Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài toán về đường phân giác là một trong những chủ đề cơ bản trong hình học Euclid. Trong tam giác, đường phân giác là đường thẳng đi qua đỉnh của một góc và chia góc đó thành hai phần bằng nhau. Tính chất của đường phân giác là rất quan trọng trong các bài toán hình học và cũng được sử dụng rộng rãi trong thực tiễn. Bài viết này sẽ giới thiệu một số tính chất quan trọng của đường phân giác trong tam giác và một số bài tập vận dụng.

1. Khái niệm đường phân giác

Đường phân giác là đường thẳng đi qua một góc của một tam giác và chia góc đó thành hai phần bằng nhau. Nó là đường thẳng đi qua đỉnh của góc và cắt cạnh đối diện góc đó thành hai đoạn có tỷ lệ bằng nhau.

Trong một tam giác ABC, phân giác góc A là đường thẳng đi qua đỉnh A và chia góc A thành hai phần bằng nhau. Tương tự, ta có thể xác định phân giác cho các góc còn lại của tam giác.

2. Tính chất đường phân giác của tam giác

Định lí: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

△ABC có AD là tia phân giác của góc A; D thuộc BC.

Vậy ta sẽ có tỉ lệ \(\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác).

Chú ý: Định lí trên vẫn đúng với đường phân giác của góc ngoài của tam giác

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AD và AE lần lượt là đường phân giác trong và góc ngoài tại đỉnh A.

Khi đó ta có:

\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\) và \(\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC}\)

3. Một số dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng.

Phương pháp giải:

• Áp dụng tính chất đường phân giác, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng
• Áp dụng định lí Py-ta-go.

Dạng 2.Tính tỉ số độ dài, tỉ số diện tích hai tam giác.

Phương pháp giải:

• Áp dụng tính chất đường phân giác, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng.
• Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học. Công thức và kết quả thu được từ công thức tính diện tích tam giác.

4. Bài tập minh hoạ

Bài 1. Cho tam giác ABC có BC = 24 cm, AC = 3 AB. Tia phân giác của góc ngoài tại A cắt đường thẳng BC ở E. Tính độ dài EB

Lời giải

Áp dụng tính chất của đường phân giác ngoài AE vào tam giác ABC, ta được:

\(\frac{EB}{EC}=\frac{BA}{CA}=\frac{BA}{3BA}=\frac13\Rightarrow\frac{EB}1=\frac{EC}3\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau, ta được:

\(\frac{EB}1=\frac{EC}3=\frac{EC\;-\;EB}{3\;-\;1}=\frac{BC}2=\frac{24}2=12\;cm\)

Vậy EB = 12 cm

Bài 2. Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD và CE. Biết \(\frac{AD}{BC}=\frac23;\frac{EA}{EB}=\frac56\). Tính các cạnh của tam giác ABC, biết chu vi tam giác bằng 45 cm

Lời giải

Áp dụng tính chất của các đường phân giác BD và CE vào tam giác ABC, ta được:

\(\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BC}=\frac23=\frac46\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}AB=4t\\BC=6t\end{array}\right.\) (với t > 0)

\(\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{EB}=\frac56\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}AC=5t\\BC=6t\end{array}\right.\)

Từ giả thiết chu vi của tam giác ABC bằng 45cm ta có:

45 = AB + BC + CA = 4t + 6t + 5t = 15t ⇔ t =3

Vậy AB = 12 cm, BC = 18 cm, CA = 15 cm

Bài 3. Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm, các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I

a) Tính các độ dài AD, DC

b) Tính các độ dài AE, BE

Lời giải

a) Theo tính chất đường phân giác: \(\frac{AD}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac23\Rightarrow\frac{AD}2=\frac{CD}3=1\)

Do đó AD = 2cm, CD = 3cm

b) Ta có: Theo tính chất đường phân giác:

\(\frac{AE}{EB}=\frac{CA}{CB}=\frac56\Rightarrow\frac{AE}5=\frac{EB}6=\frac4{11}\)

Do đó: \(AE=\frac{20}{11}cm,\;BE=\frac{24}{11}cm\)