanh và chuẩn hệ số góc cũng như thuận tiện cho việc vẽ đồ thị.
- Bước 2: Vẽ đồ thị
Để vẽ đồ thị hàm số đầu tiên, hãy chọn ít nhất 2 giá trị cho x rồi tính ra y tương ứng. Sau đó, xác định đúng 2 điểm đó trên hệ trục tọa độ. Kế tiếp là dùng một đường thẳng duy nhất để nối 2 điểm. Sau khi vẽ xong đồ thị đầu tiên, bạn cứ làm điều tương tự để vẽ đồ thị thứ 2.
- Bước 3: Tìm giao điểm (nếu có)
Giải hệ phương trình:
\[\left\{\begin{matrix}y=ax+b\\y=cx+d\end{matrix}\right.\]
Sau khi giải hệ phương trình, hãy tính y bằng cách thế x ngược lại.
Ngoài ra, việc quan sát đồ thị cũng xác định đúng số giao điểm. Nếu 2 đường thẳng cắt nhau ngay tại một điểm thì có duy nhất 1 giao điểm. Nếu 2 đường thẳng nằm trùng nhau, chúng chắc chắn có vô số giao điểm. Trong khi đó, nếu 2 đường thẳng lại song song thì chúng chẳng có giao điểm nào cả.
Ví dụ: Vẽ từng cặp phương trình sau trên cùng 1 hệ trục tọa độ rồi tìm giao điểm của chúng:
- a) \[2x-y=3\] và \[3x-2y=5\]
- b) \[x-2y=4\] và \[3x+2y=10\]
Lời giải:
- a) Đồ thị hàm số \[2x-y=3\Leftrightarrow y=2x-3(d_{1})\] và đồ thị hàm số \[3x-2y=5\Leftrightarrow y=\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}(d_{2})\]
Phương trình hoành độ giao điểm:
\[2x-3=\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}\]
\[\Leftrightarrow 2x-\frac{3}{2}x=3-\frac{5}{2}\]
\[\Leftrightarrow\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=-1\]
Vậy \[A(1;-1)\] là giao điểm của 2 đường thẳng đã cho
- b) Đồ thị \[x-2y=4\Leftrightarrow y=\frac{x}{2}-2(d_{1})\]; đồ thị hàm số \[3x+2y=10\Leftrightarrow y=-\frac{3}{2}+5(d_{2})\]
Phương trình hoành độ giao điểm:
\[\frac{x}{2}-2=-\frac{3}{2}+5\]
\[\Leftrightarrow\frac{x}{2}+\frac{3}{2}x=7\]
\[\Leftrightarrow 2x=7\Leftrightarrow x=\frac{7}{2}\Rightarrow y=-\frac{1}{4}\]
\[\Rightarrow B(\frac{7}{2};-\frac{1}{4})\] là giao điểm của 2 đường thẳng đã cho.
3. Bài tập vận dụng về phương trình bậc nhất hai ẩn
Đề bài:
Bài tập 1: Trong cặp số \[(0;4),(-1;3),(1;1),(2;3),(4;6)\] đâu là nghiệm của: \[2x-y=2\]
Bài tập 2: Tìm nghiệm tổng quát, vẽ đồ thị phương trình: \[3y+x=2\]
Bài tập 3: Cho đường thẳng (d) có một phương trình: \[(m-1)x+(3m-4)y=-2m-5\]. Tìm m để: (d) đi qua điểm \[A(2;-1)\]
Bài tập 4: Vẽ cặp phương trình sau trên cùng 1 hệ trục tọa độ rồi tìm giao điểm của chúng: \[x-y=1\] và \[-3x+3y=-6\]
Đáp án:
Bài tập 1: Lần lượt thay từng cặp số vào \[2x-y=2\], ta sẽ được:
\[2x-y=2\Leftrightarrow 2.0-4=-4\neq 2\Rightarrow(0;4)\] không phải là nghiệm của \[2x-y=2\]
\[2x-y=2\Leftrightarrow 2.(-1)-3=-5\neq 2\Rightarrow(-1;3)\] không phải là nghiệm của \[2x-y=2\]
\[2x-y=2\Leftrightarrow 2.1-1=1\neq 2\Rightarrow(1;1)\] không phải là nghiệm của \[2x-y=2\]
\[2x-y=2\Leftrightarrow 2.2-3=1\neq 2\Rightarrow(2;3)\] không phải là nghiệm của \[2x-y=2\]
\[2x-y=2\Leftrightarrow 2.4-6=2\Rightarrow(4;6)\] là nghiệm của \[2x-y=2\]
Bài tập 2:
Nghiệm tổng quát của \[3y+x=2\] là:
\[\left\{\begin{matrix}x\in\mathbb{R}\\y=-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\]
Hoặc \[\left\{\begin{matrix}y\in\mathbb{R}\\x=\frac{2}{3}y\end{matrix}\right.\]
Bài tập 3: (d) đi qua \[A(2;-1)\], suy ra điểm A phải thỏa mãn phương trình đường thẳng:
\[(m-1)x+(3m-4)y=-2m-5\]
\[\Leftrightarrow(m-1)2+(3m-4)(-1)=-2m-5\]
\[\Leftrightarrow 2m-2-3m+4=-2m-5\]
\[\Leftrightarrow m=7\]
Vậy với \[m=-7\], phương trình đường thẳng (d) qua \[A(2;-1)\]
Bài tập 4:
Đồ thị \[x-y=1\Leftrightarrow y=x-1(d_{1})\] và đồ thị \[-3x+3y=-6\Leftrightarrow y=x-2(d_{2})\]
Phương trình hoành độ giao điểm:
\[x-1=x-2\Leftrightarrow 0x=-1\] (phương trình vô nghiệm). Vậy 2 đường thẳng đã cho sẽ song song với nhau.
Bài viết trên đây đã tổng hợp đầy đủ các kiến thức trọng tâm về chuyên đề phương trình bậc nhất hai ẩn. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã ghi nhớ toàn bộ phần lý thuyết, các dạng bài tập của khái niệm toán học này và phương pháp giải rồi nhé!
