Nhánh vô cực của đường cong \[\left( C \right):y = f\left( x \right)\]

Gọi \[M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\]

Ta nói: \[\left( C \right)\] có nhánh vô cực \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x \to + \infty {\text{ }}hay{\text{ }}x \to – \infty \hfill \\
y \to + \infty {\text{ }}hay{\text{ }}y \to – \infty \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Ví dụ 1. Đồ thị \[\left( C \right)\] của hàm số \[y = {x^2}\] có nhánh vô cực

Ví dụ 2. Đồ thị \[\left( C \right)\] của hàm số \[y = \sqrt {4 – {x^2}} \] không có nhánh vô cực

vì \[M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 2 \leqslant x \leqslant 2 \hfill \\
0 \leqslant y \leqslant 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Tiệm cận của đường cong

Cho đường cong \[\left( C \right):y = f\left( x \right)\] và \[M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\], \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[M\] lên \[\left( \Delta \right)\]. Đường thẳng \[\left( \Delta \right)\] được gọi là tiệm cận của \[\left( C \right)\] khi và chỉ khi khoảng cách \[MH\] từ \[M\] đến \[\left( \Delta \right)\] tiến về 0 khi \[M\] vẽ nên nhánh vô cực của \[\left( C \right)\].

Như vậy: \[\left( \Delta \right)\] tiệm cận của \[\left( C \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } MH = 0\]

Định nghĩa đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Đường thẳng \[x = {x_0}\] được gọi là đường tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] nếu thoả mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;{\text{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = – \infty \]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = + \infty ;{\text{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = – \infty \]

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có xác định trên một khoảng vô hạn là khoảng có một trong các dạng \[\left( {a; + \infty } \right);\left( { – \infty ;a} \right);\left( { – \infty ; + \infty } \right)\]. Đường thẳng \[y = {y_0}\] được gọi là đường tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị nếu thoả mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = {y_0};{\text{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\]

Lưu ý:

☞ Hàm \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\] với \[ac \ne 0\] có tiệm cận đứng \[x = – \frac{d}{c}\]; tiệm cận ngang \[y = \frac{a}{c}\]

☞ Hàm \[y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\] với \[{f\left( x \right)}\], \[{g\left( x \right)}\] là những hàm đa thức

+) Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì có tiệm cận ngang \[y = 0\].

+) Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì có tiệm cận ngang \[y = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\] với \[{a_n},{b_n}\] là hệ số của luỹ thừa cao nhất trên tử và dưới mẫu.

+) Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì không có tiệm cận ngang.

+) \[x = {x_0}\] là tiệm cận đứng \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
g\left( {{x_0}} \right) = 0;f\left( {{x_0}} \right) \ne 0 \hfill \\
\left\{ \begin{gathered}
g\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0}} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \pm \infty \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

☞ Ứng dụng máy tính CASIO để tìm tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang.

Để tìm tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang của một hàm số thông qua máy tính CASIO, ta sử dụng phím CALC trên máy.

Một số lưu ý về kết quả và cách bấm:

Bài tập tự luận

Dạng 1. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số cho bởi công thức

Câu 1. Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = \frac{{2x – 3}}{{x + 2}}\]. Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\].

Hướng dẫn giải

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2\] nên đồ thị hàm số có 1 TCN là \[y = 2\].

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} y = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} y = + \infty \] nên đồ thị hàm số có 1 TCĐ là \[x = – 2\]

Do đó đồ thị hàm số có tổng số 2 tiệm cận kể cả đứng và ngang.

Câu 2. Cho hàm số \[y = \frac{{5x + 1 – \sqrt {x + 1} }}{{{x^2} + 2x}}\]. Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \left[ { – 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\]

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x + 1 – \sqrt {x + 1} }}{{{x^2} + 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
\frac{5}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} – \sqrt {\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}}} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
1 + \frac{2}{x} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} }\]

\[ \Rightarrow y = 0\] là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5x + 1 – \sqrt {x + 1} }}{{{x^2} + 2x}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {5x + 1} \right)}^2} – x – 1}}{{\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{25{x^2} + 9x}}{{\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{25x + 9}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\]\[ = \frac{{ – 9}}{4}\]

\[ \Rightarrow x = 0\] không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Do đó đồ thị hàm số có tổng số 1 đường tiệm cận.

Câu 3. Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}\]. Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\]

TH1: \[x < – 1 \Rightarrow x + 1 < 0\]. Khi đó:

\[f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }} = \frac{{ – \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} }} = – \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x – 1}}} \]

Suy ra hàm số có TCN là \[y = – 1\], không có TCĐ.

