Một trong những bài toán thú vị và thực tiễn nhất trong Toán học chính là bài toán về tỉ lệ thức. Không chỉ dùng trong các phép chia đều hay đo khoảng cách bản đồ, tỉ lệ thức còn xuất hiện trong rất nhiều bài thi. Tuy nhiên, đây cũng là “nỗi lòng” gây khó khăn của không ít các học sinh cấp 2. Nhưng bạn cũng đừng quá lo lắng, hãy cùng chúng tôi ôn tập ngay nhé.
Định nghĩa
Trước hết muốn hiểu tỉ lệ thức, bạn cần nắm vững kiến thức về phân số và sự bằng nhau giữa các phân số. Khi hai phân số có giá trị bằng nhau, chúng tạo thành một tỉ lệ thức – khái niệm rất cơ bản nhưng cũng rất quan trọng trong học toán.
- Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa hai tỉ số.
- Tỉ lệ thức có dạng:
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \quad (b \ne 0, d \ne 0)\]
Lý thuyết và tính chất
Tỉ lệ thức không chỉ là một đẳng thức đơn thuần. Để giải nhanh các bài toán liên quan, bạn cần biết các tính chất quan trọng của nó. Những tính chất này cho phép biến đổi và xử lý tỉ lệ thức linh hoạt hơn rất nhiều.
Các tính chất của tỉ lệ thức
- Tính chất cơ bản (tích chéo):
Nếu: \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c\]
- Tính chất hoán vị:
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{d}{b}\]
- Tính chất nghịch đảo:
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{d}{c}\]
- Tính chất cộng (hoặc trừ) hai tỉ số cùng vế:
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a + c}{b + d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\]
Công thức cần nhớ
Khi biết ba trong bốn thành phần của một tỉ lệ thức, bạn có thể dễ dàng tính thành phần còn lại bằng cách sử dụng tích chéo hoặc công thức rút gọn. Đây là phần then chốt giúp giải bài nhanh hơn trong các bài thi. Công thức cần nhớ như sau:
Từ \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\], ta có thể suy ra:
\[a = \frac{b \cdot c}{d}\], \[b = \frac{a \cdot d}{c}\], \[c = \frac{a \cdot d}{b}\], \[d = \frac{b \cdot c}{a}\]
Các dạng bài toán thường gặp
Tỉ lệ thức được dùng trong nhiều dạng toán khác nhau. Mỗi dạng có một cách tiếp cận riêng, giúp bạn tư duy rõ ràng hơn khi làm bài. Một số các dạng bài thường gặp cùng với ví dụ cụ thể minh họa như sau:
Dạng 1: Kiểm tra xem hai tỉ số có tạo thành tỉ lệ thức không
Ví dụ: Kiểm tra xem \[\frac{8}{12} và \frac{10}{15}\] có lập thành tỉ lệ thức không.
Giải:
\[8 \cdot 15 = 120, 12 \cdot 10 = 120\] → Tích chéo bằng nhau → Lập thành tỉ lệ thức
Dạng 2: Tìm số chưa biết trong tỉ lệ thức
Ví dụ: Tìm x biết \[\frac{5}{x} = \frac{15}{18}\]
Giải: \[5 \cdot 18 = x \cdot 15 \Rightarrow x = \frac{5 \cdot 18}{15} = 6\]
Dạng 3: Tìm x từ biểu thức tỉ lệ
Ví dụ: Tìm x biết \[\frac{x}{5} = \frac{x + 2}{7}\]
Giải:\[ x \cdot 7 = 5(x + 2) \Rightarrow 7x = 5x + 10 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5\]
Dạng 4: Bài toán thực tế – tỉ lệ thu nhỏ, bản đồ
Ví dụ: Một bản đồ có tỉ lệ 1:5000, trên bản đồ đoạn đường dài 6 cm. Hỏi đoạn đó dài bao nhiêu mét ngoài thực tế?
Giải:
\[1 : 5000 = 6 : x \Rightarrow x = 6 \cdot 5000 = 30000 cm = 300\] m
Dạng 5: Chia theo tỉ lệ
Ví dụ: Cho đề bài tổng ba số là 120. Tỉ lệ giữa ba số là 2:3:5. Tìm ba số đó.
Giải: Tổng tỉ lệ = \[2 + 3 + 5 = 10\]
- Số thứ nhất: \[\frac{2}{10} \cdot 120 = 24\]
- Số thứ hai: \[\frac{3}{10} \cdot 120 = 36\]
- Số thứ ba:\[ \frac{5}{10} \cdot 120 = 60\]
Bài tập vận dụng có lời giải
Sau khi đã nắm được lý thuyết và các dạng bài, thực hành với các bài tập là bước không thể thiếu để ghi nhớ và áp dụng đúng công thức hiệu quả.
