Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Bài viết này sẽ trình bày về tính chất của dãy hai tỉ số bằng nhau và các ví dụ đi kèm để minh họa. Từ đó, bạn đọc có thể hiểu rõ hơn về khái niệm tỉ số, cách sử dụng trong các bài toán và áp dụng tính chất của tỉ số để giải quyết các bài toán liên quan. Điều này sẽ giúp bạn đọc nâng cao kiến thức toán học của mình và áp dụng vào thực tế một cách hiệu quả.

Tính chất của dãy hai tỉ số bằng nhau

Ví dụ: Cho tỉ lệ thức \(\mathrm{\frac{5}{7}}\) = \(\mathrm{\frac{10}{14}}\)

Tinh các tỉ số \(\mathrm{\frac{5+10}{7+14}}\) và \(\mathrm{\frac{5-10}{7-14}}\)

Thực hiện phép tính:

\(\mathrm{\frac{5+10}{7+14}}\) = \(\mathrm{\frac{15}{21}}\) = \(\mathrm{\frac{5}{7}}\)

\(\mathrm{\frac{5-10}{7-14}}\) = \(\mathrm{\frac{-5}{-7}}\) = \(\mathrm{\frac{5}{7}}\)

Ta nhận thấy hai tỉ số nhận được khi thực hiện phép tính bằng với các tỉ lệ thức đã cho:   \(\mathrm{\frac{5}{7}}\) = \(\mathrm{\frac{10}{14}}\)=  \(\mathrm{\frac{15}{21}}\) = \(\mathrm{\frac{-5}{-7}}\)

Từ đó suy ra tổng quát:

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Ứng dụng:

1. Giải các bài toán tỉ lệ: Khi giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ, ta thường sử dụng các dãy hai tỉ số bằng nhau để giải quyết. Ví dụ, trong bài toán tính diện tích của một hình chữ nhật, ta có thể sử dụng dãy tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của hình để tính được diện tích.

2. Xác định giá trị của biến: Trong các phương trình và hệ phương trình có chứa biến, ta có thể sử dụng dãy hai tỉ số bằng nhau để giải quyết. Ví dụ, trong phương trình ax + b = cx + d, ta có thể sử dụng dãy hai tỉ số giữa a và c, và giữa b và d để tìm giá trị của biến x.

3. Tính toán trong hình học: Trong hình học, dãy hai tỉ số bằng nhau còn được sử dụng để tính toán các kích thước của các hình học. Ví dụ, khi tính tỷ lệ giữa các cạnh của một hình hộp chữ nhật, ta có thể sử dụng dãy hai tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng, giữa chiều rộng và chiều cao, và giữa chiều dài và chiều cao để tìm ra các kích thước tương ứng.

4. Ứng dụng trong kinh tế: Dãy hai tỉ số bằng nhau còn được sử dụng trong kinh tế để tính toán các tỉ lệ giá trị của các mặt hàng hoặc thị trường. Ví dụ, trong thị trường chứng khoán, ta có thể sử dụng dãy hai tỉ số giữa giá trị của các cổ phiếu để tính toán tỉ lệ giá trị của chúng.

Ví dụ:

Tìm hai số x và y biết:  \(\mathrm{\frac{x}{10}}\) = \(\mathrm{\frac{y}{8}}\) và x + y = 36

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\mathrm{\frac{x}{10}}\) = \(\mathrm{\frac{y}{8}}\) =  \(\mathrm{\frac{x+y}{10+8}}\) = \(\mathrm{\frac{x+y}{18}}\) = \(\mathrm{\frac{36}{18}}\) = 2

Suy ra: \(\mathrm{\frac{x}{10}}\) = 2 vậy x = 10 . 2 = 20

\(\mathrm{\frac{y}{8}}\) = 2 vậy y = 8 . 2 = 16

Mở rộng tính chất cho dãy tỉ số bằng nhau

Tính chất trên còn được mở rộng như sau:

Từ dãy tỉ số bằng nhau \(\mathrm{\frac{a}{b}}\) = \(\mathrm{\frac{c}{d}}\) = \(\mathrm{\frac{e}{f}}\) suy ra:

 \(\mathrm{\frac{a}{b}}\) = \(\mathrm{\frac{c}{d}}\) = \(\mathrm{\frac{e}{f}}\) =  \(\mathrm{\frac{a+c+e}{b+d+f}}\) = \(\mathrm{\frac{a-c-e}{b-d-f}}\) 

Các tỉ số trên còn được viết theo dạng:

a : c : e = b : d : f

Ví dụ:

An có số tiền tiết kiệm trong hai tháng là 500 nghìn đồng. An chia ra 3 mục theo tỉ lệ 2 : 4 : 5. 2 phần để ăn vặt, 4 phần để mua đồ dùng học tập, 5 phần để tiết kiệm tiếp. Hãy tính số tiền của từng mục.

Gọi số tiền theo từng mục của là x, y, z (nghìn đồng)

Ta có: x + y + z = 500

Theo đề bài ta có tỉ lệ chia phần là 2 : 3 : 5

Do đó ta có:  \(\mathrm{\frac{x}{2}}\) = \(\mathrm{\frac{y}{3}}\) = \(\mathrm{\frac{z}{5}}\) 

Từ tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\mathrm{\frac{x}{2}}\) = \(\mathrm{\frac{y}{3}}\) = \(\mathrm{\frac{z}{5}}\) = \(\mathrm{\frac{x+y+z}{2+3+5}}\) = \(\mathrm{\frac{500}{10}}\) = 50

Suy ra:

x = 2 . 50 = 100 nghìn đồng.

y = 3 . 50 = 150 nghìn đồng.

z = 5 . 50 = 250 nghìn đồng.

Vậy số tiền để ăn vặt, mua đồ dùng học tập và để tiết kiệm tiếp lần lượt là: 100; 150 và 250 nghìn đồng.

Bài tập

Bài 1: Tìm hai số x và y, biết: \(\mathrm{\frac{x}{5}}\) = \(\mathrm{\frac{y}{9}}\) và x + y = 56

Đáp án:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\mathrm{\frac{x}{5}}\) = \(\mathrm{\frac{y}{9}}\) =  \(\mathrm{\frac{x+y}{5+9}}\) = \(\mathrm{\frac{x+y}{14}}\) = \(\mathrm{\frac{56}{14}}\) = 4

Suy ra: 

\(\mathrm{\frac{x}{5}}\) = 4 vậy x = 5 . 4 = 20

\(\mathrm{\frac{y}{9}}\) = 4 vậy y = 9 . 4 = 36

Vậy x = 20 và y = 36.

Bài 2: Tìm hai số x và y, biết: \(\mathrm{\frac{x}{15}}\) = \(\mathrm{\frac{y}{6}}\) và x - y = 45

Đáp án:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\mathrm{\frac{x}{15}}\) = \(\mathrm{\frac{y}{6}}\) =  \(\mathrm{\frac{x-y}{15-6}}\) = \(\mathrm{\frac{x-y}{9}}\) = \(\mathrm{\frac{45}{9}}\) = 5

Suy ra: 

\(\mathrm{\frac{x}{15}}\) = 5 vậy x = 15 . 5 = 75

\(\mathrm{\frac{y}{6}}\) = 5 vậy y = 6 . 5 = 30

Vậy x = 75 và y = 30.