TH2: \[x > 1 \Rightarrow x + 1 > 0\]. Khi đó:

\[f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }} = \frac{{\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} }} = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x – 1}}} \]

Suy ra hàm số có TCN là \[y = 1\], TCĐ là \[x = 1\]

Vậy hàm số có 2 TCN và 1 TCĐ

Câu 4. Cho hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{\sqrt {{x^4} – 3{x^2} + 2} }}\]. Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \[x \in \left( { – \infty ; – \sqrt 2 } \right) \cup \left( { – 1;1} \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\]

Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{\sqrt {{x^4} – 3{x^2} + 2} }}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
\sqrt {1 – \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^4}}}} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} } = 1\]

\[ \Rightarrow y = 1\] là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = + \infty \]

\[ \Rightarrow x = 1\] là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} y\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x – \sqrt 2 } \right)} }}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)} \left( {x + 2} \right)}}{{\sqrt {\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x – \sqrt 2 } \right)} }}\]\[ = 0\]

\[ \Rightarrow x = – 1\] không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ + }} y = + \infty \]

\[ \Rightarrow x = \sqrt 2 \] là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \sqrt 2 } \right)}^ – }} y = + \infty \]

\[ \Rightarrow x = – \sqrt 2 \] là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận (1 TCN và 3 TCĐ).

Dạng 2. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số biết BBT của hàm số, đồ thị của hàm số đó hoặc hàm số liên quan

Câu 1. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên

Tìm tổng số đường TCN và TCĐ của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\].

Hướng dẫn giải

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 3\] nên đồ thị hàm số có 1 TCN là \[y = 3\].

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_4^ + } y = + \infty \] nên đồ thị hàm số có 1 TCĐ \[x = {x_4}\].

Do đó đồ thị hàm số có tổng số 2 tiệm cận.

Câu 2. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\], liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số trên có bao nhiêu đường TCĐ và TCN?

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\]

Ta có:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = – \infty \] do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = – \infty \Rightarrow x = 0\] là đường tiệm cận đứng duy nhất của đồ thị hàm số.

Câu 3. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\], liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Tìm các giá trị nguyên của \[m \in \left[ {0;5} \right)\] để đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] có 3 đường TCĐ và TCN?

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]

Ta có:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = 2 \Rightarrow y = 2\] là đường tiệm cận ngang.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = – \infty \Rightarrow x = 1\] là tiệm cận đứng.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = m \Rightarrow y = m\] là đường tiệm cận ngang.

Do đó: Để đồ thị hàm số có 3 đường TCN thì \[m \ne 2\], mà \[m \in \left[ {0;5} \right)\] nên \[m \in \left\{ {0;1;3;4} \right\}\].

Câu 4. Cho hàm số \[{f\left( x \right)}\] có đồ thị như hình vẽ bên.

Tìm phương trình các đường TCĐ và TCN của đồ thị hàm số trên.

Hướng dẫn giải

Nhìn vào đồ thị, ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = – \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty \]. Do đó, đồ thị có một TCĐ là đường thẳng \[x = 2\].

Theo đồ thị, ta cũng có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = 1\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1\]. Do đó, đồ thị có một TCN là đường thẳng \[y = 1\].

Vậy đồ thị có TCĐ \[x = 2\] và TCN \[y = 1\].

Câu 5. Cho đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] như hình bên. Đồ thị có bao nhiêu đường TCĐ và TCN?

Hướng dẫn giải

Nhìn vào đồ thị, ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f\left( x \right) = + \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f\left( x \right) = – \infty \]. Do đó, đồ thị có một TCĐ là đường thẳng \[x = – 1\].

Theo đồ thị, ta cũng có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = 2\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\]. Do đó, đồ thị có một TCN là đường thẳng \[y = 2\].

Vậy đồ thị có TCĐ \[x = – 1\] và TCN \[y = 2\].

Dạng 3. Tiệm cận của đồ thị hàm số hàm hợp

Các dạng trong chủ đề: Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] biết bảng biến thiên hoặc đồ thị. Tìm các đường TCĐ và TCN của đồ thị \[y = g\left( x \right)\] thuộc một trong các dạng sau:

+) \[{y = f\left( {u\left( x \right)} \right)}\]

+) \[y = g\left( {f\left( x \right)} \right)\]

+) \[y = g\left( {f\left( {u\left( x \right)} \right)} \right)\]

+) \[y = g\left( {x,f\left( x \right)} \right)\]

+) \[y = g\left( {x,f\left( {u\left( x \right)} \right)} \right)\]

Phương pháp giải

Gọi \[\left( G \right)\] là đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\].

* Tìm tiệm cận ngang

Xét hàm số dạng \[g\left( x \right) = \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}\]. Một dấu hiệu thường dùng để nhận biết \[\left( G \right)\] có tiệm cận ngang:

+) Hàm số \[y = g\left( x \right)\] xác định trên \[\left( {a; + \infty } \right)\] hoặc trên \[\left( { – \infty ;a} \right)\]

+) Bậc của \[u\left( x \right)\] \[ \leqslant \] Bậc của \[{v\left( x \right)}\]

+) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = {y_0}\] hoặc \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g\left( x \right) = {y_0}\] \[ \Rightarrow \] Đường thẳng \[y = {y_0}\] là tiệm cận ngang của \[\left( G \right)\].

