Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Chắc các bạn đã biết đến các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. Vậy còn hệ thức về cạnh và góc trong tam giác như thế nào? Để giải đáp được những thắc mắc trên và có thể làm được những dạng bài tập có liên quan đến các dạng bài này thì bạn hãy cùng theo dõi bài viết sau đây nhé!
1. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Cho tam giác vuông tại A có BC = a, AB = b, AC = c. Ta có:
- b = a . sinB = a . cosC;
- c = a . sinC = a . cosB;
- b = c . tanB = c . cotC;
- c = b . tanC = b . cotB.
Trong một tam giác vuông:
|
Cạnh góc vuông = (cạnh huyền) \(\times\) (sin góc đối) = (cạnh huyền) \(\times\) (cosin góc kề) Cạnh góc vuông = (cạnh góc vuông còn lại) \(\times\) (tan góc đối) = (cạnh góc vuông còn lại) \(\times\) (cot góc kề) |
Chú ý: Trong một tam giác vuông nếu cho trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông) thì ta sẽ tìm được các yếu tố còn lại.
2. Bài tập minh hoạ
Bài 1. Cho tam giác vuông ABC với các cạnh góc vuông AB = 5, AC = 8. Hãy giải tam giác vuông ABC.
Lời giải
Ta xác định giải tam giác ABC này là phải tính độ dài của cạnh còn lại BC (cạnh huyền), và tính các góc B và C.
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
BC² = AB² + AC² ⇒ BC² = 5² + 8² = 89 ⇒ BC = √89 = 9,434.
Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có thể tính các góc B và C như sau:
tan C = \(\frac{AB}{AC}=\frac58\)
Bấm máy tính ta tìm được góc C = 32º do đó:
góc B = 90° − 32° = 58°.
Bài 2. Cho tam giác OPQ vuông tại O có góc P = 36°, PQ = 7. Hãy giải tam giác vuông OPQ.
Ta vẽ hình tam giác OPQ như sau:
Ta giải tam giác vuông OPQ tức là tìm số đo góc còn lại là Q, và tính các cạnh OP, OQ.
Ta thấy ngay góc \(\widehat P\) và \(\widehat Q\) là hai góc phụ nhau, nên
\(\widehat Q=90^\circ\;-\;P=90^\circ\;-\;36^\circ\;=\;54^\circ\)
Theo các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:
OP = PQ . sin Q = 7. sin 54° ≈ 5,663
OQ = PQ . sin P = 7 . sin 36° ≈ 4,114
Bài 3. Một tam giác có đường cao ứng với đáy đúng bằng độ dài đáy. Tính các góc của tam giác đó
Lời giải
Vì BC = AH = a
Vì ∆ ABC là tam giác cân nên AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến
⇒ H là trung điểm BC ⇒ HB = HC = \(\frac{BC}2=\frac a2\)
Xét ∆ABH vuông tại H ta có:
\(tan\;\widehat B\;=\;\frac{AH}{BH}=\frac a{\displaystyle\frac a2}=2\;\Rightarrow\widehat B\approx63^\circ26'\)
Vì ∆ ABC là tam giác cân ⇒ \(\widehat C=\widehat B\approx63^\circ26'\)
Ta có: \(\widehat A\;+\;\widehat B\;+\;\widehat C\;=\;180^\circ\) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
⇒ \(\widehat A\;=180^\circ\;-\;2\;.\;\widehat C\\\Leftrightarrow\widehat A\;\approx\;53^\circ8'\)
Bài 4. Cho tam giác ABC có góc B = 60°, góc C = 50° và AC = 3,5 cm. Tính diện tích tam giác ABC.
Lời giải
Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC)
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông AHC, ta có:
AH = AC . sin C = 3,5. sin 50° ≈ 2,68 cm
HC = AC . cos C = 3,5 . cos 50° ≈ 2,25 cm
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông AHB, ta có:
BH = AH . cot B = 2,68 . cot 60° ≈ 1,55 cm
Vì thế ta suy ra BC = BH + CH = 1, 55 + 2,25 = 3,8 cm
Diện tích tam giác ABC là: S = \(\frac12\). AH.BC = \(\frac12\) . 2,68 . 3,8 = 5,2 cm².
Bài 5. Cho tam giác ABC, trong đó BC = 11 cm, \(\widehat{ABC}=38^\circ,\;\widehat{ACB}\;=\;30^\circ\). Gọi điểm N là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC. Hãy tính:
a) Đoạn thẳng AN
b) Cạnh AC
Lời giải
a) Kẻ BK vuông góc với AC ( K \(\in\) AC)
⇒ ∆ BCK vuông tại K
⇒ BK = BC . sin C = 11 . sin 30°= 5,5 cm
Trong tam giác vuông BKA có BK = BA.sin\(\widehat{A_1}\)
⇒ BA = \(\frac{BK}{\sin\;\widehat{A_1}}\)
Mà \({\widehat A}_1=\widehat{ABC}\;+\;\widehat{ACB}=38^\circ\;+\;30^\circ=68^\circ\)
Có \(BA=\frac{5.5}{\sin\;68^\circ}\approx5,93\;(cm)\)
Trong tam giác vuông ANB có:
AN=AB.sin38°≈5,93.sin38°≈3,65 (cm)
b) TRong tam giác vuông ANC có:
AN=AC.sin C
⇒ AC = AN.sin C ≈ \(\frac{3,65}{\sin\;C}\) ≈7,3