Có thể nói rằng, tam giác cân là một trong những dạng hình học cơ bản và rất quen thuộc với học sinh trong chương trình toán học ở các cấp. Với đặc điểm 2 cạnh bên bằng nhau, tam giác này đem đến sự cân đối và chứa đựng nhiều tính chất hình học thú vị. Theo dõi bài viết sau để hiểu rõ hơn về dạng hình này, từ đó vận dụng hiệu quả trong việc giải các bài toán nhé!
1. Những kiến thức cần ghi nhớ về tam giác 2 cạnh bằng nhau
1.1. Tam giác cân
Đây chính là một hình tam giác có độ dài 2 cạnh bằng nhau. Ví dụ: Trong \[\triangle ABC\], nếu cạnh AB = AC thì \[\triangle ABC\] cân ngay tại đỉnh A. Khi đó:
- Hai cạnh AC và AB được gọi là cạnh bên và BC là cạnh đáy.
- Hai góc tại B và C được gọi là góc đáy, góc tại A là góc ở đỉnh.
Tính chất quan trọng về dạng hình này mà bạn cần nhớ là:
- Trong tam giác có 2 cạnh bên bằng nhau, 2 góc ở đáy cũng bằng nhau. Ví dụ: \[\triangle ABC\] cân tại A thì \[\angle B=\angle C\].
- Nếu hình tam giác có 2 góc bằng nhau, nó chắc chắn cân tại một đỉnh nào đó. Ví dụ: \[\triangle ABC\] có \[\angle B=\angle C\] thì \[\triangle ABC\] cân tại A.
1.2. Tam giác vuông cân
Tam giác này không chỉ sở hữu 2 cạnh góc vuông, mà còn là tam giác vuông. Ví dụ như: \[\triangle MNP\] có MN = MP và \[\angle M=90^{\circ}\] => \[\triangle MNP\] chính là một hình tam giác vuông cân ngay tại đỉnh M.
1.3. Tam giác đều
Một hình tam giác bất kỳ được gọi là tam giác đều khi nó sở hữu độ dài 3 cạnh bằng nhau. Theo đó, các tính chất quan trọng về loại hình này mà bạn cần nhớ là:
- Tất cả các trong nằm trong tam giác đều bằng \[60^{\circ}\]. Ví dụ: \[\triangle ABC\] sẽ là tam giác đều khi cạnh AB = BC = AC và \[\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}\].
- Nếu một hình tam giác có số đo 3 góc bằng nhau thì đó chính là tam giác đều.
- Nếu một hình tam giác có 2 cạnh bằng nhau và số đo 1 góc bằng \[60^{\circ}\] thì đây cũng là tam giác đều.
2. Một vài dạng bài tập hình học về tam giác cân \[\triangle ABC\]
2.1. Tính số đo góc hay chứng minh các góc bằng nhau
Khi gặp phải dạng bài tập hình học này, bạn có thể giải theo các bước sau:
- Bước 1: Xác định được cặp góc bằng nhau dựa trên tính chất của hình tam giác có 2 cạnh bằng nhau.
- Bước 2: Áp dụng tính chất tổng 3 góc trong cùng một tam giác để tính ra góc tương ứng.
Ví dụ: Cho một \[\triangle ABC\] cân ngay tại đỉnh A. Hãy tính số đo các góc còn lại của tam giác này nếu:
- \[\widehat{A}=80^{\circ}\]
- \[\widehat{B}=75^{\circ}\]
Lời giải:
Do \[\triangle ABC\] cân ngay tại đỉnh A, nên ta có: \[\widehat{B}=\widehat{C}\] và \[\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}\]
- Với \[\widehat{A}=80^{\circ}\] ta có:
\[\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}-\widehat{A}=180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}\]
\[\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{100^{\circ}}{2}=50^{\circ}\]
- Vì \[\widehat{B}=75^{\circ}\] nên \[\widehat{C}=75^{\circ}\]. Suy ra:
\[\widehat{A}=180^{\circ}-(\widehat{B}+\widehat{C})=180^{\circ}-(75^{\circ}+75^{\circ})=30^{\circ}\]
2.2. Nhận biết một tam giác đều, tam giác cân
Đối với dạng bài tập hình học này, chúng ta sẽ dựa vào dấu hiệu nhận biết của một tam giác đều/ cân để giải. Theo đó, các bước cụ thể như sau:
- Bước 1: Xác định được cạnh (góc) bằng nhau của tam giác bằng cách chứng minh thông qua việc phân tích dữ liệu đề bài.
- Bước 2: Chứng minh cặp cạnh (góc) tương ứng bằng với nhau và đưa ra kết luận. Đương nhiên, trong quá trình chứng minh, bạn vẫn có thể cần dựng thêm đường phụ.