* Tìm tiệm cận đứng

Xét hàm số dạng \[g\left( x \right) = \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}\]. Một dấu hiệu thường dùng để nhận biết \[x = {x_0}\] là tiệm cận đứng của \[\left( G \right)\]:

+) \[v\left( {{x_0}} \right) = 0\] và \[u\left( {{x_0}} \right) \ne 0\], \[{g\left( x \right)}\] xác định trên \[\left( {a;{x_0}} \right)\] hoặc \[\left( {{x_0};b} \right)\].

+) Ít nhất một trong hai giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } g\left( x \right)\] là giới hạn vô cực.

\[ \Rightarrow \] Đường thẳng \[x = {x_0}\] là tiệm cận đứng của \[\left( G \right)\].

Trong chủ đề này, các dấu hiệu nhận biết ở trên dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số \[y = f\left( x \right)\].

Câu 1. Cho hàm đồ \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\] và có bảng biến thiên như sau:

Tìm số đường TCĐ và TCN của đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right) = \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}}\].

Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Phương trình \[2f\left( x \right) – 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = {x_1} \in \left( {1;2} \right) \hfill \\
x = {x_2} \in \left( {2; + \infty } \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ + } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ + } \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}} = + \infty \]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ – } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ – } \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}} = – \infty \]

\[ \Rightarrow \] Đường thẳng \[x = {x_1}\] là một TCĐ của đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_2^ + } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_2^ + } \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}} = – \infty \]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_2^ – } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_2^ – } \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}} = + \infty \]

\[ \Rightarrow \] Đường thẳng \[x = {x_2}\] là một TCĐ của đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}} = 0\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}} = 0\]

\[ \Rightarrow \] Đường thẳng \[y = 0\] là một TCN của đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}}\]

Vậy đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}}\] có 2 đường TCĐ là \[x = {x_1}\]; \[x = {x_2}\] và 1 TCN là \[y = 0\]

Câu 2. Cho hàm số \[f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\] \[\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\] có đồ thị như hình vẽ:

Đồ thị hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} – 2f\left( x \right)}}\] có bao nhiêu đường TCĐ?

Hướng dẫn giải

Điều kiện \[\left\{ \begin{gathered}
\left[ \begin{gathered}
x \leqslant – 1 \hfill \\
x \geqslant 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
f\left( x \right) \ne 0 \hfill \\
f\left( x \right) \ne 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Ta có: \[g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} – 2f\left( x \right)}}\]\[ = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\sqrt {x\left( {x + 1} \right)} }}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} – 2f\left( x \right)}}\]

Xét phương trình \[{\left( {f\left( x \right)} \right)^2} – 2f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
f\left( x \right) = 0 \hfill \\
f\left( x \right) = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Với \[f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 3 \hfill \\
x = {x_1} \in \left( { – 1;0} \right){\text{ }}\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\] trong đó \[x = – 3\] là nghiệm kép

Nên mẫu sẽ có nhân từ \[{\left( {x + 3} \right)^2}\] do đó \[x = – 3\] là 1 tiệm cận đứng.

Với \[f\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1 \hfill \\
x = {x_2} \in \left( { – 3; – 1} \right) \hfill \\
x = {x_3} \in \left( { – \infty ; – 3} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\], ba nghiệm này là nghiệm đơn

Nên \[f\left( x \right) – 2 = k\left( {x + 1} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\left( {x – {x_3}} \right)\], ta thấy trong \[{g\left( x \right)}\] thì \[\left( {x + 1} \right)\] sẽ bị rút gọn nên có thêm \[x = {x_2} \in \left( { – 3; – 1} \right)\] và \[x = {x_3} \in ( – \infty ; – 3)\] là tiệm cận đứng.

Vậy tóm lại đồ thị có 3 tiệm cận đứng là \[x = – 3\]; \[x = {x_2}\]; \[x = {x_3}\]

Câu 3. Cho đồ thị hàm đa thức bậc bốn \[y = f\left( x \right)\] như hình vẽ bên dưới.

Hỏi đồ thị của hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^6} + 1} \right)\left( {{x^2} – 5x} \right)\sqrt {{x^2} – 2x} }}{{\left[ {{f^2}\left( x \right) – 2f\left( x \right)} \right]\left( {2x – 10} \right)}}\] có bao nhiêu đường TCĐ và TCN.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \[\left[ \begin{gathered}
x \leqslant 0 \hfill \\
x \geqslant 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Giả sử \[f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\]

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g\left( x \right) = \frac{{ – 1}}{{2{a^2}}};\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \frac{1}{{2{a^2}}}\] nên đồ thị hàm số \[{g\left( x \right)}\] có 2 TCN \[y = \pm \frac{1}{{2{a^2}}}\]

