Trong chương trình toán học, căn bậc 3 là một chủ đề khá quen thuộc nhưng lại khiến không ít học sinh cảm thấy bối rối khi bắt đầu tiếp xúc với nó. Không chỉ là phép toán ngược với lũy thừa bậc ba, căn bậc ba còn mở ra cách giải quyết nhanh các phương trình phức tạp. Bài viết sau sẽ giúp bạn ghi nhớ toàn bộ kiến thức trọng tâm và cách giải các bài tập liên quan.
1. Các kiến thức cần ghi nhớ
Khi học đến chương trình toán của khối lớp 8, bạn sẽ bắt đầu được làm quen với căn bậc ba – một phần rất quan trọng của đại số. Sau đây là những kiến thức trọng tâm về căn bậc ba mà bạn cần nắm vững:
1.1. Khái niệm căn bậc 3
Căn bậc ba của một số a là một số x, sao cho khi ta lấy x nhân với chính nó ba lần liên tiếp sẽ được a, nghĩa là:
\[x^{3}=a\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{a}\]
Trong đó:
- \[\sqrt[3]{a}\] chính là căn bậc ba của số a
- Ký hiệu \[\sqrt[3]{}\] là dấu của căn bậc ba.
Ví dụ:
\[\sqrt[3]{8}=2\] vì \[2\times 2\times 2=8\]
\[\sqrt[3]{-27}=-3\] vì \[(-3)^{3}=-27\]
Lưu ý rằng, căn bậc ba sẽ luôn có nghiệm duy nhất với tất cả số thực a, kể cả khi số a âm (a<0)
1.2. So sánh căn bậc hai và căn bậc ba
Để tránh nhầm lẫn giữa 2 khái niệm này, bạn có thể theo dõi bảng sau đây:
| Đặc điểm | Căn bậc hai | Căn bậc ba |
| Ký hiệu | \[\sqrt{a}\] | \[\sqrt[3]{a}\] |
| Điều kiện có nghĩa | \[a\geq 0\] (trong tập số thực) | luôn xác định với mọi \[a\in\mathbb{R}\] |
| Số nghiệm | 2 nghiệm nếu \[a>0\] | 1 nghiệm duy nhất |
| Ví dụ | \[\sqrt{9}=3\] hoặc -3 | \[\sqrt[3]{27}=3\] |
1.3. Tính chất của căn bậc 3
Căn bậc ba sẽ bao gồm 4 tính cơ bản sau:
- Căn bậc ba của một tích:
\[\sqrt[3]{a.b}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}\]
- Căn bậc ba của một thương:
\[\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}},b\neq 0\]
- Phân phối căn bậc ba cùng với lũy thừa:
\[\sqrt[3]{a^{3}}=a\] (với mọi \[a\in\mathbb{R}\])
- Dấu căn bậc ba hoàn toàn có thể đưa dấu âm ra ngoài:
\[\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}\]
1.4. Một số căn bậc ba thường gặp
Để thuận tiện cho việc tính toán, bạn có thể học thuộc một số căn bậc ba thường xuất hiện trong bài tập như sau:
| Số a | \[\sqrt[3]{a}\] |
| 1 | 1 |
| 8 | 2 |
| 27 | 3 |
| 64 | 4 |
| 125 | 5 |
| -1 | -1 |
| -8 | -2 |
| -27 | -3 |
2. Chuyên đề căn bậc 3 – Các dạng bài tập liên quan
2.1. Tìm ra căn bậc ba của một số
Đây là dạng bài khởi đầu quan trọng khi học về căn bậc ba. Mục tiêu chính là phải tìm thấy con số nào khi nhân với chính nó ba lần liên tiếp sẽ tạo ra giá trị đã cho trong đề bài. Để thực hiện điều đó, bạn có thể làm theo hướng dẫn sau:
- Bước 1: Phân tích kỹ số đã cho, xem nó có đúng là kết quả của một lũy thừa bậc ba hay không, nghĩa là nó có thể viết thành dạng \[a^{3}\].
- Bước 2: Nếu bạn nhận thấy số đó đúng là một lũy thừa của bất kỳ số nguyên nào đó, căn bậc ba chính là số cơ sở a, vì: \[\sqrt[3]{a}=a\]
- Bước 3: Ngược lại, đối với những số chẳng dễ viết dưới dạng \[a^{3}\], bạn nên sử dụng đến bảng tra cứu của căn bậc ba hoặc bấm máy tính. Thông thường, chúng ta sẽ áp dụng cách này khi số đó không phải là lập phương của một số nguyên hay có giá trị quá lớn.
