Trong chương trình toán học, mối liên hệ phép nhân và phép khai phương nắm giữ vai trò quan trọng trong việc giải các bài toán về căn bậc hai. Tất nhiên, việc hiểu rõ mối quan hệ này sẽ giúp các em học sinh rút gọn biểu thức, tính toán nhanh chóng và giải phương trình hiệu quả hơn. Hãy theo dõi bài viết để khám phá lý thuyết và các dạng bài về chuyên đề này nhé!
1. Các kiến thức cần nhớ
Để áp dụng thành thạo mối liên hệ này vào giải toán, bạn cần phải nắm rõ các định lý, quy tắc cũng như cách vận dụng vào thực tiễn bài tập. Dưới đây là một vài kiến thức then chốt mà bạn cần ghi nhớ:
1.1. Định lý về liên hệ phép nhân và phép khai phương
Khi làm việc với các dấu căn bậc hai, chúng ta thường gặp được những biểu thức dưới dạng tích hoặc căn của tích. Để có thể xử lý được những biểu thức này một cách chuẩn xác và nhanh chóng, ta phải hiểu rõ định lý cơ bản của mối quan hệ giữa phép khai phương và phép nhân. Theo đó, nội dung định lý như sau:
Với hai số thực không âm \[ a\geq 0,b\geq 0 \], ta có:
\[\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\]
Ý nghĩa của định lý: Định lý này cho biết, căn bậc hai của một tích nào đó bằng với tích các căn bậc hai của từng thừa số. Đây cũng là một trong những định lý cực kỳ quan trọng, giúp bạn rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, đồng thời là nền tảng để chứng minh được nhiều công thức khác liên quan đến căn.
1.2. Quy tắc khai phương một tích
Sau khi đã hiểu rõ định lý cơ bản, chúng ta cần làm rõ cách áp dụng định lý vào quy tắc khai phương của một tích. Theo đó, quy tắc này là hình thức thực hành cụ thể hóa cho định lý ở trên.
Cụ thể: Nếu muốn khai phương một tích bao gồm các số không âm, ta thực hiện việc lấy căn bậc hai cho từng thừa số rồi nhân kết quả lại với nhau. Hay nói cách khác:
\[\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\] (với \[ a\geq 0,b\geq 0 \])
Ví dụ minh họa:
\[\sqrt{9.4}=\sqrt{9}.\sqrt{4}=3.2=6\]
\[\sqrt{16.25}=\sqrt{16}.\sqrt{25}=4.5=20\]
\[\sqrt{1.49}=\sqrt{1}.\sqrt{49}=1.7=7\]
Lưu rằng, chúng ta không được áp dụng quy tắc này nếu bất kỳ thừa số nào nằm trong tích là số âm, vì căn bậc hai của số âm không xác định trong tập hợp số thực. Nếu áp dụng sai, kết quả mà bạn tìm thấy sẽ sai hoàn toàn.
2. Các dạng bài tập về liên hệ phép nhân và phép khai phương
2.1. Tính giá trị biểu thức
Có thể nói rằng, đây là dạng bài cơ bản và thường gặp nhất khi học về mối quan hệ thú vị này. Theo đó, nhiệm vụ chính của các em học sinh là phải thay thế những biểu thức nằm trong dấu căn căn mà đề cho bằng những giá trị cụ thể, sau đó mới thực hiện phép tính một cách chính xác nhất để tìm ra kết quả. Phương pháp giải bài chi tiết như sau:
- Hãy chắc chắn rằng toàn bộ biểu thức nằm trong dấu căn đều không nhỏ hơn 0. Nếu phát hiện có số âm, bạn cần dừng lại ngay quá trình giải và kiểm tra lại đề bài, vì căn bậc hai của số âm sẽ không bao giờ tồn tại trong phạm vi các số thực.
- Tìm căn bậc hai của từng số, nếu có thể.
- Áp dụng định lý ở phần lý thuyết
- Tính toán cẩn thận các phép nhân, chia hoặc cộng trừ còn lại để đưa ra kết quả cuối cùng.