Dễ thấy \[\left[ {{f^2}\left( x \right) – 2f\left( x \right)} \right]\left( {2x – 10} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow f\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) – 2} \right] \cdot 2 \cdot \left( {x – 5} \right) = 0\] có các nghiệm

\[\;x = 0;x = 1;x = 2;x = 5;x = {x_1} \in \left( { – 1;0} \right);x = {x_2} \in \left( {2;3} \right)\]

So sánh với điều kiện của căn và bội của nghiệm ta thấy đồ thị \[{g\left( x \right)}\] có các đường tiệm cận đứng là: \[x = 0;x = 2;x = {x_1};x = {x_2}\]

Vậy đồ thị hàm số \[{g\left( x \right)}\] có 6 đường tiệm cận kể cả ngang và đứng.

Câu 4. Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\] có đồ thị như hình dưới đây:

Tìm số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

\[y = g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} + 2x – 3} \right)\sqrt x }}{{\left( {{x^2} – x} \right)\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + f\left( x \right)} \right]}}\]

Hướng dẫn giải

Trước hết, ta cần tìm \[x \geqslant 0\] để \[\left( {{x^2} – x} \right)\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + f\left( x \right)} \right] = 0\]

Ta có:

\[\left( {{x^2} – x} \right)\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + f\left( x \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
f\left( x \right) = 0 \hfill \\
f\left( x \right) = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Từ đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] ta thấy:

\[f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \alpha \in \left( { – 2; – 1} \right) \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\] và \[f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right){\left( {x – 2} \right)^2}\]

\[f\left( x \right) = – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1 \hfill \\
x = \beta \in \left( {0;2} \right) \hfill \\
x = \gamma \in \left( {2; + \infty } \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Rightarrow f\left( x \right) + 1 = a\left( {x + 1} \right)\left( {x – \beta } \right)\left( {x – \gamma } \right)\]

Vậy hàm số \[y = g\left( x \right)\] có tập xác định là \[D = \left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ {\beta ;1;2;\gamma } \right\}\]

Khi đó ta có:

\[y = g\left( x \right) = \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 3} \right)\sqrt x }}{{x\left( {x – 1} \right)f\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}}\]

\[ = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x a\left( {x – \alpha } \right){{\left( {x – 2} \right)}^2}a\left( {x + 1} \right)\left( {x – \beta } \right)\left( {x – \gamma } \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 3}}{{{a^2}\sqrt x \left( {x + 1} \right){{\left( {x – 2} \right)}^2}\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\left( {x – \gamma } \right)}}\]

+) Tìm TCN: Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = 0\] (do bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu) \[ \Rightarrow y = 0\] là TCN của đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\].

+) Tìm TCĐ:

\[g\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{a^2}\sqrt x \left( {x + 1} \right){{\left( {x – 2} \right)}^2}\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\left( {x – \gamma } \right)}}\]

Mẫu thức của \[{g\left( x \right)}\] có 6 nghiệm phân biệt là \[\alpha ; – 1;0;\beta ;2;\gamma \]

* Tại \[x = \alpha \in \left( { – 2; – 1} \right)\] và \[x = – 1\] các giới hạn một bên của \[{g\left( x \right)}\] không tồn tại nên \[x = \alpha ;x = – 1\] không phải TCĐ của đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\].

* Tại \[x = 0\] ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x + 3}}{{{a^2}\sqrt x \left( {x + 1} \right){{\left( {x – 2} \right)}^2}\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\left( {x – \gamma } \right)}} = + \infty \] nên \[x = 0\] là một TCĐ của đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\]

* Tại \[x = \beta ;x = 2\] và \[x = \gamma \] các giới hạn một bên của \[{g\left( x \right)}\] đều là giới hạn vô cực (vì mẫu thức bằng \[0\] còn tử thức khác \[0\] tại các điểm đó) nên \[x = \beta ;x = 2\] và \[x = \gamma \] là các TCĐ của đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\].

Vậy đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\] có 1 đường TCN là \[y = 0\] và 4 đường TCĐ là \[x = 0;x = \beta ;x = 2\] và \[x = \gamma \].

Câu 5. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định, liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có bảng biến thiên như sau:

Tìm số tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[g\left( x \right) = \frac{3}{{f\left( {{x^3} + x + 1} \right) – 1}}\].

