Hướng dẫn giải phương trình tích đầy đủ và chuẩn xác nhất

Trong chương trình toán học ở khối lớp 8 và 9, phương trình tích là một trong những kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi học kỳ. Theo đó, Việc nắm vững cách giải phương trình này sẽ giúp các em học sinh rèn luyện kỹ năng tư duy logic và dễ tiếp cận nhiều bài toán phức tạp hơn. Hãy khám phá chuyên đề toán này nhé!

1. Các kiến thức cần nhớ

Để giải đúng và đầy đủ các phương trình tích, các em học sinh cần phải nắm rõ một số kiến thức cơ bản có liên quan đến đặc điểm, cấu trúc cũng như phương pháp tiếp cận phù hợp nhất. Trước hết, hãy cùng chúng tôi tìm hiểu về định nghĩa của phương trình dạng tích.

1.1. Định nghĩa

Trong chương trình toán khối THCS, đây cũng được xem là một dạng phương trình đặc biệt quan trọng nằm ở phần toán đại số. Trong đó, tích của hai hoặc nhiều biểu thức đại số sẽ bằng đúng 0. Cụ thể, dạng tổng quát của phương trình này là: 

\[A(x).B(x).C(x)…=0\]

Với A(x), B(x), C(x),… lần lượt là các biểu thức chứa thêm biến số x. Thông thường, các em học sinh sẽ gặp loại phương trình thế này trong các bài toán đại số, đặc biệt là ở chương trình toán dành cho các em lớp 9.

1.2. Tính chất của phương trình tích

Một tính chất rất quan trọng của phương trình dạng tích mà bạn nhất định phải ghi nhớ là: Nếu tích của các biểu thức trong phương trình bằng đúng 0, thì sẽ có ít nhất một trong các biểu thức đó phải bằng 0. 

Điều này có nghĩa là, để giải được phương trình dạng này, chúng ta sẽ đi tìm tất cả các giá trị của x, sao cho có ít nhất một trong các biểu thức A(x), B(x), C(x),… bằng 0.

1.3. Phương pháp giải phương trình dạng tích

Để giải được dạng phương trình như thế này, bạn chỉ cần thực hiện đúng trình tự sau:

• Bước 1: Chuyển phương trình mà đề cho về dạng tích bằng cách tiến hành phân tích những biểu thức thành nhân tử (nếu cần).
• Bước 2: Áp dụng ngay tính chất của phương trình dạng tích, cụ thể là giải từng phương trình con bằng cách đặt mỗi biểu thức đó bằng 0.
• Bước 3: Tập hợp tất cả các nghiệm vừa tìm thấy được từ các phương trình con rồi xác định chính xác nghiệm cho phương trình gốc.

2. Các dạng bài thường gặp về phương trình tích

Sau khi đã hiểu rõ định nghĩa, tính chất cũng như phương pháp giải cơ bản của phương trình dạng tích, việc nhận diện từng dạng bài cụ thể sẽ giúp bạn ứng dụng tốt kiến thức đã học vào bài tập. Dưới đây là ba dạng có độ phổ biến cao nhất khi học về phương trình tích.

2.1. Phương trình đã có sẵn dạng tích

Có thể nói rằng, trong chuyên đề phương trình dạng tích, đây là dạng bài cơ bản và trực tiếp nhất. Ở bài tập này, phương trình ban đầu đã được viết sẵn dưới dạng tích của các biểu thức bằng 0. Lúc này, bạn chỉ cần dùng đến tính chất mà chúng tôi đã nêu rõ ràng ở phần lý thuyết. Các bước làm bài như sau: 

• Bước 1: Quan sát thật kỹ phương trình để kiểm tra xem nó đã ở dạng tích hay chưa. 
• Bước 2: Áp dụng nhanh tính chất: \[A.B=0\Rightarrow A=0\] hoặc \[B=0\]. 
• Bước 3: Giải từng phương trình con và ghi lại toàn bộ nghiệm vừa tìm thấy được.

