Đường phân giác trong tam giác là một trong những kiến thức quan trọng, thường xuất hiện trong chương trình hình học. Việc nắm vững khái niệm, tính chất và định lý liên quan đến đường phân giác sẽ giúp bạn giải quyết nhanh chóng các dạng bài hình học phức tạp. Hãy theo dõi bài viết sau để biết thêm những kiến thức toán học về đường phân giác nhé!
1. Các kiến thức cần ghi nhớ về đường phân giác tam giác
Đường phân giác trong hình tam giác là một đoạn thẳng được kẻ từ một đỉnh, chia góc tại đỉnh đó thành 2 phần bằng nhau và cắt cạnh đối diện. Một tính chất quan trọng nhất đường phân giác chính là định lý: “Trong một hình tam giác, đường phân giác sẽ chia cạnh đối diện làm 2 đoạn thẳng tỷ lệ cùng với 2 cạnh kề”.
Ví dụ như, nếu đường phân giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC tại D, ta có: \[\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\]. Định lý này sẽ giúp bạn giải quyết được nhiều dạng bài toán về tỷ số, chứng minh hình học và độ dài trong tam giác.
2. Một số dạng bài tập về đường phân giác trong tam giác
2.1. Tính độ dài của các cạnh, chu vi và diện tích hình tam giác
Đối với dạng bài tập phổ biến này, bạn hoàn toàn có thể áp dụng tính chất của đường phân giác trong hình tam giác và kết hợp với định lý pitago, định lý thales hay các tỷ lệ thức để tính toán.
Ví dụ: Cho hình \[\bigtriangleup ABC\] có độ dài cạnh AB= 5cm, cạnh CA= 6cm, BC= 7cm và AE chính là đường phân giác của \[\widehat{A}\]. Hãy tính ngay độ dài đoạn EB và EC.
Lời giải: Kết hợp tính chất của đường phân giác cho \[\bigtriangleup ABC\] và tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
\[\frac{EB}{BA}=\frac{EC}{CA}=\frac{EB+EC}{BA+CA}=\frac{BC}{BA+CA}\]
=> \[\frac{EB}{5}=\frac{EC}{6}=\frac{7}{11}\]
=> \[EB=\frac{35}{11}(cm)\] và \[EC=\frac{42}{11}(cm)\]
2.2. Đường phân giác trong tam giác – Dạng bài tính tỷ số độ dài/ diện tích
Khi bắt gặp dạng bài tập như thế này, bạn có thể tham khảo cách áp dụng tính chất của đường phân giác trong một hình tam giác và lập lên tỷ lệ thức giữa những đoạn thẳng. Đôi khi, bạn cũng có thể thử dùng thêm kỹ thuật đại số hóa hình học, các công thức cũng như kết quả đã thu được từ công thức tính diện tích (S) của tam giác.
Ví dụ: Cho hình \[\bigtriangleup ABC\] và 2 đường phân giác CE và BD. Trong đó, đã biết \[\frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}\] và \[\frac{EA}{EB}=\frac{5}{6}\]. Hãy tính ngay cạnh của tam giác này, biết \[\bigtriangleup ABC\] sở hữu chu vi là 45cm.
Lời giải: Áp dụng ngay tính chất đường phân giác, ta sẽ có:
\[\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=>\left\{\begin{matrix}AB=4t\\BC=6t\end{matrix}\right.(t>0)\]
\[\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{EB}=\frac{5}{6}=>\left\{\begin{matrix}AC=5t\\BC=6t\end{matrix}\right.\]
Lại thêm chu vi \[\bigtriangleup ABC\] là 45cm, ta có:
AB + BC + CA= 45
=> 4t + 6t + 5t= 45
=> 15t= 45 => t= 3.
Như vậy, AB= 12cm, CA= 15cm và BC= 18cm.
3. Bài tập về đường phân giác trong tam giác
Bài tập 1: Cho một hình \[\bigtriangleup ABC\] có độ dài cạnh AB= 8cm, AC= 10cm, BC= 12cm và AD chính là đường phân giác của \[\widehat{A}\], cắt BC tại D. Hãy tính ngay độ dài của đoạn DC và BD.
Bài tập 2: Cho một hình \[\bigtriangleup ABC\], có tổng cộng 2 đường phân giác là BD và CE. Biết rằng: \[\frac{AD}{DC}=\frac{3}{4}\] và \[\frac{EA}{EB}=\frac{2}{5}\]. Ngoài ra, tam giác có chu vi là 70cm. Hãy tính ngay độ dài 3 cạnh AB, AC và BC.
Đáp án:
- Bài 1: \[BD=\frac{16}{3}\approx 5,33cm\] và \[DC=\frac{20}{3}\approx 6,67cm\].
- Bài 2: \[AB\approx 24,42cm\], \[BC\approx 32,56cm\], \[AC\approx 13,02cm\].
Trên đây là bài chia sẻ các kiến thức quan trọng về đường phân giác trong tam giác. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đã hiểu rõ hơn về đường phân giác và hướng giải một vài dạng bài tập có liên quan, từ đó cải thiện điểm số môn toán hình của mình nhé!
