Ước và bội của một số nguyên

Ước và bội là hai khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực số học. Ước của một số là các số nguyên dương có thể chia hết cho số đó mà không dư, trong khi đó bội của một số là các số nguyên dương mà số đó chia hết cho chúng. Hiểu và áp dụng khái niệm ước và bội là rất quan trọng trong các bài toán liên quan đến phân số, tỉ lệ, đơn vị đo lường, v.v. Bài viết này sẽ giải thích chi tiết về khái niệm ước và bội của một số nguyên, cách tính ước và bội của một số và áp dụng chúng vào các bài toán thực tế.

Bội của một số nguyên

Bội số

Bội số hay bội: là tích giữa một số bất kì với một số nguyên. 

Ví dụ:

Nếu chúng ta xem xét số nguyên 5, thì bội số của nó là 5, 10, 15, 20, 25, v.v.

Một ví dụ điển hình để minh họa khái niệm bội và ước là xét số 12. Các bội của 12 là 12, 24, 36, 48, 60, v.v. Các ước của 12 là 1, 2, 3, 4, 6 và 12. Trong trường hợp này, chúng ta có thể thấy rằng 12 có 6 ước là bội của chính nó.

Nói cách khác, với các số a và b, ta nói b là một bội của a nếu b = a × n, (với mọi số nguyên n, trong đó n được gọi là số nhân). 

Ví dụ: 

8 là bội của 2, vì 2 × 4 = 8

15 là bội của 3, vì 3 × 5 = 15

77 là bội của 7, vì 7 × 11 = 77

Bội số chung

Bội số chung là một khái niệm cơ bản trong toán học, đặc biệt là trong nghiên cứu về số và tính chất của chúng.

Khi một bội số là bội của hai hay nhiều số ta gọi số đó là bôi số chung.

Ví dụ:

Bội chung của 3 và 6 là 12, 24, 36, v.v. Các số này là bội của cả 3 và 6, do đó có thể coi là bội chung.

Bội số chung nhỏ nhất

Trong số học, bội số chung nhỏ nhất (hay còn gọi tắt là bội chung nhỏ nhất, được viết tắt là BCNN, tiếng Anh: least common multiple hoặc lowest common multiple (LCM) hoặc smallest common multiple) của hai số nguyên a và b là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả a và b. Tức là nó có thể chia cho a và b mà không để lại số dư.

Nếu a hoặc b là 0, thì không tồn tại số nguyên dương chia hết cho a và b, khi đó quy ước rằng bội chung nhỏ nhất của a và b là 0.

Bội số chung nhỏ nhất của hai số a và b được ký hiệu là BCNN (a,b).

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất trong các bội chung của các số đã cho.

Ví dụ:

Chúng ta hãy lấy hai số, 4 và 5. Mỗi số sẽ có một bộ bội số riêng.

Các bội của 4 là: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...

Các bội của 5 là: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …

Vậy bội chung nhỏ nhất của 4 và 5 là 20.

Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Liệt kê bội số chung

Ta có thể tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số bằng cách liệt kê các bội chung của chúng. Trong số các bội số chung này, bội số chung nhỏ nhất được xem xét và do đó có thể tính được BCNN của hai số đã cho. Để tính BCNN của hai số a và b theo phương pháp liệt kê, sử dụng các bước dưới đây:

• Bước 1: Liệt kê một vài bội số đầu tiên của a và b.
• Bước 2: Đánh dấu các bội chung từ các bội của cả hai số.
• Bước 3: Chọn bội chung nhỏ nhất.

Ví dụ:

Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 2 và 11.

Giải:

Bội số của 2 là: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,...

Bội số của 11 là: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99,...

Theo như danh sách bội của 2 và 11 đã liệt kê ở trên, ta có thể nhận thấy 22 chính là bội chung nhỏ nhất của 2 và 11.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

• Bước 1: Tiến hành phân tích mỗi số đã cho thành thừa số nguyên tố.
• Bước 2: Viết các số dưới dạng số mũ. Tìm tích của chỉ những thừa số nguyên tố có lũy thừa cao nhất.
• Bước 3: Lập tích những thừa số nguyên tố đã tìm được ở bước 2, mỗi thừa số sẽ lấy với số mũ lớn nhất và tích đó chính là BCNN cần tìm

Ví dụ: 

Tìm bội chung nhỏ nhất của: 4, 72, 90

Bước 1:

Phân tích 3 số sau thành thừa số nguyên tố. Cụ thể:

4 = 2 × 2

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

90 =  2 × 3 × 3 × 5

Bước 2: Viết các thừa số nguyên tố này dưới dạng số mũ

4 = 2 × 2 = 2²

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²

90 =  2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3² × 5¹

Tiến hành chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng, tương ứng sẽ là 2, 3 và 5.

Lúc này, số mũ lớn nhất của 2 là 3 (2³), số mũ của 3 là 2 (3²) và 5 sẽ là 1.

