Tập hợp số nguyên

Một số nguyên là một số không có thành phần phân số hoặc thập phân. Số nguyên bao gồm số dương, số âm và số không. Tập hợp các số nguyên được biểu diễn dưới dạng Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Số nguyên được sử dụng để biểu thị số lượng hoặc phép đo chỉ có thể là số nguyên, chẳng hạn như số mục trong một tập hợp hoặc số độ trong một vòng quay. Số nguyên cũng đóng một vai trò quan trọng trong các hoạt động toán học và được sử dụng rộng rãi trong khoa học máy tính và mật mã. Hãy cùng tìm hiểu về số nguyên trong bài học này nhé.

Tập hợp số nguyên

Số nguyên là gì?

Một số nguyên là một số nguyên, dương, âm hoặc bằng không. Số nguyên không bao gồm các thành phần phân số hoặc thập phân. Số nguyên thường được sử dụng để mô tả số lượng, khoảng thời gian, số tiền, v.v. Ví dụ: số nguyên 5 đại diện cho năm thứ gì đó, cho dù đó là năm phút, năm đô la hay năm đồ vật.

Ví dụ: Các số nguyên: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, v.v.

Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là: Z

Tập hợp số nguyên được thể hiện trên trục số như sau:

Phân loại số nguyên

Phân loại số nguyên

Số nguyên được phân thành 2 loại gồm số nguyên dương và số nguyên âm. Trong đó:

• Số nguyên dương: là những số nguyên lớn hơn 0 và được ký hiệu là Z+.
• Số nguyên âm: là các số nguyên nhỏ hơn 0 và được ký hiệu là Z-.

Tập hợp các số nguyên dương hoặc âm nói trên không bao gồm số 0.

0 là số nguyên âm hay số nguyên dương?

0 không phải là số nguyên âm cũng không phải là số nguyên dương. Nó là một số nguyên theo đúng nghĩa của nó và được coi là không dương cũng không âm. Nó thường được gọi là phần tử trung tính hoặc trung tính, vì nó không có dấu dương hay âm. Điều này có nghĩa là khi bạn cộng hoặc trừ số 0 cho bất kỳ số nguyên nào, kết quả vẫn như cũ.

Sắp xếp số nguyên

Để sắp xếp danh sách các số nguyên theo thứ tự tăng dần, các số được sắp xếp từ nhỏ nhất đến lớn nhất. Để sắp xếp danh sách các số nguyên theo thứ tự giảm dần, các số được sắp xếp từ lớn nhất đến nhỏ nhất.

Ví dụ:

Nếu bạn có một danh sách các số nguyên: 3, 5, 2, 1, 4, bạn có thể sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần là 1, 2, 3, 4, 5. Theo thứ tự giảm dần, danh sách sẽ là 5, 4, 3, 2, 1.

Tính chất của số nguyên

Tính chất của số nguyên:

• Do bản chất tập số nguyên là vô hạn nên không tồn tại số nguyên dương lớn nhất và số nguyên âm nhỏ nhất.
• Ngược lại, chỉ tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất và số nguyên âm lớn nhất (cận 0). Cụ thể, số nguyên âm lớn nhất là -1 và số nguyên dương nhỏ nhất là 1.
• Số nguyên âm luôn nhỏ hơn số 0 và số nguyên dương.
• Mọi số nguyên dương đều lớn hơn số 0
• Tập hợp số nguyên bao gồm vô số tập con hữu hạn. Nếu xét trong một tập con hữu hạn của Z bất kỳ thì luôn có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất.
• Khác với tập số học khác (như số hữu tỉ Q, số thực R), giữa 2 số nguyên liên tiếp sẽ không có bất kỳ số nguyên nào nằm giữa.

Số nguyên có một số thuộc tính, bao gồm:

• Tổng hoặc hiệu của hai số nguyên luôn là một số nguyên.
• Tính chất giao hoán: Thứ tự các số nguyên khi cộng hay nhân không làm thay đổi kết quả. Ví dụ: 2 + 3 = 3 + 2 và 2 × 3 = 3 × 2.
• Thuộc tính kết hợp: Việc nhóm các số nguyên được cộng hoặc nhân không làm thay đổi kết quả. Ví dụ: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) và (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
• Thuộc tính đồng nhất: Đơn vị cộng của các số nguyên là 0. Điều này có nghĩa là tổng của bất kỳ số nguyên nào và 0 bằng số nguyên ban đầu.
• Tính chất nghịch đảo: Nghịch đảo cộng của một số nguyên là số đối của nó. Điều này có nghĩa là tổng của một số nguyên và số đối của nó bằng 0.
• Tính chất phân phối: Tích của một số nguyên và tổng của hai số nguyên khác bằng tổng các tích của số nguyên đó và của từng số trong hai số nguyên khác. Ví dụ: 3 × (2 + 4) = 3 × 2 + 3 × 4.
• Thuộc tính đơn vị nhân: Đơn vị nhân của số nguyên là 1. Điều này có nghĩa là tích của bất kỳ số nguyên nào và 1 bằng số nguyên ban đầu.