Hướng dẫn giải

Từ bảng biến thiên ta thấy:

\[f\left( {{x^3} + x + 1} \right) – 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( {{x^3} + x + 1} \right) = 1\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
{x^3} + x + 1 = 1 \hfill \\
{x^3} + x + 1 = a,{\text{ }}a < – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
{x^3} + x + 1 = a,{\text{ }}a < – 1{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Lập bảng biến thiên của hàm số \[h\left( x \right) = {x^3} + x + 1\] ta thấy với \[a < – 1\] thì phương trình \[{x^3} + x + 1 = a\] có nghiệm duy nhất \[{x_0} < – 1\]

Suy ra hàm số \[y = g\left( x \right)\] có tập xác định là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {0;{x_0}} \right\},{\text{ }}{x_0} < – 1\]

+) Tìm tiệm cận ngang

Đặt \[t = {x^3} + x + 1\]. Khi \[x \to + \infty \] và khi \[x \to – \infty \] thì \[t \to – \infty \]

Do đó:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( {{x^3} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( t \right) = – \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{f\left( {{x^3} + x + 1} \right) – 1}} = 0\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( {{x^3} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( t \right) = + \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{3}{{f\left( {{x^3} + x + 1} \right) – 1}} = 0\]

Suy ra đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\] có 1 tiệm cận ngang đó là đường thẳng \[y = 0\].

+) Tìm tiệm cận đứng

\[g\left( x \right) = \frac{3}{{f\left( {{x^3} + x + 1} \right) – 1}}\]

Tại các điểm \[x = 0\];\[x = {x_0}\] mẫu của \[{g\left( x \right)}\] nhận giá trị bằng \[0\] còn tử luôn nhận giá trị bằng \[3\].

Và do hàm số xác định trên mỗi khoảng \[\left( { – \infty ;{x_0}} \right),\left( {{x_0};0} \right),\left( {0; + \infty } \right){\text{ }}\] nên giới hạn một bên của hàm số \[y = g\left( x \right)\] tại các điểm \[x = 0\];\[x = {x_0}\] là các giới hạn vô cực.

Do đó, đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\] có hai tiệm cận đứng, đó là các đường thẳng \[x = 0\];\[x = {x_0}\]

Vậy đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\] có 3 đường tiệm cận (1 TCN \[y = 0\] và 2 TCĐ \[x = 0\];\[x = {x_0}\])

Dạng 4. Một số bài toán về tiệm cận chứa tham số

Câu 1. Tìm các giá trị thực của tham số \[m\] để đồ thị hàm số \[y = \frac{{mx + 7}}{{mx – 1}}\] có tiệm cận đứng đi qua điểm \[A\left( {1; – 2} \right)\].

Hướng dẫn giải

Để đường tiệm cận đứng đi qua \[A\left( {1; – 2} \right)\] thì đường tiệm cận đứng phải có phương trình \[x = 1\].

Khi đó \[x = 1\] là nghiệm của \[mx – 1 = 0\]. Suy ra \[m = 1\].

Thử lại: với \[m = 1\] thì đồ thị hàm số \[y = \frac{{x + 7}}{{x – 1}}\] có đường TCĐ \[x = 1\] đi qua \[A\left( {1; – 2} \right)\].

Vậy \[m = 1\] là giá trị cần tìm.

Câu 2. Tìm các tham số m để đồ thị hàm số \[y = \frac{{x – 1}}{{{x^2} + mx + 4}}\] có đúng hai đường tiệm cận?

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
\frac{1}{x} – \frac{1}{{{x^2}}} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
1 + \frac{m}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} } = 0\]

Nên đồ thị hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang là \[y = 0\].

Do đó để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận thì đồ thị hàm số cần có đúng một đường tiệm cận đứng. Hay phương trình \[f\left( x \right) = {x^2} + mx + 4 = 0\] có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có \[1\] nghiệm bằng \[1\].

Ta có: \[\Delta = {m^2} – 4 \cdot 1 \cdot 4 = {m^2} – 16\]

Khi đó: \[\left[ \begin{gathered}
{m^2} – 16 = 0 \hfill \\
\left\{ \begin{gathered}
{m^2} – 16 > 0 \hfill \\
f\left( 1 \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = 4 \hfill \\
m = – 4 \hfill \\
\left\{ \begin{gathered}
{m^2} – 16 > 0 \hfill \\
m = – 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = 4 \hfill \\
m = – 4 \hfill \\
m = – 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vậy \[m \in \left\{ { – 4;4; – 5} \right\}\]

Câu 3. Cho hàm số \[y = \frac{{2mx + m}}{{x – 1}}\]. Với giá trị nào của \[m\] thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng với hai trục toạ độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích là \[8\]?

Hướng dẫn giải

Để đồ thị hàm số tồn tại tiệm cận đứng thì \[ad – bc \ne 0 \Leftrightarrow – 3m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\]

Khi đó tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là các đường thẳng \[x = 1\] và \[y = 2m\].

Khi đó diện tích hình chữ nhật tạo thành là: \[\left| {1.2m} \right| = 8 \Leftrightarrow \left| m \right| = 4 \Leftrightarrow m = \pm 4\]

Câu 4. Biết đồ thị \[\left( C \right)\] của hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\] đi qua điểm \[A\left( { – 1;7} \right)\] và giao điểm hai tiệm cận của \[\left( C \right)\] là điểm \[I\left( { – 2;3} \right)\]. Biết \[c\] là số nguyên dương và \[a,c\] là các số nguyên tố cùng nhau. Tìm các số \[a,b,c,d\].