Bài tập cơ bản
- Chứng minh \[\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\]
Giải: Ta có \[3 \cdot 8 = 24, 4 \cdot 6 = 24\]⇒ Là tỉ lệ thức
- Tìm x, biết: \[\frac{x}{9} = \frac{2}{3}\]
Giải: \[x = \frac{2 \cdot 9}{3} = 6\]
- Tìm x: \[\frac{12}{x} = \frac{4}{10}\]
⇒\[x = \frac{12 \cdot 10}{4} = 30\]
- Tìm x: \[3\frac{3x – 1}{2x + 5} = \frac{5}{3}\]
⇒\[3(3x – 1) = 5(2x + 5) \Rightarrow 9x – 3 = 10x + 25 \Rightarrow x = -28\]
- Cho \[\frac{x}{4} = \frac{2x + 1}{9}\]. Tìm x
⇒ \[9x = 4(2x + 1) = 8x + 4 \Rightarrow x = 4\]
- Một lớp có 12 nam và 16 nữ. Viết tỉ lệ thức biểu thị tỉ lệ nam:nữ
⇒ \[\frac{12}{16} = \frac{3}{4}\]. Vậy tỉ lệ nam : nữ là 3:4
- Một bức hình được thu nhỏ theo tỉ lệ 2:7. Nếu chiều cao thực tế là 70 cm, hỏi chiều cao trong hình là bao nhiêu?
Ta có: \[2 : 7 = x : 70 \Rightarrow x = \frac{2 \cdot 70}{7} = 20\]
- Ba bạn chia nhau 180 viên kẹo theo tỉ lệ 3:5:7. Hỏi mỗi bạn được bao nhiêu viên?
Ta có tổng tỉ lệ: \[3 + 5 + 7 = 15\]
Người 1: \[180 \cdot \frac{3}{15} = 36\]
Người 2: \[180 \cdot \frac{5}{15} = 60\]
Người 3: \[180 \cdot \frac{7}{15} = 84\]
Bài tập nâng cao
- Bạn hãy tìm giá trị của x biết: \[\frac{2x + 3}{x – 1} = \frac{4x – 5}{2x + 1}\]
Ta nhân chéo để khử mẫu: \[(2x + 3)(2x + 1) = (x – 1)(4x – 5)\]
Vế trái: \[(2x + 3)(2x + 1) = 4x^2 + 2x + 6x + 3 = 4x^2 + 8x + 3\]
Vế phải: \[(x – 1)(4x – 5) = 4x^2 – 5x – 4x + 5 = 4x^2 – 9x + 5\]
Ta có: \[4x^2 + 8x + 3 = 4x^2 – 9x + 5\]
Trừ hai vế: \[4x^2 + 8x + 3 – 4x^2 + 9x – 5 = 0 \Rightarrow 17x – 2 = 0
x = \frac{2}{17}\]
- Bạn hãy tìm giá trị của x biết:\[ \frac{3x – 4}{2x + 1} = \frac{5x + 2}{x + 3}\]
Ta nhân chéo để khử mẫu: \[(3x – 4)(x + 3) = (2x + 1)(5x + 2)\]
Vế trái: \[(3x – 4)(x + 3) = 3x(x + 3) – 4(x + 3) = 3x^2 + 9x – 4x – 12 = 3x^2 + 5x – 12\]
Vế phải: \[(2x + 1)(5x + 2) = 2x(5x + 2) + 1(5x + 2) = 10x^2 + 4x + 5x + 2 = 10x^2 + 9x + 2\]
Ta có: \[3x^2 + 5x – 12 = 10x^2 + 9x + 2\]
Chuyển hết sang một vế: \[3x^2 + 5x – 12 – 10x^2 – 9x – 2 = 0 \Rightarrow -7x^2 – 4x – 14 = 0\]
Chia hai vế cho -1: \[7x^2 + 4x + 14 = 0\]
Tính \[\Delta = b^2 – 4ac = 4^2 – 4 \cdot 7 \cdot 14 = 16 – 392 = -376\]
\[\Delta < 0\], phương trình vô nghiệm.
- Biết rằng: \[\frac{x}{x + 2} = \frac{x + 3}{2x + 1}\]. Bạn hãy tìm x.
Nhân chéo: \[x(2x + 1) = (x + 2)(x + 3)\]
Vế trái: \[x(2x + 1) = 2x^2 + x\]
Vế phải: \[(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\]
Ta có: \[2x^2 + x = x^2 + 5x + 6 \Rightarrow 2x^2 + x – x^2 – 5x – 6 = 0 \Rightarrow x^2 – 4x – 6 = 0\]
Tính \[\Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 16 + 24 = 40\]
\[x = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}\]
Vậy \[x = 2 \pm \sqrt{10}\]
Lời kết
Với nội dung trên đây, mong rằng đã giúp bạn đã nắm được định nghĩa, công thức, tính chất và các dạng bài tập thường gặp về tỉ lệ thức. Đặc biệt, các bài toán thực tế như chia theo tỉ lệ, tính bản đồ hay thu nhỏ đều rất hữu ích trong đời sống. Đừng quên luyện tập nhiều dạng bài để thành thạo hơn và tự tin trong kỳ thi bạn nhé!