Ví dụ: Giải phương trình: 

1. a) \[\left(2x-3\right)(4-x)(x+3)=0\]
2. b) \[\left(x-1\right)(x+2)(x-5)=0\]

Lời giải: 

1. a) 

\[\left(2x-3\right)(4-x)(x+3)=0\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2x-3=0\\4-x=0\\x+3=0\end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix}x=\frac{3}{2}\\x=4\\x=-3\end{matrix}\right.\]

Vậy phương trình có 3 nghiệm là: \[x=\frac{3}{2},x=4,x=-3\]

1. b) 

\[\left(x-1\right)(x+2)(x-5)=0\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x-1=0\\x+2=0\\x-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=1\\x=-2\\x=5\end{matrix}\right.\]

Vậy phương trình có 3 nghiệm: \[x=1,x=-2,x=5\]

2.2. Phương trình chưa có dạng tích

Ở dạng này, phương trình ban đầu sẽ chưa có sẵn dạng tích, mà là những biểu thức đa thức cần đưa về tích bằng cách phân tích chúng thành nhân tử. Đây là dạng bài đòi hỏi các em học sinh vận dụng linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức như: dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử,… Phương pháp giải bài cụ thể là:

• Bước 1: Phân tích cẩn thận từng vế (hoặc toàn bộ) biểu thức thành tích các nhân tử.
• Bước 2: Sau khi đã đưa được phương trình về dạng tích, hãy tiếp tục giải như ở dạng 1.
• Bước 3: Giải các phương trình con, sau đó mới kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình: 

1. a) \[x^{2}-7x+6=0\]
2. b) \[x^{2}+6x+5=0\]

Lời giải: 

1. a) \[x^{2}-7x+6=0\]

\[x^{2}-7x+6=0\Leftrightarrow x^{2}-x-6x+6\Leftrightarrow x(x-1)-6(x-1)=0\]

Tức là:  

\[\left(x-1\right)(x-6)=0\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x-1=0\\x-6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=1\\x=6\end{matrix}\right.\]

Vậy phương trình có 2 nghiệm là \[x=1,x=6\]

1. b) \[x^{2}+6x+5=0\]

\[x^{2}+6x+5=0\Leftrightarrow x^{2}+x+5x+5=0\Leftrightarrow x(x+1)+5(x+1)=0\]

Tức là: 

\[\left(x+1\right)(x+5)=0\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x+1=0\\x+5=0\end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix}x=-1\\x=-5\end{matrix}\right.\]

Vậy phương trình có 2 nghiệm là \[x=-1,x=-5\]

2.3. Phương trình tích có chứa tham số hay những điều kiện đi kèm

So với hai dạng bài trên, dạng bài này nâng cao hơn, khi mà có một hoặc nhiều biểu thức trong tích chứa thêm tham số (thường ký hiệu là a,m,n,…). Theo đó, yêu cầu của đề bài có thể là tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm, có bao nhiêu nghiệm hay nghiệm thỏa mãn được điều kiện cụ thể nào đó. Các bước giải bài cụ thể là:

• Bước 1: Chuyển đổi phương trình đề cho về đúng dạng tích, nếu chưa có.
• Bước 2: Xem xét từng trường hợp cụ thể dựa vào giá trị của tham số.
• Bước 3: Dựa vào từng trường hợp, bạn hãy giải các phương trình con rồi đưa ra kết luận nghiệm theo điều kiện đề bài.

Ví dụ: Cho phương trình: \[\left(x-m\right)(2x+3)=0\] (1)

Hãy tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình này chỉ có đúng một nghiệm âm. 

Lời giải: 

Ta có: 

\[\left(x-m\right)(2x+3)=0\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x-m=0\\2x+3=0\end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix}x=m\\x=-\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\]

Vì \[x=-\frac{3}{2}<0 \] luôn là âm, nên để phương trình (1) chỉ có một nghiệm âm, thì nghiệm còn là x = m phải không âm, tức là: \[m\geq 0\]

Vậy phương trình (1) chỉ có đúng một nghiệm âm khi và chỉ khi \[m\geq 0\]

3. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Giải các phương trình sau: 

1. a) \[\left(4x^{2}-9\right)(x^{2}-25)=0\]
2. b) \[4x^{2}+4x+1=x^{2}\]
3. c) \[4x^{2}-1=(2x+1)(3x-5)\]

Bài tập 2: Tìm m để phương trình \[\left(x-2\right)(x-m)=0\] có 2 nghiệm trái dấu

Bài tập 3: Tìm m để phương trình \[\left(x-1\right)(x-m)=0\] có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện. 

Đáp án: 

• Bài tập 1: a) \[x=\pm\frac{3}{2};x=\pm 5\], b) \[x=-1;x=-\frac{1}{3}\], c) \[x=4;x=-\frac{1}{2}\]
• Bài tập 2: m < 0
• Bài tập 3: m > 2

Bài viết trên đây là tất tần tật các kiến thức trọng điểm về phương trình tích và các dạng bài liên quan. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã có thể tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập thuộc chuyên đề toán học này rồi nhé!