Hướng dẫn giải

Đồ thị \[\left( C \right)\] có tiệm cận đứng là \[x = – \frac{d}{c}\] và tiệm cận ngang là \[y = \frac{a}{c}\] với điều kiện \[ad – bc \ne 0\]

Khi đó ta có:

\[\left\{ \begin{gathered}
– \frac{d}{c} = – 2\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\frac{a}{c} = 3\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
d = 2c \hfill \\
a = 3c \hfill \\
\end{gathered} \right.\xrightarrow[{c \in {\mathbb{N}^*}}]{{\left( {a,c} \right) = 1}}c = 1\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
d = 2 \hfill \\
a = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Rightarrow \left( C \right):y = \frac{{3x + b}}{{x + 2}}\]

Do \[A\left( { – 1;7} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow 7 = \frac{{ – 3 + b}}{{ – 1 + 2}} \Leftrightarrow b = 10\]

Câu 5. Cho hàm số \[y = \frac{{2x + m}}{{x – m}}\]. Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận cùng với hai trục toạ độ tạo thành một hình vuông.

Hướng dẫn giải

Ta có đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \[y = 2\].

Với \[2 \cdot m – 1 \cdot m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\] thì đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \[x = m\].

Để 2 đường tiệm cận cùng với 2 trục toạ độ tạo thành một hình vuông thì \[\left| m \right| = 2 \Leftrightarrow m = \pm 2\]

Câu 6. Tính tổng bình phương tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số \[y = \sqrt {2{x^2} – 3x + 5} + mx – 6\] có tiệm cận ngang.

Hướng dẫn giải

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sqrt {2{x^2} – 3x + 5} – \sqrt 2 x + \left( {m + \sqrt 2 } \right)x – 6} \right]\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{ – 3x + 5}}{{\sqrt {2{x^2} – 3x + 5} + \sqrt 2 x}} – 6 + \left( {m + \sqrt 2 } \right)x} \right]\]

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi \[x \to + \infty \Leftrightarrow m + \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow m = – \sqrt 2 \]

(do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ – 3x + 5}}{{\sqrt {2{x^2} – 3x + 5} + \sqrt 2 x}} – 6} \right) = \frac{{ – 3}}{{2\sqrt 2 }} – 6\] hữu hạn)

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {\sqrt {2{x^2} – 3x + 5} + \sqrt 2 x + \left( {m – \sqrt 2 } \right)x – 6} \right]\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {\frac{{ – 3x + 5}}{{\sqrt {2{x^2} – 3x + 5} – \sqrt 2 x}} – 6 + \left( {m – \sqrt 2 } \right)x} \right]\]

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi \[x \to – \infty \Leftrightarrow m – \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow m = \sqrt 2 \]

(do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ – 3x + 5}}{{\sqrt {2{x^2} – 3x + 5} – \sqrt 2 x}} – 6} \right) = \frac{3}{{2\sqrt 2 }} – 6\] hữu hạn)

Vậy tổng bình phương tất cả các giá trị của m thoả mãn bằng \[{\left( { – \sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 4\].

Bài viết Đường tiệm cận đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Tính đạo hàm \[y’ = f’\left( x \right)\]

Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình \[f’\left( x \right) = 0\]

Bước 4. Tính giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y\] và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có)

Bước 5. Lập bảng biến thiên

Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có)

Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục \[Ox\], \[Oy\], các điểm đối xứng,…)

Bước 8. Vẽ đồ thị

Các dạng đồ thị của các hàm số thường gặp

Hàm số bậc ba \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\]

Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \[y = {x^3} – 3{x^2} + 2\].

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên:

\[y’ = 3{x^2} – 6x\]. Xét \[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

+) Các giới hạn tại vô cực

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}\left( {1 – \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = + \infty \]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3}\left( {1 – \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = – \infty \]

+) Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;0} \right)\] và \[\left( {2; + \infty } \right)\]

Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\]

+) Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \[x = 0;{y_{C\rlap{–} D}} = y\left( 0 \right) = 2\]. Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 2;{y_{CT}} = y\left( 2 \right) = – 2\]

+) Đồ thị:

Ta có: \[{x^3} – 3{x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
{x^2} – 2x – 2 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow \] Đồ thị hàm số qua điểm \[A\left( {1;0} \right)\]

Cho \[x = 0 \Rightarrow y = 2\]: Đồ thị hàm số cắt \[Oy\] tại B\[\left( {0;2} \right)\]

Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm \[I\left( {1;0} \right)\] làm tâm đối xứng. Hoành độ điểm \[I\] là nghiệm của phương trình \[y” = 0\] (điểm uốn).

Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \[y = {x^3} + 1\].