Bước 3:

Lúc này tích của những số đó sẽ là BCNN của 4, 72, 90 sẽ là 2³ × 3² × 5 = 360

Chú ý:

Trường hợp nếu số đã cho từng là 1 cặp số nguyên tố cùng nhau, lúc này BCNN chính là tích của những số đó. Ví dụ: BCNN (5, 7, 8) = 5 × 7 × 8 = 280

Trường hợp những số đã cho, nếu số lớn nhất chính là bội của số còn lại, lúc này BCNN chính là số lớn nhất đó. Ví dụ: BCNN (12, 16, 48) = 48

Ước của một số nguyên

Ước số

Các ước của một số nguyên là các số chia đều số nguyên đó mà không để lại phần dư. Một ước số của một số nguyên có thể được coi là một thừa số của số nguyên đó. Ví dụ, các ước của 20 là 1, 2, 4, 5 và 10 vì mỗi số này chia hết cho 20.

"Ước” chính là số chia của một số. Lấy một số chia cho ước thì sẽ được phép tính chia hết, không dư.

Ví dụ: 3 là ước của 21, vì 21 chia hết cho 3 (bằng 7).

Ước chung

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Ví dụ: 20 và 24, có ước chung là 2 vì 20 và 24 đều chia hết cho 2.

Ước chung lớn nhất 

Đối với tập hợp các số nguyên dương (a, b), ước chung lớn nhất được định nghĩa là ước chung lớn nhất của cả hai số nguyên dương (a, b).

Ước chung lớn nhất của hai số bất kỳ không bao giờ âm hoặc bằng 0 vì số nguyên dương nhỏ nhất chung của hai số bất kỳ luôn là 1.

Khi mà cả hai số đều có một tập hợp số chia chung ta gọi đó là tập hợp ước chung. Số lớn nhất trong tập hợp ước chung đó, được gọi là ước chung lớn nhất (ƯCLN).

Ví dụ:

Uớc chung lớn nhất của 12 và 10 là 2, vì 12 và 10 đều chia hết cho 2 và không có số nào lớn hơn có tính chất này.

Tập hợp các “ước” của một số được tìm ra bằng cách dựa vào các nhân tử tạo thành số đó. Trước hết ta phân tích một số thành nhân tử. Sau đó chọn nhân tử chung tạo thành tích và tìm ra ước chung của hai số.

Cách tìm ước chung lớn nhất

Liệt kê các ước chung của các số rồi chọn ra ƯCLN

Đối với tập hợp hai số nguyên dương (a, b), chúng ta sử dụng các bước dưới đây để tìm ước chung lớn nhất:

• Bước 1: Viết các ước của số nguyên dương “a”.
• Bước 2: Viết các ước của số nguyên dương “b”.
• Bước 3: Liệt kê các ước chung của “a” và “b”.
• Bước 4: Tìm ước chung lớn nhất trong tập hợp các ước chung của cả "a" và "b".

Ví dụ:

Tìm ước chung lớn nhất của 11 và 121 .

Hướng dẫn:

Chúng ta sẽ sử dụng các bước dưới đây để xác định ước chung lớn nhất của 11 và 21

Các ước của 11 là: 1 và 11.

Các ước của 121 là: 1, 11, 121.

Ước chung của 11 và 121 là 1 và 11

Ước chung lớn nhất của 11 và 121 là 11.

Do đó, ƯCLN (11, 121) = 11.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

• Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
• Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
• Bước 3: Lập tích các tích thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.

Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ví dụ:

a) Tìm ƯCLN (25, 40)

25 = 5 × 5

40 = 2 × 2 × 2 × 5

Ta có: thừa số nguyên tố chung là của 25 và 40 là 5.

Vậy ƯCLN (25, 40) = 5

b) Tìm ƯCLN (24, 96)

24 = 2 × 2 × 2 × 3

96 = 2 × 2 × 2 × 3 × 4

Ta có: Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3 (2 × 2 × 2 × 3) .

Vậy ƯCLN (24, 96) = 2 × 2 × 2 × 3 = 24

Tìm ƯCLN bằng bội chung nhỏ nhất (BCNN) (điều kiện a, b khác 0)

Các bước để tính ƯCLN của (a, b) bằng phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố là:

• Bước 1: Tìm tích của a và b
• Bước 2: Tìm bội chung nhỏ nhất của a và b
• Bước 3: Chia các giá trị thu được ở Bước 1 và Bước 2.
• Bước 4: Giá trị thu được sau phép chia là ước chung lớn nhất của (a, b).

Ví dụ:

Tìm ước chung lớn nhất của 4 và 15

Giải:

Ước chung lớn nhất của 4 và 15 có thể tính như sau:

Tích của 4 và 15  là 4 × 15 

Bội chung của 4 là: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60,...

Bội chung của 15 là: 15, 30, 45, 60,...

Bội chung nhỏ nhất của 4 và 15 là 60

Vậy ƯCLN (4, 15) = (4 × 15) : 60 = 1.

Ước chung lớn nhất của (4, 15) là 1.