Ví dụ: Tính:
- a) \[\sqrt[3]{27}=?\]
- b) \[\sqrt[3]{-64}=?\]
- c) \[\sqrt[3]{1000}=?\]
Lời giải:
- a) Vì \[3^{3}=27\] nên \[\sqrt[3]{27}=3\]
- b) Vì \[(-4)^{3}=-64\] nên \[\sqrt[3]{-64}=-4\]
- c) Vì \[10^{3}=1000\] nên \[\sqrt[3]{1000}=10\]
2.2. So sánh các căn bậc 3
Khi bắt gặp 2 biểu thức khác nhau cùng chứa căn bậc ba, nhiều em học sinh sẽ cảm thấy bối rối, chẳng biết nên so sánh luôn hay phải biến đổi. Thực tế, nếu bạn hiểu đúng bản chất và nắm vững phương pháp giải đúng, thì việc so sánh không hề khó. Theo đó, phương pháp giải chi tiết như sau:
Cách 1: Đưa về cùng dạng căn cơ bản:
- Bước 1: Viết 2 biểu thức với dạng căn bậc ba cơ bản, ví dụ như \[\sqrt[3]{a}\] và \[\sqrt[3]{b}\]
- Bước 2: So sánh trực tiếp 2 số a và b nằm dưới dấu căn.
- Bước 3: Kết luận:
- Nếu \[a>b\Rightarrow\sqrt[3]{a}>\sqrt[3]{b}\]
- Nếu \[a<b\Rightarrow\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}\]
Ví dụ: So sánh \[\sqrt[3]{64}\] và \[\sqrt[3]{125}\]
Lời giải: Vì \[64<125\Rightarrow\sqrt[3]{64}<\sqrt[3]{125}\]
Cách 2: Lập phương 2 vế rồi mới so sánh:
- Bước 1: Gọi 2 biểu thức phải so sánh là \[a=\sqrt[3]{x}\] và \[b=\sqrt[3]{y}\]
- Bước 2: Lập phương cả 2 biểu thức này thành: \[a^{3}\] và \[b^{3}\]
- Bước 3: So sánh \[a^{3}\] và \[b^{3}\]. Vì căn bậc ba chính là hàm đồng biến, cho nên:
- Nếu \[a^{3}>b^{3}\Rightarrow a>b\]
- Nếu \[a^{3}<b^{3}\Rightarrow a<b\]
Đây là cách thích hợp nhất khi biểu thức nằm dưới dấu căn không được đẹp hoặc chẳng dễ so sánh.
Ví dụ: So sánh \[\sqrt[3]{5.2}\] và \[\sqrt[3]{5.8}\]
Lời giải:
Ta lập phương: \[(\sqrt[3]{5.2})^{3}=5.2\] và \[(\sqrt[3]{5.8})^{3}=5.8\]
Vì \[5.2<5.8\Rightarrow\sqrt[3]{5.2}<\sqrt[3]{5.8}\]
2.3. Rút gọn biểu thức
Trong quá trình giải toán, đôi khi bạn sẽ bắt gặp những biểu thức dưới dạng căn bậc 3 trông khá phức tạp. Để xử lý hiệu quả, bạn cần biết cách biến đổi chúng về với dạng đơn giản hơn mà không làm thay đổi giá trị ban đầu. Đây chính là bước rút gọn – một kỹ năng cực kỳ quan trọng trong đại số.
Cách 1: Phân tích biểu thức (hoặc số) trong dấu căn thành \[a^{3}\]
- Bước 1: Tìm cách viết lại phần bên trong dấu căn sao cho nó có thể tách ra thành những số nguyên quen thuộc, đặc biệt là những số có dạng \[a^{3}\]
- Bước 2: Hãy tách ngay căn bậc ba của tích đó thành dạng tích của căn là: \[\sqrt[3]{a.b}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}\]
- Bước 3: Rút gọn phần có thể căn được.
Ví dụ: Rút gọn \[\sqrt[3]{54}\]
\[\rightarrow 54=27\times 2\] mà \[\sqrt[3]{27}=3\]
\[\rightarrow\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27.2}=\sqrt[3]{27}.\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}\]
Cách 2: Lập phương 2 vế
Khi gặp các biểu thức phức tạp (có tổng hay hiệu của căn bậc 2), bạn nhất định phải lập phương cả 2 để loại bỏ hoàn toàn dấu căn bậc 3.
Ví dụ: Cho \[a=\sqrt[3]{x}\], ta có thể viết: \[a^{3}=x\Rightarrow x=a^{3}\]
Sau đó, hãy thay x vừa tính được vào lại biểu thức ban đầu rồi rút gọn.
Cách 3: Dùng hằng đẳng thức
Đôi khi, bạn có thể dùng đến những mẫu hằng đẳng thức đặc biệt, cụ thể là:
- \[a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\]
- \[a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\]
Ví dụ: Rút gọn biểu thức: \[\sqrt[3]{x^{3}+8}\]
Lời giải: Ta thấy \[x^{3}+8=x^{3}+2^{3}\]. Áp dụng hằng đẳng thức:
\[a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\]
\[\rightarrow x^{3}+2^{3}=(x+2)(x^{2}-2x+4)\]
\[\Rightarrow\sqrt[3]{x^{3}+8}=\sqrt[3]{(x+2)(x^{2}-2x+4)}\]
2.4. Giải phương trình chứa căn bậc 3
Phương trình có chứa dấu căn bậc ba thường khiến các em học sinh lo ngại do xuất hiện nhiều biểu thức lại dưới dấu căn. Tuy nhiên, bạn hoàn toàn có thể xử lý dạng bài tập này bằng 2 cách khác nhau.