Phân biệt tập hợp số nguyên và tập hợp số thực

Tập hợp các số nguyên và tập hợp các số thực đều là tập hợp các số nhưng giữa chúng có những điểm khác nhau.

Khác nhau	Tập hợp số nguyên	Tập hợp số thực
Định nghĩa	Tập hợp số nguyên gồm tất cả các số nguyên dương và âm, kể cả số 0.	Tập hợp số thực gồm tất cả các số viết được dưới dạng thập phân, kể cả số hữu tỉ và số vô tỉ.
Phạm vi	Phạm vi của số nguyên được giới hạn ở số nguyên	Phạm vi của số thực là không giới hạn và bao gồm cả số nguyên và số thập phân.
Tính đếm được	Tập hợp các số nguyên là vô hạn đếm được, nghĩa là có sự tương ứng một đối một giữa các số nguyên và các số tự nhiên.	Tập hợp các số thực là không đếm được, nghĩa là không có sự tương ứng một đối một giữa tập số thực và tập số tự nhiên.
Tính chất	Tập hợp các số nguyên là đóng theo phép cộng, trừ, nhân, nghĩa là tổng, hiệu và tích của hai số nguyên luôn là một số nguyên.	Tập hợp các số thực đóng dưới phép cộng, trừ, nhân, chia nghĩa là tổng, hiệu, tích, thương của hai số thực luôn là một số thực.
Số thập phân	Tập hợp các số nguyên không chứa số thập phân	Tập hợp các số thực thì có số thập  phân

Tóm lại, tập hợp các số nguyên là một tập hợp con của tập hợp các số thực và tập hợp các số thực là một tập hợp lớn hơn bao gồm tất cả các số có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân.

Các dạng bài tập

Phép cộng các số nguyên:

Để cộng các số nguyên, giữ nguyên dấu của số nguyên lớn hơn và cộng các giá trị tuyệt đối của hai số nguyên. Nếu các dấu hiệu giống nhau, kết quả sẽ có cùng dấu hiệu của hai số nguyên. Nếu các dấu khác nhau, kết quả sẽ có dấu của giá trị tuyệt đối lớn hơn.

Quy tắc cộng số nguyên:

• Khi cả hai số nguyên cùng dấu: Cộng các giá trị tuyệt đối của các số nguyên rồi cho dấu cùng dấu của các số nguyên đã cho vào kết quả.
• Cộng hai số nguyên khác dấu: Tìm hiệu của các giá trị tuyệt đối của các số rồi cho dấu của số lớn hơn trong các số này vào kết quả.

Ví dụ:

Cộng các số nguyên đã cho: 3 + (-6)

Giải

Ở đây, các giá trị tuyệt đối của 3 và (-6) lần lượt là 3 và 6.

Sự khác biệt của chúng (số lớn hơn - số nhỏ hơn) là 6 - 3 = 3

Bây giờ, giữa 3 và 6, 6 là số lớn hơn và ký hiệu ban đầu của nó là "-".

Do đó, kết quả nhận được một dấu âm, "-".

Do đó, 3 + (-6) = -3

Phép trừ số nguyên:

Để trừ các số nguyên, giữ nguyên dấu của số nguyên đầu tiên, cộng các giá trị tuyệt đối của hai số nguyên và cho kết quả cùng dấu với số nguyên đầu tiên.

Để thực hiện phép trừ hai số nguyên ta sử dụng quy tắc sau:

• Chuyển phép toán thành một bài toán cộng bằng cách đổi dấu của phép trừ.
• Áp dụng quy tắc cộng các số nguyên tương tự và giải bài toán thu được ở bước trên.

Ví dụ: Trừ các số nguyên đã cho: 8 - 12

Giải:

8 - 12 có thể viết là (+8) - (+)12

Chuyển biểu thức đã cho thành bài toán cộng và đổi dấu của phép trừ ta được: 8 + (-12)

Bây giờ, quy tắc cho phép toán này sẽ giống như quy tắc cộng hai số nguyên.

Ở đây, các giá trị tuyệt đối của 8 và (-12) lần lượt là 8 và 12.

Hiệu của chúng (số lớn hơn - số bé hơn) là 12 - 8 = 4.

Bây giờ, trong số 8 và 12, 12 là số lớn hơn và ký hiệu gốc của nó là “-”.

Do đó, kết quả nhận được dấu âm, "-".

Do đó, 8 - 12 = -4

Phép nhân các số nguyên:

Để nhân hai số nguyên, nếu hai số nguyên cùng dấu thì kết quả sẽ dương. Nếu hai số nguyên khác dấu thì kết quả sẽ âm.

Đối với phép nhân các số nguyên, chúng ta sử dụng các quy tắc sau đây được đưa ra trong bảng. Các quy tắc khác nhau và các trường hợp có thể xảy ra đối với phép nhân các số nguyên được đưa ra trong phần sau.

Phép tính	Kết quả	Ví dụ
(+) × (+)	+	3 × 4 = 12
(+) × (-)	-	3 × (-4) = -12
(-) × (+)	-	(-3) × 4 = -12
(-) × (-)	+	(-3) × (-4) = 12