Tỉ số lượng giác của góc nhọn

OLIM xin giới thiệu tới các em bài Tỉ số lượng giác góc nhọn, đây là kiến thức hình học cơ bản của lớp 9. Bài này OLIM sẽ giúp các em tính được độ lớn của góc nhọn khi biết độ dài hai cạnh trong tam giác vuông chi tiết và dễ hiểu. Các em cùng tìm hiểu nhé!

1. Định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn

Tỉ số lượng giác của góc nhọn cụ thể là các tỷ số về cạnh của góc nhọn xuất hiện trong các tam giác vuông. 

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α.
• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cos α.
• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α.
• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α.

Hay

sin α = \(\frac{AC}{BC}\)

cos α = \(\frac{AB}{BC}\)

tan α = \(\frac{AC}{AB}\)

cot α = \(\frac{AB}{AC}\)

Bật mí cách nhớ dễ và nhanh hơn:

• sin đi học (đối/huyền)
• cos không hư (kề/huyền)
• tan đoàn kết (đối/kề) hay tg
• cot kết đoàn (kề/đối) hay cotg

2. Tính chất của tỉ số lượng giác

Nếu α là một góc nhọn bất kì thì: 0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1; tanα > 0; cot α > 0  \(\sin^2\;\alpha\;+\;cos^2\;\alpha\;=\;1\;;\;\tan\;\alpha\;.\;cot\;\alpha\;=\;1\) \(\tan\;\alpha\;=\;\frac{\sin\;\alpha}{\cos\;\alpha};\;cot\;\alpha=\frac{\cos\;\alpha}{\sin\;\alpha}\) \(1\;+\;\tan^2\;\alpha\;=\;\frac1{\cos^2\alpha};\;1\;+\;cot^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}\)

3. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng số đo là 90°

Với hai góc α, β mà α + β = 90°,

Ta có: sinα = cosβ; cosα = sinβ; tanα = cotβ; cotα = tanβ.

Nếu hai góc nhọn α và β có sinα = sinβ hoặc cosα = cosβ thì α = β.

Ta có định lí:

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

4. Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt

5. Bài tập ví dụ

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B = 30o, BC = 8cm. Hãy tính cạnh AB (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba), biết rằng cos30o ≈ 0,866

Lời giải

Giả sử tam giác ABC có \(\widehat A=90^\circ,\;\widehat B=30^\circ,\;BC\;=\;8cm\)

Ta có: \(cos\;\widehat B=\frac{AB}{BC}\)

Suy ra : AB = BC . cos \(\widehat B\) = 8 . cos 30°= 8 . 0,866 ≈ 6,928 (cm)

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,9m, BC = 1,2m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.

Lời giải

0,9 m = 9 dm

1,2 m = 12 dm

Xét tam giác ABC vuông tại C

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

AB²=AC² + BC²⇒ AB² = \(\sqrt{9^2\;+\;12^2}\) = \(\sqrt{225}\)

⇒ AB = 15

Các tỉ số lượng giác của góc B là:

 sin B = \(\frac{AC}{AB}=\frac9{15}=\frac35\)

cos B = \(\frac{BC}{AB}=\frac{12}{15}=\frac45\)

tan B = \(\frac{AC}{BC}=\frac9{12}=\frac34\)

cot B = \(\frac{BC}{AC}=\frac{12}9=\frac43\)

Mặt khác ta có

\(\widehat B\;+\;\widehat A\;=\;90^\circ\;(do\;\widehat C\;=\;90^\circ)\)

Do đó \(\widehat B\;và\;\widehat A\;\) là hai góc phụ nhau nên ta có:

sin A = cos B = \(\frac45\)

cos A = sin B = \(\frac35\)

tan A = cot B = \(\frac43\)

cot A = tan B = \(\frac34\)

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, góc B = α

Biết tan α = \(\frac5{12}\) . Hãy tính:

a) Cạnh AC

b) Cạnh BC

Lời giải

Giả sử tam giác ABC có \(\widehat A\) = 90°, \(\widehat B\) = α

a) Ta có tan α = tan\(\widehat B\) = \(\frac{AC}{AB}\)

Suy ra: AC = AB . tan \(\widehat B\) = AB . tan α = 6. \(\frac5{12}\)= 2,5 (cm)

b) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABC ta có:

BC² = AB² + AC² = 6² + (2,5)² = 42,25

Suy ra: BC = \(\sqrt{42,25}=6,5\;cm\)