Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A² = │A│

Bài viết này giới thiệu về căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A² = │A│, một trong những khái niệm quan trọng trong toán học được học ở lớp 9. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A² = │A│ được sử dụng rộng rãi trong giải toán học và trong các lĩnh vực khác như vật lý, hóa học, kỹ thuật, v.v. Bài viết cũng cung cấp các ví dụ cụ thể để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách áp dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A² = │A│ trong giải toán.

Căn thức bậc hai

Căn thức bậc hai là một khái niệm trong toán học, nó thể hiện cho giá trị của căn bậc hai của một số. Để diễn giải chi tiết hơn về căn thức bậc hai, chúng ta có thể tách nó thành hai phần: căn bậc hai và phép lấy căn.

Căn bậc hai:

Căn bậc hai của một số là một số khác, khi bình phương số đó, ta sẽ được số căn bậc hai đó. Cụ thể, cho một số a, căn bậc hai của a được ký hiệu là √a và được tính bằng cách tìm số b không âm sao cho bình phương của b bằng với a.

Ví dụ:

• Căn bậc hai của số 9 được ký hiệu là √9 và tính được là 3, vì 3² = 9.
• Căn bậc hai của số 25 được ký hiệu là √25 và tính được là 5, vì 5² = 25.
• Căn bậc hai của 16 là 4, vì 4² = 16.
• Căn bậc hai của 25 là 5, vì 5² = 25.

Chú ý:

Căn bậc hai của 2 không thể tính toán chính xác vì nó là một số vô tỉ, có nghĩa là nó không phải là một phân số đơn giản và không thể biểu diễn dưới dạng thập phân hữu hạn. Trong trường hợp này, chúng ta chỉ có thể xấp xỉ giá trị của căn bậc hai của 2.

Hằng đẳng thức √A² = │A│

Định lý:

Hằng đẳng thức √A² = |A| là đúng với mọi số thực A.

Trong đó, |A| biểu thị giá trị tuyệt đối của A, tức là nếu A âm thì |A| bằng số dương đối xứng với A trên trục số. Nếu A dương thì |A| = A.

Để chứng minh hằng đẳng thức này, chúng ta sẽ phân tích thành hai trường hợp:

• Trường hợp A là số dương hoặc bằng 0: Trong trường hợp này, giá trị tuyệt đối của A bằng A. Vì vậy, ta có: √A² = √(A . A) = A. Từ đó suy ra |A| = A. Vì vậy, hằng đẳng thức đúng với trường hợp này.

• Trường hợp A là số âm: Trong trường hợp này, giá trị tuyệt đối của A bằng số dương đối xứng với A trên trục số. Vì vậy, ta có: √A² = √((-A) . (-A)) = √((-1)² . A²) = √1 . A = |A|. Từ đó suy ra hằng đẳng thức đúng với trường hợp này.

Vì vậy, ta kết luận hằng đẳng thức √A² = |A| đúng với mọi số thực A.

Ví dụ. Tính

a) \(​​\sqrt{16^{2}}\)                   b) \(​​\sqrt{(-8)^{2}}\) 

Giải

a) \(​​\sqrt{16^{2}}\) = |12| = 12

b) \(​​\sqrt{(-8)^{2}}\)  = |-8| = 8

Ví dụ. Rút gọn

a) \(​​\sqrt{\left(\sqrt{3} \ -1\right)^{2}}\)       b) \(​​\sqrt{\left( 5\ -\ \sqrt{30}\right)^{2}}\)

Giải

a) \(​​\sqrt{\left(\sqrt{3} \ -1\right)^{2}}\) = | \(\sqrt{3}\) - 1 | = \(\sqrt{3}\) - 1 (Vì \(\sqrt{3}\) > 1)

b) \(​​\sqrt{\left( 5\ -\ \sqrt{30}\right)^{2}}\) =   | 5 - \(\sqrt{30}\) | = \(\sqrt{30}\) - 5 (Vì \(\sqrt{30}\) > 5)

Bài tập

Bài 1. Tính

a) \(​​\sqrt{(-15)^{2}}\)

b) \(​​\sqrt{(9)^{2}}\)

c) \(​​\sqrt{(-0,6)^{2}}\)

d) \(​​\sqrt{(3,2)^{2}}\)

Đáp án:

a) \(​​\sqrt{(-15)^{2}}\) = |-15| = 15

b) \(​​\sqrt{(9)^{2}}\) = |9| = 9

c) \(​​\sqrt{(-0,6)^{2}}\) = |-0,6| = 0,6

d) \(​​\sqrt{(3,2)^{2}}\) = |3,2| = 3,2

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau

a) \(​​\sqrt{\left( 4-\sqrt{3}\right)^{2}}\)

b) \(\sqrt{\left(\sqrt{8} \ -\ 10\right)^{2}}\)

c) \(2\sqrt{( a\ -6)^{2}}\) với a < 6

d) \(-\sqrt{a}{^{2}}{}\) với a < 0

Đáp án:

a) \(​​\sqrt{\left( 4-\sqrt{3}\right)^{2}}\) = |4 - \(\sqrt{3}\) | = 4 - \(\sqrt{3}\) (vì  4 > \(\sqrt{3}\) )

Vậy biểu thức rút gọn của \(​​\sqrt{\left( 4-\sqrt{3}\right)^{2}}\) là  4 - \(\sqrt{3}\) 

b) \(\sqrt{\left(\sqrt{8} \ -\ 10\right)^{2}}\) = | \(\sqrt{8}\)  - 10| = 10 - \(\sqrt{8}\) (vì 10 > \(\sqrt{8}\))

Vậy biểu thức rút gọn của \(\sqrt{\left(\sqrt{8} \ -\ 10\right)^{2}}\) là 10 - \(\sqrt{8}\)

c) \(2\sqrt{( a\ -6)^{2}}\) = 2|a  - 6| = 2(6 - a) = 12 - 2a (vì a < 6)

 Vậy biểu thức rút gọn của \(2\sqrt{( a\ -6)^{2}}\) là 12 - 2a

d) \(-\sqrt{a}{^{2}}{}\)= - |a| = - (-a) = a (vì a < 0)

 Vậy biểu thức rút gọn của \(-\sqrt{a}{^{2}}{}\) là a.