Ví dụ: Tính:
- a) \[\sqrt{25.144}\]
- b) \[\left(\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{50}{3}}-\sqrt{24}\right).\sqrt{6}\]
- c) \[\sqrt{\frac{1}{8}}.\sqrt{2}.\sqrt{125}.\sqrt{\frac{1}{5}}\]
- d) \[\sqrt{3+\sqrt{5+2\sqrt{3}}}.\sqrt{3-\sqrt{5+2\sqrt{3}}}\]
Lời giải:
- a) \[\sqrt{25.144}=\sqrt{25}.\sqrt{144}=5.12=60\]
- b) \[\left(\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{50}{3}}-\sqrt{24}\right).\sqrt{6}=\sqrt{\frac{2}{3}.6}+\sqrt{\frac{50}{3}.6}-\sqrt{24.6}=0\]
- c) \[\sqrt{\frac{1}{8}}.\sqrt{2}.\sqrt{125}.\sqrt{\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{1}{8}.2.125.\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{2.125}{8.5}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\]
- d) \[\sqrt{3+\sqrt{5+2\sqrt{3}}}.\sqrt{3-\sqrt{5+2\sqrt{3}}}=\sqrt{3^{2}-(\sqrt{5+2\sqrt{3}})^{2}}=\sqrt{9-(5+2\sqrt{3})}=\sqrt{9-5-2\sqrt{3}}=\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}}=\sqrt{3}-1\]
2.2. Dùng liên hệ phép nhân và phép khai phương để rút gọn biểu thức
Đây là dạng bài tập yêu cầu các em học sinh biến đổi biểu thức có chứa căn bậc hai sao cho đơn giản và gọn gàng hơn, thường dùng để chuẩn bị cho bước tính toán tiếp theo hoặc để chứng minh, so sánh. Để giải quyết tốt dạng bài này, bạn phải vận dụng linh hoạt các định lý và quy tắc đã học. Phương pháp cụ thể như sau:
- Nhận diện các tích hoặc nhân các căn có thể áp dụng được quy tắc liên hệ giữa phép khai phương và phép nhân.
- Khai phương các thừa số là số chính phương, nếu có.
- Chuyển biểu thức đề cho về dạng đơn giản nhất, các căn giống nhau được nhân, chia hoặc nhóm lại. Sau đó, hãy tìm cách viết lại biểu thức để giảm số lượng của căn.
- Lưu ý rằng, bạn chỉ có thể rút gọn khi mà toàn bộ các biểu thức trong căn không âm.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
- a) \[A=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{15}}{\sqrt{8}-\sqrt{12}}\]
- b) \[B=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-1}+\frac{5-2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}\]
- c) \[C=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\]
- d) \[D=\sqrt{\frac{-2t}{3}}.\sqrt{\frac{3t}{8}}(t\leq 0)\]
Lời giải:
- a) \[A=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{15}}{\sqrt{8}-\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{2}-\sqrt{5}.\sqrt{3}}{\sqrt{4}.\sqrt{2}-\sqrt{4}.\sqrt{3}}\] \[\Rightarrow A=\frac{\sqrt{5}}{2}\].
- b) \[B=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-1}+\frac{5-2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}=\frac{\sqrt{5}.(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1}+\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-2)}{2.(\sqrt{5}-2)}=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}\]
- c) \[C=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{6}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\sqrt{2}+1\]
- d)
\[D=\sqrt{\frac{-2t}{3}}.\sqrt{\frac{3t}{8}}(t\leq 0)=\sqrt{\frac{-2t}{3}.(\frac{-3t}{8})}=\sqrt{\frac{t^{2}}{4}}=\frac{-t}{2}(t\leq 0)\]
2.3. Giải phương trình chứa căn bậc hai
Khi học về căn bậc hai cũng như các quy tắc về liên hệ phép nhân và phép khai phương, học sinh sẽ sớm gặp những phương trình có chứa biểu thức căn. Theo đó, việc giải loại phương trình này không chỉ đòi hỏi kỹ năng biến đổi đại số, mà còn có yêu cầu đặc biệt về điều kiện xác định. Cụ thể:
- \[\sqrt{A}=B\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}B\geq 0\\A=B^{2}\end{matrix}\right.\]
