Học sinh sẽ được tiếp cận đến chủ đề căn thức bậc hai và hằng đẳng thức tại chương trình toán 9 thuộc khối THCS. Đây là một trong những chủ đề quan trọng giúp bạn biết được cách xử lý các bài toán liên quan. Bài viết sau đây sẽ mách cho bạn biết tất tần tật những lý thuyết liên quan và cách giải các dạng bài tập xuất hiện phổ biến.
Lý thuyết về căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
1. Căn thức bậc hai
Nếu như A là một biểu thức đại số thì người ta gọi \[\sqrt{A}\] là căn thức bậc hai của A. Đồng thời, A sẽ được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn. Nhìn chung thì căn thức bậc hai sẽ có hai giá trị là dương và âm. Tuy nhiên, đa số trong học thuật hiện nay người ta thường chỉ quan tâm đến giá trị dương mà thôi.
Vậy, làm thế nào để căn thức bậc hai có nghĩa ? Điều kiện để chúng có nghĩa là khi và chỉ khi \[\sqrt{A}\] xác định, hay \[\Leftrightarrow A\geq 0\]. Bạn có thể theo dõi một vài ví dụ cụ thể như sau:
- \[\sqrt{2-9x}\] xác định \[\Leftrightarrow 2-9x\geq 0\], \[\Leftrightarrow x\leq\frac{2}{9}\]
- \[\sqrt{x-7}\] có nghĩa \[\Leftrightarrow x-7\geq 0\] \[\Leftrightarrow x\geq 7\]
- \[\sqrt{20-5x}\] có nghĩa \[\Leftrightarrow 20-5x\geq 0\Leftrightarrow x\leq 4\]
Hằng đẳng thức liên quan đến căn thức bậc hai là một công cụ toán học cơ bản mà cạn cần biển để đơn giản hoá nhiều bài toán phức tạp. Hơn cả thế, các hằng đẳng thức này không chỉ giúp học sinh hiểu rõ về cấu trúc của biểu thức mà còn hỗ trợ các phương pháp giải nhanh cho phương trình cũng như bất phương trình. Cụ thể là:
- Công thức căn bậc hai: \[\sqrt{A^2}=\left|A\right|\]. Hay có thể diễn giải rằng căn bậc hai của số bình phương bất kỳ bằng giá trị tuyệt đối của số đó.
- Công thức khai triển cơ bản: \[(A+B)^2=A^2+2AB+B^2\], hay \[(A-B)^2=A^2-2AB+B^2\].
- Công thức phân tích giúp rút gọn các biểu thức đang chứa căn nếu bạn biết cách áp dụng phù hợp: \[A^2-B^2=(A+B)\times(A-B)\].
Những công thức trên đều là các kiến thức cơ bản giúp bạn tiếp cận và giải quyết nhiều dạng toán nâng cao. Hơn cả thế, đây còn là kỹ năng quan trọng để bạn tìm ra đáp án cho các bài tập liên quan đến bất phương trình hoặc phương trình chứa căn.
3. Những kiến thức cần nhớ khác
3.1 Giá trị tuyệt đối
\[\left|A\right|=\begin{Bmatrix}A,khi A\geq 0\\-A,khi A<0\end{Bmatrix}\]
Hệ quả:
\[\left|A\right|\geq 0,\forall A\]
\[\left|A\right|\] \[=\left|-A\right|\]
\[\left|A\right|=\left|B\right|\Leftrightarrow\begin{bmatrix}A=B\\A=-B\end{bmatrix}\]
\[\left|A\right|=A\Leftrightarrow A\geq 0;\left|A\right|=-A\Leftrightarrow A\leq 0;\left|A\right|=0\Leftrightarrow A=0 \].
