Định lí và chứng minh định lí

Định lí là một khẳng định trong toán học được coi là đúng và được chứng minh bằng phương pháp logic. Chứng minh định lí là quá trình sử dụng các định lý và luật trong toán học để chứng minh tính đúng đắn của một khẳng định được đưa ra. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về định lí và cách chứng minh định lí trong toán học. Chúng ta cũng sẽ tìm hiểu về các phương pháp chứng minh định lí phổ biến và các ví dụ về các định lí nổi tiếng trong toán học.

1. Định lí

Một tính chất được khẳng định đúng bằng suy luận gọi là một định lí

Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng: Nếu …. thì…

Phần giữa từ “ nếu” và từ “thì” thì giả thiết của định lí
Phần sau từ “ thì” là kết luận của định lí.

Giả thiết của định lí là những dều cho biết, kết luận của định lí là những điều phải suy ra

Ví dụ: “ Nếu một đường thẳng cắt 2 đường thẳng song song thì 2 góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau” là một định lí có:

• Giả thiết: Một đường thẳng cắt 2 đường thẳng song song
• Kết luận: thì 2 góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau

2. Chứng minh định lí

Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận

Ví dụ: Chứng minh định lí: “Nếu hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau” như sau:

Ta có: \(\widehat{xOy}\;+\;\widehat{xOy'}\;=\;180^\circ\) (hai góc kề bù)
⇒\(\widehat{xOy}\;=\;180^\circ\;-\;\widehat{xOy'}\;(1)\)
Lại có: \(\widehat{x'Oy'}\;+\;\widehat{xOy'}\;=\;180^\circ\) (hai góc kề bù)
 \(\Rightarrow\widehat{x'Oy'}\;=\;180^\circ\;-\;\widehat{xOy'}\;(2)\)
Từ 1 và 2 suy ra \(\widehat{xOy}\;=\;\widehat{x'Oy'}\) (đpcm)

3. Bài tập

Bài 1. Chọn phát biểu sai.
A. Giả thiết của định lí là điều cho biết
B. Kết luận của định lí là điều suy ra
C.Giả thiết của định lí là điều suy ra
D. Cả A và B đều đúng.

Đáp án: C

Bài 2. Trong định lý “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thứ ba thì chúng song song với nhau”, thì có
A. Giả thiết là “hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba”
B. Giả thiết là “chúng song song với nhau”
C. Giả thiết là “hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thứ ba thì chúng song song với nhau”
D. Giả thiết là “hai đường thẳng phân biệt cùng song song”.

Đáp án: A

Bài 3. Trong định lí, phần nằm giữa từ “Nếu” và từ “thì” là phần?
A. giả thiết
B. trả lời
C. ý nghĩa
D. định nghĩa.

Đáp án: A

Bài 4. Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và chứng minh định lí: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.

Chứng minh:
Theo giả thiết ta có
\(a\perp c\) tại A nên \(\widehat{aAc}\;=\;90^\circ\)
\(b\perp c\) tại B nên \(\widehat{bBc}\;=\;90^\circ\)
Suy ra \(\widehat{aAc}\;=\;\widehat{bBc}\;=\;90^\circ\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.
Do đó a // b (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).
Vậy a // b