Trong môn hình học, đường tròn ngoại tiếp tam giác chính là đường tròn đi qua cả 3 đỉnh tam giác, giữ vai trò quan trọng trong nhiều bài toán. Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác sẽ phụ thuộc vào loại tam giác cũng như dữ kiện đề bài. Bài viết sau đây sẽ giới thiệu đến bạn 4 phương pháp tính bán kính đơn giản, nhanh chóng và chuẩn xác nhất!
1. Tìm hiểu khái niệm và vai trò của đường tròn ngoại tiếp
Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác chính là khoảng cách từ phần tâm đường tròn ngoại tiếp cho đến một trong 3 đỉnh của hình tam giác. Trong đó, tâm được xác định bởi giao điểm của 3 đường trung trực.
Thực tế, bán kính đường tròn này không chỉ giúp bạn tìm thấy kích thước tổng quan của tam giác mà còn giữ vai trò quan trọng trong quá trình nghiên cứu các tính chất hình học liên quan. Trong môn toán, việc tính toán bán kính này còn hỗ trợ học sinh giải quyết nhiều dạng bài toán, từ hình học mặt phẳng cho đến các bài toán nâng cao về tỷ lệ và góc.
2. 4 Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Hiện nay, có rất nhiều phương pháp tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tuy nhiên, việc lựa chọn cách tính nào còn phụ thuộc vào loại tam giác và các thông tin cho sẵn. Sau đây là tổng hợp 4 phương pháp phổ biến nhất:
2.1. Sử dụng công thức tính diện tích
Khi nhìn thấy đề bài cho biết diện tích của tam giác, bạn hoàn toàn có thể tính bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng công thức:
\[R=\frac{abc}{4S}\]
Trong đó:
- a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của hình tam giác.
- S là diện tích của hình tam giác, có thể tính bằng công thức Heron:
\[S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]
với là nửa chu vi chu vi tam giác, được xác định bằng công thức:
\[s=\frac{a+b+c}{2}\]
Ví dụ: Cho một hình tam lần lượt có độ dài cạnh a = 7 cm, b = 8cm, c = 9cm. Hãy tính ngay bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Lời giải:
- Nửa chu vi hình tam giác là:
\[s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{7+8+9}{2}=12\]
- Diện tích hình tam giác là:
\[S=\sqrt{s(s+a)(s+b)(s+c)}=\sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}=\sqrt{12\times 5\times 4\times 3}=\sqrt{720}\approx 26.83(cm^{2})\]
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp là:
\[R=\frac{abc}{4S}=\frac{7\times 8\times 9}{4\times 26.83}\approx 4.68(cm)\]
2.2. Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng định lý Sin
Thông thường, đây là phương pháp tính được nhiều người sử dụng khi biết trước số đo một cạnh và góc đối diện của tam giác. Công thức cụ thể là:
\[R=\frac{a}{2sinA}=\frac{b}{2sinB}=\frac{c}{2sinC}\]
Trong đó:
- a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh của hình tam giác
- A, B, C là số đo góc đối diện với các cạnh tương ứng
Ví dụ: Cho một \[\triangle ABC\], biết độ dài cạnh a = 10cm và số đo \[\widehat{A}=60^{\circ}\]. Hãy tính ngay bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình tam giác này.
Lời giải:
Bán kính đường tròn ngoại tiếp của \[\triangle ABC\] là:
\[R=\frac{a}{2sinA}=\frac{10}{2sin60^{\circ}}\approx 5.77(cm)\]
2.3. Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng hệ tọa độ
Đối với cách này, chúng ta cần tìm đúng tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp thông qua việc giải hệ phương trình đường trung trực. Nếu đường trung trực đoạn AB là đường thẳng đi qua trung điểm AB và vuông góc AB, thì cách xác định phương trình một đoạn thẳng cụ thể như sau:
- Trung điểm của đoạn AB: \[M(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})\]
- Hệ số góc của đoạn AB: \[k_{AB}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\]
- Hệ số góc đường trung trực (vuông góc với đoạn AB): \[k_{\perp}=-\frac{1}{k_{AB}}=-\frac{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}\], với \[y_{2}\neq y_{1}\]
Suy ra, phương trình đường thẳng đoạn AB (dạng y=mx+b) là:
\[y-\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=-\frac{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}(x-\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\]
Với cách làm tương tự, ta sẽ lập được phương trình cho đoạn BC và AC.