Ví dụ: Cho \[\triangle ABC\] có AD chính là đường phân giác của góc A \[D\epsilon BC\]. Trên cạnh AB lấy thêm một điểm I, cạnh AC lấy thêm điểm H sao cho AH = AI. Hãy chứng minh \[\triangle IDH\] là tam giác cân tại D.
Lời giải:
Do AD là đường phân giác \[\angle A\] nên:
\[\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}\]
Xét đến \[\triangle ADI\] và \[\triangle ADH\], ta có:
AI = AH (giả thuyết)
\[\widehat{IAD}=\widehat{HAD}\] và AD chung
Do đó, \[\triangle ADI=\triangle ADH\] (c.g.c) => DI = DH (cặp cạnh tương ứng).
Vậy \[\triangle IDH\] là cân ngay tại đỉnh D.
2.3. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau trong tam giác cân
Ở dạng bài tập hình học này, chúng ta cũng sẽ sử dụng đến tính chất: Tam giác khi cân sẽ có 2 cạnh bên bằng với nhau (dành cho 2 đoạn thẳng không có cùng một đầu mút chung). Hoặc gắn các đoạn thẳng cần phải chứng minh vào 2 cạnh tương ứng của 2 hình tam giác bằng nhau.
Ví dụ: Cho \[\triangle ABC\] cân ngay tại A. Trên các cạnh AC, AB lần lượt lấy các điểm N và M sao cho cạnh AM = AN. Hãy chứng minh cạnh CM = BN.
Lời giải:
Vì \[\triangle ABC\] cân ngay tại đỉnh A, nên ta có: AB = AC và \[\widehat{B}=\widehat{C}\]
Suy ra AM + MB = AN + NC.
Lại có AM = AN nên BM = CN.
Xét đến \[\triangle BCM\] và \[\triangle CBN\] có:
BM = CN
\[\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\]
BC là cạnh chung.
Do đó: \[\triangle BCM=\triangle CBN\] (c.g.c)
Suy ra CM = BN (2 cạnh tương ứng)
3. Bài tập vận dụng về tam giác cân
Bài tập 1: Cho \[\triangle XYZ\] cân ngay tại đỉnh X. Biết \[\widehat{X}=40^{\circ}\], hãy tính số đo của 2 góc đáy là Y và Z.
Lời giải:
Vì \[\triangle XYZ\] cân ngay tại đỉnh X, nên \[\widehat{Y}=\widehat{Z}\].
Ta có tổng 3 góc trong cùng một tam giác là:
\[\widehat{X}+\widehat{Y}+\widehat{Z}=180^{\circ}\]
\[\Rightarrow 40^{\circ}+2\widehat{Y}=180^{\circ}\]
\[\Rightarrow 2\widehat{Y}=140^{\circ}\]
\[\Rightarrow\widehat{Y}=\widehat{Z}=70^{\circ}\]
Bài tập 2: Cho \[\triangle DEF\], gọi G chính là trung điểm của cạnh EF. Trên cạnh DE, DF lần lượt lấy điểm M và N sao cho DM = DN. Hãy chứng minh \[\triangle MNG\] là một tam giác cân.
Lời giải:
Vì DM = DN (giả thiết), nên \[\triangle DMN\] sẽ cân tại đỉnh D.
Lại có G là trung điểm của cạnh EF, nên EG = FG.
Xét đến \[\triangle MNG\], ta có:
- DM = DN (giả thiết)
- G nằm trên đoạn nối giữa E và F, nên khi ta nối M và N đến G, 2 cạnh MG và NG sẽ bằng nhau do tính chất trung điểm và điều kiện đối xứng.
=> \[\triangle MNG\] là cân ngay tại đỉnh G.
Bài tập 3: Cho \[\triangle PQR\] cân ngay tại đỉnh P. Trên cạnh PQ, PR lần lượt lấy các điểm S và T sao cho PS = PT. Hãy chứng minh ngay cạnh QT = RS.
Lời giải:
Vì \[\triangle PQR\] cân ngay tại P, nên PQ = PR và \[\widehat{Q}=\widehat{R}\].
Ta lại có PS = PT (giả thiết).
Xét đến \[\triangle PQS\] và \[\triangle PRT\], ta có:
- PQ = PR
- PS = PT
- P là góc chung.
\[\Rightarrow\triangle PQR=\triangle PRT \]
Suy ra: QS = RT.
Tam giác cân là một dạng hình học rất phổ biến trong các bài toán ở các cấp. Mong rằng với tất cả kiến thức quan trọng mà chúng tôi đã chia sẻ, bạn đọc đã hiểu rõ hơn về kiểu tam giác này và nắm vững hướng giải đúng của những dạng bài tập có liên quan nhé!
