Đại lượng tỉ lệ nghịch

Đại lượng tỉ lệ nghịch là một khái niệm trong toán học, trong đó hai đại lượng có một mối quan hệ tỉ lệ nghịch với nhau, nghĩa là khi một đại lượng tăng lên thì đại lượng còn lại sẽ giảm đi và ngược lại. Trong thực tế, đại lượng tỉ lệ nghịch được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như khoa học, kinh tế, thống kê, v.v. Việc hiểu và áp dụng đại lượng tỉ lệ nghịch là rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán có liên quan.

Đại lượng tỉ lệ nghịch

Định nghĩa:

Đại lượng tỉ lệ nghịch là một loại mối quan hệ giữa hai đại lượng, trong đó khi một đại lượng tăng lên thì đại lượng còn lại sẽ giảm đi và ngược lại. Cụ thể, nếu hai đại lượng x và y có một mối quan hệ tỉ lệ nghịch, khi x tăng thì y sẽ giảm và khi x giảm thì y sẽ tăng. Đại lượng tỉ lệ nghịch thường được biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó tử số và mẫu số có mối quan hệ tỉ lệ nghịch.

Tổng quát:

Ví dụ:

Tốc độ di chuyển và thời gian di chuyển giữa hai điểm trên đường là hai đại lượng có mối quan hệ tỉ lệ nghịch:

t = \(\mathrm{\frac{s}{v}}\)

Nếu tốc độ di chuyển càng nhanh thì thời gian di chuyển sẽ càng ít và ngược lại.

Ứng dụng:

Đại lượng tỉ lệ nghịch được áp dụng rất nhiều trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực liên quan đến vật lý, hóa học, toán học và kinh tế. Dưới đây là một số ví dụ về ứng dụng của đại lượng tỉ lệ nghịch:

• Tốc độ trung bình của một con tàu và thời gian di chuyển giữa hai điểm trên đường: khi tốc độ tăng thì thời gian di chuyển giảm và ngược lại.
• Áp suất và thể tích của một khí: khi áp suất tăng thì thể tích của khí sẽ giảm và ngược lại.
• Tốc độ bơm nước và áp lực nước: khi tốc độ bơm nước tăng thì áp lực nước giảm và ngược lại.
• Số công nhân làm việc và thời gian sản xuất sản phẩm: khi số công nhân tăng thì thời gian sản xuất giảm và ngược lại.

Các ví dụ trên chỉ ra rằng đại lượng tỉ lệ nghịch có thể giúp chúng ta dự đoán sự thay đổi của một đại lượng khi đại lượng kia thay đổi. Nó là một công cụ hữu ích trong các bài toán tính toán và thực tế.

Dưới đây là một số ví dụ về đại lượng tỉ lệ nghịch:

1. Tốc độ và thời gian di chuyển: Nếu một chiếc ô tô di chuyển với tốc độ cao hơn thì thời gian di chuyển sẽ ngắn hơn. Tốc độ và thời gian di chuyển có một mối quan hệ tỉ lệ nghịch.

2. Nhiệt độ và độ nhớt: Nếu nhiệt độ tăng lên thì độ nhớt của một chất lỏng sẽ giảm xuống. Nhiệt độ và độ nhớt cũng có mối quan hệ tỉ lệ nghịch.

3. Áp suất và thể tích của một khí: Nếu áp suất tăng lên thì thể tích của khí sẽ giảm xuống. Áp suất và thể tích của một khí có một mối quan hệ tỉ lệ nghịch.

4. Số lượng người và thời gian thực hiện công việc: Nếu số lượng người thực hiện công việc tăng thì thời gian thực hiện công việc sẽ giảm xuống. Số lượng người và thời gian thực hiện công việc có một mối quan hệ tỉ lệ nghịch.

Các ví dụ trên cho thấy rằng đại lượng tỉ lệ nghịch có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau và giúp chúng ta hiểu và dự đoán sự thay đổi của một đại lượng khi đại lượng kia thay đổi.

Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Cách giải toán về đại lượng tỉ lệ nghịch cũng tương tự như giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận, nhưng sẽ sử dụng phép tính chia để tìm ra hệ số tỉ lệ.

Cụ thể, để giải một bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch, ta làm như sau:

• Bước 1: Xác định các đại lượng có tỉ lệ nghịch với nhau.
• Bước 2: Tìm giá trị của một trong hai đại lượng đã cho.
• Bước 3: Lập các tỉ số bằng nhau và dựa vào tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm các yếu tố chưa biết 

Ví dụ:

Ba người thợ xây cùng chát một bức tường trong 8 ngày. Hỏi 7 người thợ cùng làm sẽ chát xong bức tường trong bao nhiêu ngày (biết năng suất lao động của mỗi người thợ là như nhau)

Giải:

Gọi x (ngày) là thời gian để 7 người thợ cùng chát xong bức tường

Vì năng suất của mỗi người thợ là như nhau nên số người thợ và thời gian để họ xây xong bức tường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Do đó ta có tỉ số: \(\mathrm{\frac{x}{7}}\) = \(\mathrm{\frac{3}{8}}\)

Suy ra x = \(\mathrm{\frac{7.3}{8}}\) = \(\mathrm{\frac{21}{8}}\) = 2,625 (ngày)

Vậy thời gian để 6 người thợ cùng xây xong bức tường là 2,625 ngày.

Bài tập

Bài tập 1:

Trong một nhóm học sinh, tỉ lệ số học sinh nam và nữ là 2:3. Nếu trong nhóm đó có 30 học sinh nữ, hỏi có bao nhiêu học sinh nam?

Bài giải:

Gọi x là số học sinh nam.

Ta biết tỉ lệ số học sinh nam và nữ là 2:3, tức là tỉ số giữa số học sinh nam và số học sinh nữ là 2/3. Vì vậy, ta có

\(\mathrm{\frac{2}{3}}\) = \(\mathrm{\frac{x}{30}}\)

x = \(\mathrm{\frac{30.2}{3}}\) = \(\mathrm{\frac{60}{3}}\) = 20 (học sinh)

Vậy trong nhóm học sinh đó có 20 học sinh nam.

Bài tập 2:

Một công ty sản xuất gạo cần 24 giờ để sản xuất ra 240 kg gạo. Nếu công ty mở thêm một dây chuyền mới thì thời gian sản xuất sẽ giảm xuống còn 16 giờ. Hỏi công ty cần bao nhiêu giờ để sản xuất 360 kg gạo?

Bài giải:

Gọi x là số giờ cần thiết để sản xuất 360 kg gạo với một dây chuyền sản xuất. Ta có:

Với một dây chuyền sản xuất, công ty sản xuất được  \(\mathrm{\frac{240}{24}}\) = 10 kg gạo mỗi giờ.

Nếu mở thêm một dây chuyền sản xuất, công ty sản xuất được \(\mathrm{\frac{240}{16}}\) = 15 kg gạo mỗi giờ.

Do đó, tỉ lệ sản lượng giữa hai dây chuyền là \(\mathrm{\frac{10}{15}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{3}}\)

Áp dụng đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

\(\mathrm{\frac{t}{16}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{3}}\) 

vậy t = \(\mathrm{\frac{16.2}{3}}\)= \(\mathrm{\frac{32}{3}}\) = 10,6 (giờ)

Vậy cần 10,6 giờ để sản xuất ra 360 kg gạo.