- \[\sqrt{A}=\sqrt{B}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}B\geq 0\hspace{0.5cm}(hoac A\geq 0)\\A=B\hspace{2.7cm}\end{matrix}\right.\]
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
- a) \[\sqrt{x^{2}-2x+4}=2x-2\]
- b) \[\sqrt{x^{2}-2x}=\sqrt{2-3x}\]
- c) \[\sqrt{x^{2}+6x+9}=3x-6\]
- d) \[\sqrt{4y-20}+\sqrt{y-5}-\frac{1}{3}\sqrt{9y-45}=4\]
Lời giải:
- a) \[\sqrt{x^{2}-2x+4}=2x-2\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2x-2\geq 0\\x^{2}-2x+4=(2x-2)^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2x-2\geq 0\\x=2\end{matrix}\right.\Rightarrow x=2\]
- b) \[\sqrt{x^{2}-2x}=\sqrt{2-3x}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2-3x\geq 0\\x^{2}-2x=2x-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x\leq\frac{2}{3}\\x^{2}+x-2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=-2\]
- c) \[\sqrt{x^{2}+6x+9}=3x-6\Leftrightarrow\sqrt{(x+3)^{2}}=3x-6\Leftrightarrow\left|x+3\right|=3x-6\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}3x-6\geq 0\\x+3=3x-6\\x+3=-3x+6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x\geq 2\\x=\frac{9}{2}(tm)\\x=\frac{3}{4}(loai)\end{matrix}\right.\]
- d) Điều kiện: \[y\geq 5\]
Ta có: \[\sqrt{4y-20}+\sqrt{y-5}-\frac{1}{3}\sqrt{9y-45}=4\Leftrightarrow 2\sqrt{y-5}=4\Leftrightarrow y=9\] (thỏa mãn)
2.4. Chứng minh đẳng thức
Chứng minh đẳng thức cũng là một dạng bài tập mà các em học sinh sẽ gặp phải khi học về mối liên hệ phép nhân và phép khai phương. Đối với bài này, chúng ta cần áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm, cụ thể là:
- \[\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\] (với dấu “=” chỉ diễn ra khi a = b)
- \[\frac{a+b+c}{2}\geq\sqrt[3]{abc}\]
Ví dụ: Cho các số a, b, c không âm. Hãy chứng minh:
- a) \[\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}\]
- b) \[a+b+\frac{1}{2}\geq\sqrt{a}+\sqrt{b}\]
Lời giải:
- a) Bình phương 2 vế của bất đẳng thức, ta được:
\[\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}\Leftrightarrow(\sqrt{a+b})^{2}<(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}\Leftrightarrow a+b<a+b+2\sqrt{ab}\Leftrightarrow 0<2\sqrt{ab}\] (bất đẳng thức đúng).
- b) Ta có:
\[a+b+\frac{1}{2}\geq\sqrt{a}+\sqrt{b}\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{2}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\geq 0\Leftrightarrow(\sqrt{a}+1)^{2}+(\sqrt{b}-1)^{2}\geq 0\]
3. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Tính:
- a) \[\sqrt{52.13}\]
- b) \[\sqrt{7}.\sqrt{28}\]
- c) \[\sqrt{3+\sqrt{5}}.\sqrt{2}\]
- d) \[\sqrt{\sqrt{2}-1}.\sqrt{\sqrt{2}+1}\]
Bài tập 2: Rút gọn biểu thức:
- a) \[A=\frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}\]
- b) \[B=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{14}}{2\sqrt{3}+\sqrt{28}}\]
- c) \[C=\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}}.\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}\]
Bài tập 3: Giải 2 phương trình sau:
- a) \[\sqrt{x+3}-2\sqrt{x^{2}-9}=0\]
- b) \[\sqrt{9.(2-3x)^{2}}=6\]
Đáp án:
- Bài tập 1: a) 26, b) 14, c) \[\sqrt{5}+1\], d) 1
- Bài tập 2: a) \[A=\frac{\sqrt{10}}{2}\], b) \[B=\frac{1}{\sqrt{2}}\], c) C = 1
- Bài tập 3: a) x = 3, b) \[x=\frac{4}{3};x=0\]
Bài viết trên đây là tất tần tật kiến thức trọng điểm về trong chuyên đề mối liên hệ phép nhân và phép khai phương mà chúng tôi muốn chia sẻ đến bạn. Hy vọng rằng bài viết hữu ích và bạn đã có thể nắm vững hướng giải chuẩn của các dạng bài thường gặp rồi nhé!