Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng
Tam giác cân là một dạng đặc biệt của tam giác, trong đó hai cạnh bên bằng nhau và hai góc ở đỉnh đối diện với hai cạnh bằng nhau cũng bằng nhau. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tính chất đặc biệt của tam giác cân, bao gồm đường trung trực của đoạn thẳng nằm trên cạnh đáy của tam giác và là đối xứng trục của tam giác cân.
1. Tam giác cân
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
2 cạnh bằng nhau được gọi là 2 cạnh bên. Cạnh còn lại là cạnh đáy.
Ví dụ:
Tam giác ABC là tam giác cân tại A, có:
- Cạnh bên : AB, AC
- Cạnh đáy: BC
- Góc ở đỉnh: Góc A
- Góc ở đáy: góc B và góc C
Tính chất 1: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau
Tính chất 2: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Dấu hiệu nhận biết tam giác cân
Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Chu vi tam giác cân bằng tổng 3 cạnh của một tam giác
Công thức
P = 2a + b
Trong đó: P là chu vi tam giác; a là độ dài hai cạnh bên và b là độ dài cạnh đáy của tam giác đó.
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao kẻ từ đỉnh A trùng với trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
Công thức tính diện tích tam giác cân ABC là:
\(S=\frac{AH.BC}2\)
2. Đường trung trực của đoạn thẳng
Đường thẳng vuông góc với 1 đoạn thẳng tại trung điểm của nó là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Đường trung trực của 1 đoạn thẳng cũng là trục đối xứng của đoạn thẳng đó.
Tính chất đường trung trực
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều 2 mút của đoạn thẳng đó.
3. Bài tập và hướng dẫn giải
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC; BF vuông góc với AB. Chứng minh rằng BE = CF.
Lời giải:
Do tam giác ABC cân tại A nên:
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tính chất tam giác cân)
Xét 2 tam giác vuông BFC và CEB:
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
BC chung
⇒ △BFC = △CEB (cạnh huyền-góc nhọn)
⇒ BE = CF (2 cạnh tương ứng)
Bài 2. Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
a. Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
b. Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
Lời giải
a)
Xét 2 tam giác vuông AMC và AMB có:
AM chung
BM=CM (gt)
=> ΔAMB=ΔAMC (c.g.c)
=> AM=BM (2 cạnh tương ứng)
=> Tam giác ABM cân tại A
b)
Kẻ :
MH vuông góc với AB (H thuộc AB)
MG vuông góc với AC (G thuộc AC)
Xét 2 tam giác vuông AHM và AGC có:
\(\widehat{HAM}=\widehat{GAM}\)
AM chung
=>ΔAHM = ΔAGC (cạnh huyền – góc nhọn)
=>HM=GM (2 cạnh tương ứng)
Xét 2 tam giác vuông BHM và CGM có:
BM=CM(gt)
MH=MG(cmt)
=> ΔBHM=ΔCGM (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
=> \(\widehat{BMH}=\widehat{CMH}\) (2 góc tương ứng)
=> Tam giác ABC cân tại A.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy D là trung điểm của đoạn thẳng BC
a) Chứng minh rằng ΔABD=ΔACD theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh
b) Hai góc B và C của tam giác ABC có bằng nhau k?
Lời giải
a) Tam giác ABC cân tại A (theo giả thiết) nên ta có AB = AC (định nghĩa tam giác cân).
Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:
AB = AC (chứng minh trên);
BD = CD (do D là trung điểm của BC);
AD là cạnh chung.
Vậy ΔABD=ΔACD (c.c.c)
b) Từ ΔABD=ΔACD (chứng minh câu a) suy ra \(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\) (hai góc tương ứng)
Hay \(\widehat B=\widehat C\)
Vậy góc B và C của tam giác ABC cân tại A bằng nhau