Lúc này, giao điểm của 2 trong 3 đường trung trực chính là tâm (X,Y) của đường tròn ngoại tiếp và phương trình bạn cần giải là:
\[\left\{\begin{matrix}Y-\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=-\frac{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}(X-\frac{x_{1}+x_{2}}{2})(1)\\Y-\frac{y_{2}+y_{3}}{2}=-\frac{x_{3}-x_{2}}{y_{3}-y_{2}}(X-\frac{x_{2}+x_{3}}{2})(2)\end{matrix}\right.\]
Sau khi tìm thấy (X,Y), chúng ta mới tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng công thức:
\[R=\sqrt{(X-x_{1})^{2}+(Y-y_{1})^{2}}\]
Ví dụ: Cho một hình tam giác ABC có tọa độ như sau: A(1,1), B(5,3), C(3,7). Hãy tính ngay bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác này.
Lời giải:
- Trung điểm của đoạn AB: \[M=(\frac{1+5}{2},\frac{1+3}{2})=(3,2)\]
- Trung điểm của đoạn BC: \[N=(\frac{5+3}{2},\frac{3+7}{2})=(4,5)\]
Ta có:
- Hệ số góc của AB: \[k_{AB}=\frac{3-1}{5-1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]
- Hệ số góc của đường trung trực: \[k_{\perp}=-2\]
- Phương trình đường trung trực của AB đi qua điểm M(3,2):
\[y-2=-2(x-3)\]
\[y=-2x+6+2\]
\[y=-2x+8\] (1)
Thực hiện tương tự với các bước trên, ta đường phương trình đường trung trực của đoạn BC đi qua N(4,5) là:
\[y=\frac{1}{2}x+3\] (2)
Từ (1) và (2) ta sẽ lập được hệ phương trình như sau:
\[\left\{\begin{matrix}Y=-2X+8\\Y=\frac{1}{2}X+3\end{matrix}\right.\]
Thay \[Y=-2X+8\] vào phương trình thứ 2 ta được:
\[-2X+8=\frac{1}{2}X+3\]
Nhân cả 2 vế cùng với 2 để khử phân số ta được:
\[-4X+16=X+6\]
\[-5X=-10\]
\[X=2\]
Tiếp tục thay X= 2 vào phương trình Y= -2X+8, ta được Y= 4
Như vậy, tâm đường tròn ngoại tiếp là O(2,4).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp chính là khoảng cách từ tâm O(2,4) đến điểm A(1,1):
\[R=\sqrt{(2-1)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{10}\]
2.4. Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông
Đối với một tam giác vuông, tâm của đường tròn ngoại tiếp cũng được xem là trung điểm của cạnh huyền. Điều này đồng nghĩa với việc bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó sẽ tính bằng nửa độ dài cạnh huyền.
Ví dụ: Cho một hình tam giác ABC vuông tại A lần lượt có 3 tọa độ như sau: A(0,0), B(4,0), C(0,3). Hãy tính ngay bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Lời giải:
Độ dài cạnh huyền BC là: \[BC=\sqrt{(4-0)^{2}+(0-3)^{2}}=\sqrt{25}=5\]
Bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình tam giác vuông ABC là: \[R=\frac{5}{2}=2.5\]
3. Bài tập về cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài tập 1: Cho một hình tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AB= 3cm, AC= 4cm. Hãy tính ngay bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Bài tập 2: Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình tam giác đều ABC với các cạnh bằng a.
Đáp án:
- Bài 1: Bán kính đường tròn là 2.5cm.
- Bài 2: Bán kính đường tròn là \[\frac{a\sqrt{3}}{3}\]
Bài viết trên đây là những kiến thức liên quan đến cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác mà chúng tôi muốn chia sẻ đến bạn. Hy vọng bài viết hữu ích và bạn đã có thể giải được các bài tập liên quan đến khái niệm này dựa trên thông tin đề bài cho sẵn rồi nhé!