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên:

\[y’ = 3{x^2} \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\]. Xét \[y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\]

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; + \infty } \right)\]

+) Cực trị: Hàm số không có cực trị

+) Các giới hạn tại vô cực

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3} = + \infty \]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3} = – \infty \]

+) Bảng biến thiên

+) Đồ thị:

Ta có: \[{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\]. Vậy đồ thị hàm số qua \[O\left( {0;0} \right)\]

Cho \[x = 1 \Rightarrow y = 1\]: Đồ thị hàm số cắt \[Oy\] tại \[B\left( {1;1} \right)\]

Cho \[x = – 1 \Rightarrow y = – 1\]: Đồ thị hàm số cắt qua \[C\left( { – 1; – 1} \right)\]

Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm \[O\left( {0;0} \right)\] làm tâm đối xứng. Hoành độ điểm \[O\] là nghiệm của phương trình \[y” = 0\] (điểm uốn).

Hàm số trùng phương \[y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)\]

Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \[y = {x^4} – 2{x^2} – 3\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên:

\[y’ = 4{x^3} – 4x = 4x\left( {{x^2} – 1} \right)\]. Xét \[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = \pm 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

+) Các giới hạn tại vô cực

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^4}\left( {1 – \frac{2}{{{x^2}}} – \frac{3}{{{x^4}}}} \right) = + \infty \]

+) Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – 1;0} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\]

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right)\] và \[\left( {0;1} \right)\]

+) Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \[x = 0;{y_{C\rlap{–} D}} = y\left( 0 \right) = – 3\]

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = \pm 1;{y_{C\rlap{–} D}} = y\left( { \pm 1} \right) = – 4\]

+) Đồ thị:

Ta có: \[{x^4} – 2{x^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\]. Vậy đồ thị hàm số qua \[A\left( {1;0} \right),B\left( { – 1;0} \right)\]

Cho \[x = 0 \Rightarrow y = – 3\]. Đồ thị hàm số cắt \[Oy\] tại \[C\left( {0; – 3} \right)\].

Cho \[x = \pm 2 \Rightarrow y = 5\]. Đồ thị hàm số qua \[D\left( { – 2;5} \right),E\left( {2;5} \right)\].

Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận được \[Oy\] làm trục đối xứng.

Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \[y = 4 – \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{{{x^4}}}{8}\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên:

\[y’ = – x – \frac{{{x^3}}}{2} = – x\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\]. Xét \[y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\]

+) Các giới hạn tại vô cực

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^4}\left( { – 1 – \frac{1}{{2{x^2}}} – \frac{1}{{8{x^4}}}} \right) = – \infty \]

+) Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;0} \right)\]

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\]

+) Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \[x = 0;{y_{C\rlap{–} D}} = y\left( 0 \right) = – 3\]

Hàm số không có cực tiểu

+) Đồ thị:

Cho \[x = \pm 2 \Rightarrow y = 0\]. Đồ thị hàm số qua \[C\left( { – 2;0} \right),D\left( {2;0} \right)\].

Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận \[Oy\] làm trục đối xứng.

Hàm số nhất biến \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0,ad – bc \ne 0} \right)\]

Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \[\frac{{x + 1}}{{x – 1}}\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]

Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên:

\[y’ = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\]

Ta thấy \[{y’}\] không xác định khi \[x = 1\]; \[{y’}\] luôn âm với mọi \[x \ne 1\]

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( {1; + \infty } \right)\] và \[\left( { – \infty ;1} \right)\]

+) Cực trị:

Hàm số không có cực trị

+) Tiệm cận:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \lim \frac{{x + 1}}{{x – 1}} = 1\]. Vậy đường thẳng \[y = 1\] là tiệm cận ngang.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x – 1}} = + \infty \]. Vậy đường thẳng \[x = 1\] là tiệm cận đứng.

+) Bảng biến thiên

+) Đồ thị:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm \[A\left( {0; – 1} \right)\] và cắt trục hoành tại điểm \[B\left( { – 1;0} \right)\]

Lưu ý: Giao điểm \[I\left( {1;1} \right)\] của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.

Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{2x – 1}}\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\]

Ta có: \[y’ = \frac{{ – 3}}{{{{\left( {2x – 1} \right)}^2}}} < 0\] với mọi \[x \ne \frac{1}{2}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \frac{1}{2}\]. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \[y = \frac{1}{2}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ – }} y = – \infty \]. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \[x = \frac{1}{2}\]

+) Bảng biến thiên của hàm số có dạng:

+) Đồ thị hàm số có dạng:

Một số phép biến đổi đồ thị

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị \[\left( C \right)\] với số \[a > 0\] ta có:

☞ Hàm số \[y = f\left( x \right) + a\] có đồ thị \[\left( {C’} \right)\] là tịnh tiến \[\left( C \right)\] theo phương của \[Oy\] lên trên \[a\] đơn vị.

☞ Hàm số \[y = f\left( x \right) – a\] có đồ thị \[\left( {C’} \right)\] là tịnh tiến \[\left( C \right)\] theo phương của \[Oy\] xuống dưới \[a\] đơn vị.

