Tỉ lệ thức
"Tỉ lệ thức" là một chủ đề quan trọng trong lĩnh vực xác suất thống kê, đặc biệt là trong các ứng dụng thực tế như trong kinh tế, tài chính và khoa học dữ liệu. Tỉ lệ thức giúp ta tính toán xác suất của các biến cố phức tạp thông qua sự kết hợp của các biến cố đơn giản hơn. Bài viết này sẽ giới thiệu khái niệm và cách áp dụng tỉ lệ thức để giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất của các biến cố phức tạp.
Tỉ lệ thức
Ví dụ:
Các đẳng thức sau được gọi là tỉ lệ thức
Tỉ lệ thức còn có thể được viết dưới dạng:
a : b = c : d
Ví dụ:
Ta có thể viết tỉ lệ thức \(\mathrm{\frac{12}{8}}\) = \(\mathrm{\frac{6}{4}}\) thành dạng 12 : 8 = 6 : 4
Tính chất của tỉ lệ thức
Ví dụ:
Từ đẳng thức 5.10 = 2.25 (cùng bằng 50) ta có thể lập được các tỉ lệ thức sau:
\(\mathrm{\frac{5}{2}}\) = \(\mathrm{\frac{25}{10}}\) ; \(\mathrm{\frac{5}{25}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{10}}\) ; \(\mathrm{\frac{10}{2}}\) = \(\mathrm{\frac{25}{5}}\) ; \(\mathrm{\frac{10}{25}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{5}}\)
Từ tỉ lệ thức \(\mathrm{\frac{a}{b}}\) = \(\mathrm{\frac{c}{d}}\) (a, b, c, d # 0) có thể suy ra:
a = \(\mathrm{\frac{bc}{d}}\)
b = \(\mathrm{\frac{ad}{c}}\)
c = \(\mathrm{\frac{ad}{b}}\)
d = \(\mathrm{\frac{bc}{a}}\)
Một số tính chất khác:
-
Tỉ lệ thức có thể được rút gọn bằng cách chia cả hai vế cho một số nguyên dương chung.
-
Khi nhân hoặc chia cả hai vế của tỉ lệ thức với một số khác 0, tỉ lệ thức vẫn được giữ nguyên.
-
Khi đảo ngược vị trí của các đại lượng trong tỉ lệ thức, ta sẽ được một tỉ lệ thức mới có giá trị nghịch đảo của tỉ lệ thức ban đầu.
-
Khi cộng hoặc trừ cả hai vế của tỉ lệ thức với một tỉ lệ thức khác có cùng mẫu số, ta sẽ được một tỉ lệ thức mới có tổng hoặc hiệu của các tỉ số tương ứng.
-
Khi nhân các tỉ số trong tỉ lệ thức lại với nhau, ta sẽ được một tỉ số mới tương đương với tỉ lệ thức ban đầu.
-
Khi thêm hoặc bớt một số đại lượng khác vào các tỉ số trong tỉ lệ thức, ta sẽ không thay đổi tính chất tỉ lệ của tỉ lệ thức.
-
Khi áp dụng phép biến đổi đối xứng, ta sẽ được một tỉ lệ thức mới có giá trị đảo chiều của tỉ lệ thức ban đầu.
-
Khi các đại lượng trong tỉ lệ thức được thay đổi bằng các đại lượng tương đương, ta sẽ được một tỉ lệ thức mới có giá trị tương đương với tỉ lệ thức ban đầu.
Bài tập
Bài 1: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau
a) \(\mathrm{\frac{x}{3}}\) = \(\mathrm{\frac{15}{9}}\)
b) \(\mathrm{\frac{7}{x}}\) = \(\mathrm{\frac{14}{6}}\)
Bài 2: Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập tỉ lệ thức
5 : 15; 0,18 : 0,54; \(\mathrm{\frac{1}{4}}\) : \(\mathrm{\frac{3}{8}}\)
Đáp án:
Bài 1: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau
a) \(\mathrm{\frac{x}{3}}\) = \(\mathrm{\frac{15}{9}}\)
Từ tỉ lệ thức \(\mathrm{\frac{x}{3}}\) = \(\mathrm{\frac{15}{9}}\) suy ra: x = \(\mathrm{\frac{3.15}{9}}\) = \(\mathrm{\frac{45}{9}}\) = 5
Vậy x = 5.
b) \(\mathrm{\frac{7}{x}}\) = \(\mathrm{\frac{14}{6}}\)
Từ tỉ lệ thức \(\mathrm{\frac{7}{x}}\) = \(\mathrm{\frac{14}{6}}\) suy ra: x = \(\mathrm{\frac{7.6}{14}}\) = \(\mathrm{\frac{42}{14}}\) = 3
Vậy x = 3.
Bài 2: Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập tỉ lệ thức
5 : 15; 0,18 : 0,54; \(\mathrm{\frac{1}{4}}\) : \(\mathrm{\frac{3}{8}}\)
Ta viết các tỉ số đã cho dưới dạng các số nguyên:
5 : 15 = \(\mathrm{\frac{5}{15}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{3}}\)
0,18 : 0,54 = \(\mathrm{\frac{0,18}{0,54}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{3}}\)
\(\mathrm{\frac{1}{4}}\) : \(\mathrm{\frac{3}{8}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{4}}\) × \(\mathrm{\frac{8}{3}}\) = \(\mathrm{\frac{8}{12}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{3}}\)
Vậy các tỉ số bằng nhau là 5 : 15 bằng với 0,18 : 0,54, do đó ta có tỉ lệ thức 5 : 15 = 0,18 : 0,54