3.2 Dấu phần tử của một tích và một thương
- \[A\times B\geq 0\Leftrightarrow\begin{Bmatrix}A\geq 0\\B\geq 0\end{Bmatrix}\] hoặc \[\begin{Bmatrix}A\leq 0\\B\leq 0\end{Bmatrix}\]
- \[A\times B\leq 0\Leftrightarrow\begin{Bmatrix}A\geq 0\\B\leq 0\end{Bmatrix}\] hoặc \[\begin{Bmatrix}A\leq 0\\B\geq 0\end{Bmatrix}\].
- \[\frac{A}{B}\geq 0\Leftrightarrow\begin{Bmatrix}A\geq 0\\B>0\end{Bmatrix}\] hoặc \[\begin{Bmatrix}A\leq 0\\B<0\end{Bmatrix}\].
- \[\frac{A}{B}\leq 0\Leftrightarrow\begin{Bmatrix}A\geq 0\\B>0\end{Bmatrix}\] hoặc \[\begin{Bmatrix}A\leq 0\\B > 0\end{Bmatrix}\]
- \[\frac{1}{A}>0\Leftrightarrow A>0\]
Các dạng toán liên quan đến căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
Trong chương trình toán học lớp 9, căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có khá nhiều dạng bài tập khác nhau. Theo đó, mà phương pháp giải cũng sẽ đi từ cơ bản đến nâng cao. Nhờ vậy mà học sinh có thể phát triển kỹ năng giải toán thuần thục và áp dụng nhiều lý thuyết hay vào trong đời sống. Sau đây sẽ là một số dạng bài tập có ví dụ minh hoạ kèm đáp án:
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định cho căn thức
Để tìm ra đáp án bạn cần xác định giá trị của biến số nằm bên trong căn là dương nhằm mục đích đảm bảo căn thức có nghĩa.
Ví dụ: Tìm điều kiện xác định cho biểu thức \[\frac{1}{\sqrt{7x-4}}\]
Giải:
Biểu thức \[\frac{1}{\sqrt{7x-4}}\] có nghĩa \[\Leftrightarrow 7x-4>0\Leftrightarrow x\geq\frac{4}{7}\]
Dạng 2: Rút gọn biểu thức có chứa căn
Phương pháp giải dạng bài tập này chính là áp dụng nhuần nhuyễn các hằng đẳng thức đã học, kết hợp với quy tắc rút gọn để làm biểu thức dễ hiểu hơn.
Ví dụ: Tìm x biết rằng \[\sqrt{x^2}=\left|-7\right|\] và \[\sqrt{9x^2}=\left|-12\right|\]
- Ta có: \[\sqrt{x^2}=\left|-7\right|\Leftrightarrow x^2=49\Leftrightarrow x=\pm 7\]
- Ta có: \[\sqrt{9x^2}=\left|-12\right|\Leftrightarrow 9x^2=144\Leftrightarrow x^2=16\Leftrightarrow x=\pm 4 \].
Dạng 3: Giải phương trình
Trong dạng toán liên quan đến căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có dấu so sánh bất phương trình này, bạn cần sử dụng phương pháp bình phương hai vế để làm mất căn. Từ đó mà đề bài sẽ trở thành dạng phương trình đại số cơ bản.
Ví dụ: Giải phương trình sau: \[\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}=-5\]
Ta có: \[\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}=-5\]
Vậy, điều kiện xác định của biểu thức trên là: \[\begin{Bmatrix}x-2\geq 0\\x-3\geq 3\end{Bmatrix}\] \[\Rightarrow x\geq 3\]
Với \[\Rightarrow x\geq 3\] ta có:
\[\Rightarrow\begin{Bmatrix}\sqrt{x-2}\geq 0\\\sqrt{x-3}\geq 0\end{Bmatrix}\]
\[\Rightarrow\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}\geq 0 \]
Kết luận: Phương trình vô nghiệm
Bài viết trên đã tổng quan các lý thuyết liên quan đến căn thức bậc hai và hằng đẳng thức. Đây là một dạng toán khó nhưng ảnh hưởng rất nhiều đến các bài tập nâng cao sau này. Chính vì vậy, hãy cố gắng dành nhiều thời gian để luyện tập nhuần nhuyễn các kiến thức nêu trên.
