Liên hệ phép nhân và phép khai phương

Phép nhân và phép khai phương là hai khái niệm quen thuộc trong toán học và được giới thiệu từ rất sớm trong quá trình học tập. Tuy nhiên, không phải ai cũng hiểu rõ được sự liên hệ giữa hai khái niệm này. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về mối quan hệ giữa phép nhân và phép khai phương trong toán học, và cách áp dụng chúng vào các bài toán thực tế. Đặc biệt, chúng ta sẽ tập trung vào bài toán khai phương của một số đa thức đơn giản, từ đó giải thích cách sử dụng phép nhân để tính toán phép khai phương một cách hiệu quả và nhanh chóng.

Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Phép nhân và phép khai phương là hai phép tính cơ bản trong toán học. Phép nhân được sử dụng để tính tích của hai hoặc nhiều số với nhau, trong khi phép khai phương được sử dụng để tìm ra căn bậc hai của một số. Tuy nhiên, có một mối quan hệ đặc biệt giữa hai phép tính này.

Khi ta nhân một số với chính nó, ta thu được bình phương của số đó. Ví dụ: 3 . 3 = 9, ta nói rằng 9 là bình phương của số 3.

Tương tự, khi ta khai phương một số, ta đang tìm ra số mà khi nhân với chính nó sẽ thu được số đó. Ví dụ: \(\sqrt{9}\) = 3, vì 3 . 3 = 9.

Để tìm ra bình phương của một số lớn hơn, chúng ta thường sử dụng phép nhân để tính toán nhanh chóng hơn. Ví dụ: để tìm ra bình phương của số 7, ta nhân 7 với chính nó: 7 x 7 = 49.

Tương tự, để tìm ra căn bậc hai của một số lớn hơn, chúng ta cũng có thể sử dụng phép nhân. Ví dụ: để tìm \(\sqrt{49}\), ta có thể tìm một số mà khi nhân với chính nó sẽ bằng 49, tức là số 7.

Định lý:

Với hai số a và b không âm, ta có: \(\sqrt{a.b} \ =\ \sqrt{a} .\sqrt{b}\)

Chứng minh định lý:

Để chứng minh định lý \(\sqrt{a.b} \ =\ \sqrt{a} .\sqrt{b}\), ta có thể sử dụng định nghĩa của căn bậc hai.

Theo định nghĩa của căn bậc hai, \(\sqrt{a}\) là số dương duy nhất sao cho (\(\sqrt{a}\))² = a. Tương tự, \(\sqrt{b}\) là số dương duy nhất sao cho (\(\sqrt{b}\))² = b.

Khi đó, ta có:

(\(\sqrt{a}\).\(\sqrt{b}\))² = (\(\sqrt{a}\))².(\(\sqrt{b}\))² = a.b

Và ta cũng có:

\(\sqrt{a.b}\)² = a.b

Vậy \(\sqrt{a}\).\(\sqrt{b}\) là căn bậc hai số học của a.b tức là \(\sqrt{a.b} \ =\ \sqrt{a} .\sqrt{b}\)

Quy tắc khai phương một tích 

Quy tắc khai phương một tích là một công thức toán học để giải quyết các bài toán liên quan đến khai phương một tích số học. Cụ thể, quy tắc này có thể được phát biểu như sau:

(a . b)² = a² . b²

Trong đó, a và b là các số hạng bất kỳ.

Ví dụ.

a) Để tính giá trị của (3 . 4)², ta có thể áp dụng quy tắc khai phương một tích như sau:

(3 . 4)² = 3² . 4² = 9 . 16 = 144

Do đó, (3 . 4)² = 144.

b) Tính

\(​​\sqrt{16 . 81}\)

Giải:

\(​​\sqrt{16 . 81}\) =  \(\sqrt{16}\).\(\sqrt{81}\) = 4 . 9 = 36

Quy tắc nhân các căn bậc hai

Quy tắc nhân các căn bậc hai là một công thức toán học giúp tính toán tích của hai căn bậc hai khác nhau hoặc giữa một căn bậc hai với một số.

Cụ thể, quy tắc này có thể được phát biểu như sau:

Muốn nhân căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

Tổng quát như sau:

\(\ \sqrt{a} \ .\ \sqrt{b} \ =\ \ ​​\sqrt{a\ .\ b} \ \)

Ví dụ. Tính

a)  \(\sqrt{6}\).\(\sqrt{7}\) =   \(\sqrt{6 . 7}\) =   \(\sqrt{42}\)

b)   \(\sqrt{120}\).\(\sqrt{30}\) =   \(\sqrt{120 . 30}\) =   \(\sqrt{3600}\) = 60

Chú ý:

Một cách tổng quát, với hai biểu thức không âm ta có: 

\(\ ​​\sqrt{A\ .\ B} \ =\ \sqrt{A} \ .\ \sqrt{B} \ \)

Với biểu thức A không âm, ta có:

\(\left( ​​\sqrt{A\ }\right)^{2} =\ \sqrt{A^{2}} \ \ \)

Ví dụ. Rút gọn biểu thức

 \(\sqrt{5a} \ .\ \sqrt{32a} \ \) với a ≥ 0

Giải

 \(\sqrt{5a} \ .\ \sqrt{32a} \ \) = \(\sqrt{5a . 32a}\) = \(\sqrt{160a^2}\) = \(\sqrt{(40a)^2}\) = |40a| = 40a (Vì a ≥ 0) 

Bài tập

Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

a) \(\sqrt{0,016\ .\ 0,81}\)

b) \(\sqrt{5^{2} \ .\ ( -11)^{2}}\)

c) \(\sqrt{121\ .\ 490}\)

d) \(\sqrt{4^{2} \ .\ 5^{2} \ }\)

Đáp án:

a) \(\sqrt{0,016\ .\ 0,81}\) = \(\sqrt{0,016}\) . \(\sqrt{0,81}\) 

=  \(\sqrt{16 . 0,001}\) . \(\sqrt{81 . 0,01}\) 

=    \(\sqrt{4^2 . 0,001}\) . \(\sqrt{9^2 . 0,01}\) 

= \(\sqrt{4^2}\). \(\sqrt{0,001}\) . \(\sqrt{9^2}\). \(\sqrt{0,01}\) 

= 4. \(\sqrt{0,001}\) . 9. \(\sqrt{0,01}\) 

= 36 \(\sqrt{0,001}\). \(\sqrt{0,01}\) 

= 36\(\sqrt{0,001 . 0,01}\) 

= 36\(\sqrt{0,00001}\)

b) \(\sqrt{5^{2} \ .\ ( -11)^{2}}\) = \(\sqrt{5^2}\) . \(\sqrt{(-11)^2}\) 

= 5 . |-11|

= 5 . 11

= 55

c) \(\sqrt{121\ .\ 490}\) = \(\sqrt{121}\) . \(\sqrt{490}\) 

= \(\sqrt{11^2}\) . \(\sqrt{49 . 10}\) 

= \(\sqrt{11^2}\) . \(\sqrt{7^2 . 10}\) 

=   \(\sqrt{11^2}\) . \(\sqrt{7^2}\) . \(\sqrt{10}\) 

= 11 . 7 . \(\sqrt{10}\) 

= 77\(\sqrt{10}\)

d) \(\sqrt{4^{2} \ .\ 5^{2} \ }\) = \(\sqrt{4^2}\) . \(\sqrt{5^2}\) = 4 . 5 = 20