Tập hợp số hữu tỉ

Trong toán học, tập hợp số hữu tỉ là một tập hợp bao gồm tất cả các số có thể biểu diễn dưới dạng phân số, với tử số và mẫu số đều là số nguyên. Tập hợp số hữu tỉ là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong lĩnh vực số học, đặc biệt là trong đại số. Hiểu và áp dụng tập hợp số hữu tỉ là rất quan trọng trong các bài toán liên quan đến phân số, phương trình, đại số tuyến tính, v.v. Bài viết này sẽ giải thích chi tiết về tập hợp số hữu tỉ, cách biểu diễn số hữu tỉ, tính chất của tập hợp số hữu tỉ và áp dụng chúng vào các bài toán thực tế.

1. Số hữu tỉ là gì?

Số hữu tỉ là các số x có thể biểu diễn dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\) , trong đó a và b là các số nguyên với b khác 0.

Chú ý: 

Số 0 không phải là số hữu tỉ âm và cũng không phải là số hữu tỉ dương.

Ví dụ: 

Các số \(\frac{8}{18}\), \(\frac{2}{5}\), \(\frac{8}{3}\), \(\frac{6}{5}\)là các số hữu tỉ.

Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q.

Ta có:

Q = {\(\frac{a}{b}\); a, b € Z; b ≠ 0}

Trong đó Z là tập hợp số thực.

Ví dụ:

Biểu diễn số hữu tỉ \(\frac{2}{3}\) trên tia số:

 

2. Tính chất của số hữu tỉ

Tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được.

Phép nhân số hữu tỉ có dạng:\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} =\frac{a\ \times \ c}{b\ \times \ d}\)

Ví dụ:

\(\frac{4}{5} \times \frac{3}{2} =\frac{4\ \times \ 3}{5\ \times \ 2} =\frac{12}{10} =\frac{6}{5}\)

Phép chia số hữu tỉ có dạng: \(\frac{a}{b} \ :\ \frac{c}{d} =\frac{a\ \times \ d}{b\ \times \ c}\)

Ví dụ:

\(\frac{5}{7} \ :\ \frac{2}{3} =\frac{5\ \times \ 3}{7\ \times \ 2} =\frac{15}{14}\)

Nếu số hữu tỉ là số hữu tỉ dương thì số đối của nó là số hữu tỉ âm và ngược lại. Tức tổng số hữu tỉ và số đối của nó bằng 0.

Ví dụ:

Số đối của số hữu tỏ dương \(\frac{5}{7}\) là số hữu tỉ âm \(-\frac{15}{14}\)

Tổng hai số bằng: \(\frac{5}{7} +\left( -\frac{5}{7}\right) =0\)

3. Số vô tỉ là gì?

Số vô tỉ là các số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỉ, nghĩa là không thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số \(\frac{a}{b}\) (và a, b là các số nguyên).

Ví dụ: 

• Căn bậc hai của 2: √2 = 1.4142135623… là một số vô tỉ
• Số 3,74599… là một số vô tỉ
• Số vô tỉ: 0,1010010001000010000010000001… (đây là số thập phân vô hạn không tuần hoàn)
• Số pi (π): 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50 288… là một số vô tỉ.

Tập hợp số vô tỉ được kí hiệu là: I

Tính chất số vô tỉ:

Tập hợp số vô tỉ là tập hợp không đếm được.

4. Sự khác nhau giữa số hữu tỉ và số vô tỉ

Số hữu tỉ là số đếm được, còn số vô tỉ là số không đếm được.

Số hữu tỉ chỉ là phân số, còn số vô tỉ có rất nhiều loại số khác nhau.

Số hữu tỉ bao gồm số thập phân vô hạn tuần hoàn, còn số vô tỉ là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.