Cách 1: Lũy thừa bậc 3 hai vế
- Bước 1: Nếu phương trình có dạng: \[\sqrt[3]{A(x)}=B(x)\], thì bạn hãy lập phương (tức lũy thừa bậc ba) cho cả 2 vế:
\[(\sqrt[3]{A(x)})^{3}=(B(x))^{3}\Rightarrow A(x)=B(x)^{2}\]
- Bước 2: Giải phương trình mà bạn thu được khi đã loại bỏ dấu căn.
- Bước 3: Kiểm tra lại nghiệm ở phương trình ban đầu.
Ví dụ: Giải phương trình căn bậc 3 \[\sqrt[3]{x+1}=2\]
Lời giải:
Lập phương 2 vế, ta sẽ được:
\[(\sqrt[3]{x+1})^{3}=2^{3}\]
\[\Leftrightarrow x+1=8\]
\[\Rightarrow x=7\]
Cách 2: Đặt ẩn phụ để đơn giản hóa
Khi nhận thấy phương trình có quá nhiều bậc ba lồng lên nhau hoặc dạng phức tạp hơn, bạn có thể chọn cách đặt ẩn phụ để rút gọn.
Ví dụ: Giải phương trình \[\sqrt[3]{x}+2=5\]
Lời giải:
Đặt \[t=\sqrt[3]{x}\Rightarrow t+2=5\Rightarrow t=3\]
\[\rightarrow\sqrt[3]{x}=3\Rightarrow x=27\]
3. Bài tập vận dụng cho chuyên đề căn bậc 3
Đề bài:
Bài tập 1: Tính:
- a) \[\sqrt[3]{\frac{1}{0,008}}\];
- b) \[\sqrt[3]{(-27).8}\];
- c) \[\frac{\sqrt[3]{36}.\sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{16}}\]
Bài tập 2: So sánh \[\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7}\] và \[\sqrt[3]{12}\]
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức
- a) \[A=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\]
- b) \[B=\sqrt[3]{72-32\sqrt{5}}.\sqrt{7+3\sqrt{5}}\]
Bài tập 4: Giải phương trình \[\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=0\]
Đáp án:
Bài tập 1:
- a) \[\sqrt[3]{\frac{1}{0,008}}=\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{0,2^{3}}}=\frac{1}{0,2}=5\]
- b) \[\sqrt[3]{(-27).8}=\sqrt[3]{(-27)}.\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{(-3)^{3}}.\sqrt[3]{2^{3}}=-3.2=-6\]
- c) \[\frac{\sqrt[3]{36}.\sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{16}}=\sqrt[3]{\frac{36.12}{16}}=\sqrt[3]{\frac{3^{2}.4.4.3}{4^{2}}}=\sqrt[3]{3^{3}}=3\]
Bài tập 2: Ta có:
\[(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7})^{3}=5+3\sqrt[3]{5^{2}.7}+3\sqrt[3]{5.7^{2}}=12+3\sqrt[3]{175}+3\sqrt[3]{245}\]
\[(\sqrt[3]{12})^{3}=12\]
\[\Rightarrow\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7}>\sqrt[3]{12}\]
Bài tập 3:
- a) \[A=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\]
\[=\sqrt[3]{(\sqrt{2})^{3}+3(\sqrt{2})^{2}.1+3\sqrt{2}.1^{2}+1^{3}}+\sqrt[3]{\sqrt{2})^{3}-3(\sqrt{2})^{2}.1+3\sqrt{2}.1^{2}-1^{3}}\]
\[=\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^{3}}+\sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^{3}}\]
\[=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)\]
\[=2\sqrt{2}\]
- b) \[B=\sqrt[3]{72-32\sqrt{5}}.\sqrt{7+3\sqrt{5}}\]
\[=\sqrt[3]{(3)^{3}-3.(3)^{2}.\sqrt{5}+3.3.(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{5})^{3}}.\frac{\sqrt{14+6\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\]
\[=\sqrt[3]{(3-\sqrt{5})^{3}}.\frac{\sqrt{(3+\sqrt{5})^{2}}}{\sqrt{2}}\]
\[=\frac{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\]
Bài tập 4:
Phương trình tương đương với \[\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}=-\sqrt[3]{x+2}\]
Lập phương 2 vế, ta sẽ được:
\[x+x+1+3\sqrt[3]{x(x+1)}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=-x-2\]
\[\Leftrightarrow 3x+3+3\sqrt[3]{x(x+1)}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=0\]
\[\Rightarrow x+1-\sqrt[3]{x(x+1)(x+2)}=0\]
\[\Leftrightarrow x(x+1)(x+2)=(x+1)^{3}\]
\[\Leftrightarrow x=-1\]
Căn bậc 3 là khái niệm toán học phổ biến, thường xuất hiện khá nhiều trong các bài kiểm tra toán đại số từ khối lớp 8 trở lên. Mong rằng với kiến thức mà chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã biết nắm vững phương pháp giải của các dạng bài tập liên quan rồi nhé!
