Đối với chương trình toán 12, thể tích hình nón chính là một phần kiến thức hết sức quan trọng. Các dạng toán về thể tích của hình khối nón xuất hiện khá nhiều trong các đề thi. Vậy hình nón là gì? Công thức tính thể tích của hình khối nón như thế nào? Dưới đây là một số công thức và các dạng toán kèm bài tập liên quan giúp bạn dễ hình dung về các dạng toán này.
Khối nón là gì?
Khối nón là một khối hình của hình học không gian 3 chiều gồm bề mặt cong và mặt phẳng hướng về phía trên. Hình nón sẽ được chia ra thành 2 phần chính là đỉnh và đáy. Hình nón gồm có 3 thuộc tính là:
- Một đỉnh hình tam giác
- Một mặt đáy hình tròn
- Không có cạnh
Chiều cao được tính từ tâm của mặt đáy đến đỉnh của hình nón. Hình được tạo thành từ bán kính và đường cao của hình nón được gọi là tam giác vuông.
HÌnh nón được chia thành 3 loại phổ biến, tùy thuộc vào vị trí của đỉnh nằm nghiêng hay thẳng, cụ thể:
- Hình nón tròn xoay
- Hình nón cụt
- Hình nón xiên
Công thức tính thể tích hình nón
Như đã nói ở trên, hình nón được chia thành 3 loại phổ biến, vì vậy, công thức tính thể tích cũng sẽ có sự khác nhau dựa trên đặc điểm của từng loại:
Công thức tính thể tích hình nón
Công thức tính thể tích hình nón cụ thể như sau:
Thể tích của khối nón sẽ bằng ⅓ giá trị Pi nhân với bình phương của bán kính đáy mặt nón, nhân với chiều cao của hình nón:
Trong đó:
- V: Thể tích của hình nón
- = 3,14
- r: Bán kính
- h: Đường cao
Công thức tính thể tích hình nón tròn xoay
Theo đó, hình nón tròn xoay được tính theo công thức như sau:
Trong đó:
- B: Diện tích đáy
- r: Bán kính đáy
- h: Chiều cao hình nón
Công thức tính thể tích hình nón cụt
Theo đó, hình nón cụt sẽ được tính theo công thức là hiệu của thể tích hình nón lớn và hình nón nhỏ:
Trong đó:
- V: Thể tích của hình nón cụt
- r1, r2: Bán kính của 2 đáy
- h: Chiều cao
Các dạng toán tính thể tích hình nón
Một số dạng toán có liên quan đến thể tích hình nón bao gồm:
Tìm bán kính, đường sinh, diện tích, thể tích hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy R và đường sinh là l, theo đó:
- Diện tích xung quanh: Sxq=
- Diện tích đáy (hình tròn): Sđ=
- Diện tích toàn phần hình tròn: S=Sđ + Sxq = +
- Thể tích hình nón:
Cách xác định thiết diện của hình nón
- Nếu mặt cắt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh sẽ xuất hiện những trường hợp như sau:
- Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện được ghi nhận là tam giác cân.
- Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh, đây là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
- Nếu mặt cắt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh, sẽ xuất hiện những trường hợp như sau:
- Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến sẽ là một đường tròn.
- Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh thì giao tuyến sẽ là 2 nhánh của 1 hypebol.
- Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến ghi nhận sẽ là 1 đường parabol.
Bài 1: Tính thể tích của khối nón với tứ diện đều ABCD có đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và các cạnh bằng a.
Lời giải:
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, ta có AO = h, OC = r như hình sau đây:
=>
Suy ra:
Vậy thể tích khối nón là:
Bài 2: Tính thể tích của hình nón với độ dài đường sinh là 5cm, bán kính R của hình tròn đáy là 3cm.
Lời giải: Gọi O là đỉnh khối nón, A là một điểm thuộc đường tròn đáy, H chính là tâm của hình tròn. Ta có: HA = 3cm, OA = 5cm. Trong tam giác vuông OHA, ta có:
Bài 3: Tính thể tích của khối nón với hình nón N có góc đỉnh là 60o, mặt phẳng qua trục của hình nón, cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 2.
Lời giải: Tam giác đều SAB có góc S bằng 60o, SA = SB. TRọng tâm tam giác là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.
Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là:
Mà SO = SA.sin60o
Bán kính của đường tròn khối nón là:
Áp dụng công thức thể tích hình nón ta có:
Vậy thể tích khối nón là: V = 3 x 3,14 = 9,42cm3
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, với AB = 8cm, BC = 10cm. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho đường gấp khúc như sau:
a, ACB quay quanh AB
b, ABC quay quanh AC
Lời giải:
Trong tam giác vuông ABC có:
a, Khi đường gấp khúc ACB quay quanh AB ta có hình nón với chiều cao h = AB = 8(cm), bán kính R = AC = 6(cm).
b, Khi đường gấp khúc ABC quay quanh AC, ta có hình nón với chiều cao là h = AC = 6(cm), bán kính R = AB = 8(cm).
Lời kết
Trên đây là một số kiến thức cơ bản về công thức tính thể tích hình nón cùng những ví dụ có liên quan. Hy vọng rằng, nội dung bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh lớp 12 áp dụng được trong các dạng toán có liên quan một cách dễ dàng và hiệu quả nhất.