☞ Hàm số \[y = f\left( {x + a} \right)\] có đồ thị \[\left( {C’} \right)\] là tịnh tiến \[\left( C \right)\] theo phương của \[Ox\] qua trái \[a\] đơn vị.

☞ Hàm số \[y = f\left( {x – a} \right)\] có đồ thị \[\left( {C’} \right)\] là tịnh tiến \[\left( C \right)\] theo phương của \[Ox\] qua phải \[a\] đơn vị.

☞ Hàm số \[y = – f\left( x \right)\] có đồ thị \[\left( {C’} \right)\] là đối xứng của \[\left( C \right)\] qua trục \[Ox\].

☞ Hàm số \[y = f\left( { – x} \right)\] có đồ thị \[\left( {C’} \right)\] là đối xứng của \[\left( C \right)\] qua trục \[Oy\].

☞ Từ đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right)\] suy ra đồ thị \[\left( {C’} \right):y = f\left( {\left| x \right|} \right)\]

Ta có: \[y = f\left( {\left| x \right|} \right) = \left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 0 \hfill \\
f\left( { – x} \right){\text{ }}khi{\text{ }}x < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\] và \[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\] là hàm chẵn nên đồ thị \[\left( {C’} \right)\] nhận \[Oy\] làm trục đối xứng.

* Cách vẽ \[\left( {C’} \right)\] từ \[\left( C \right)\]:

+) Giữ nguyên phần đồ thị bên phải \[Oy\] của đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right)\]

+) Bỏ phần đồ thị bên trái \[Oy\] của \[\left( C \right)\], lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua \[Oy\].

Ví dụ. Từ đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right) = {x^3} – 3x\] suy ra đồ thị \[\left( {C’} \right):y = {\left| x \right|^3} – 3\left| x \right|\].

Ta có: \[y = {\left| x \right|^3} – 3\left| x \right| = \left\{ \begin{gathered}
{x^3} – 3x{\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 0 \hfill \\
– {x^3} + 3x = – \left( {{x^3} – 3x} \right){\text{ }}khi{\text{ }}x < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Cách vẽ đồ thị \[\left( {C’} \right)\]

+) Bỏ phần đồ thị của \[\left( C \right)\] bên trái \[Oy\], giữ nguyên \[\left( C \right)\] bên phải \[Oy\].

+) Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua \[Oy\].

☞ Từ đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right)\] suy ra đồ thị \[\left( {C’} \right):y = \left| {f\left( x \right)} \right|\]

Ta có: \[y = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 0 \hfill \\
– f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}x < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

* Cách vẽ \[\left( {C’} \right)\] từ \[\left( C \right)\]:

+) Giữ nguyên phần đồ thị phía trên \[Ox\] của đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right)\]

+) Bỏ phần đồ thị phía dưới \[Ox\] của \[\left( C \right)\], lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua \[Ox\].

Ví dụ. Từ đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right) = {x^3} – 3x\] suy ra đồ thị \[\left( {C’} \right):y = \left| {{x^3} – 3x} \right|\].

Cách vẽ đồ thị \[\left( {C’} \right)\]

+) Bỏ phần đồ thị của \[\left( C \right)\] phía dưới \[Ox\], giữ nguyên \[\left( C \right)\] phía trên \[Ox\].

+) Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua \[Ox\].

Chú ý: Với dạng \[y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|\] ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị \[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\] và \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\]

Ví dụ. Từ đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right) = {x^3} – 3x\] suy ra đồ thị \[y = \left| {{{\left| x \right|}^3} – 3\left| x \right|} \right|\]

Biến đổi \[\left( C \right)\] để được đồ thị \[\left( {C’} \right):y = {\left| x \right|^3} – 3\left| x \right|\]

Biến đổi \[\left( {C’} \right):y = {\left| x \right|^3} – 3\left| x \right|\] ta được đồ thị \[\left( {C”} \right):y = \left| {{{\left| x \right|}^3} – 3\left| x \right|} \right|\]

☞ Từ đồ thị \[\left( C \right):y = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right)\] suy ra đồ thị \[\left( {C’} \right):y = \left| {u\left( x \right)} \right| \cdot v\left( x \right)\]

Ta có: \[y = \left| {u\left( x \right)} \right| \cdot v\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
u\left( x \right) \cdot v\left( x \right) = f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}u\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\
– u\left( x \right) \cdot v\left( x \right) = f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}u\left( x \right) < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

* Cách vẽ \[\left( {C’} \right)\] từ \[\left( C \right)\]:

+) Giữ nguyên phần đồ thị trên miền \[u\left( x \right) \geqslant 0\] của đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right)\]

+) Bỏ phần đồ thị trên miền \[u\left( x \right) < 0\] của \[\left( C \right)\], lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua \[Ox\].

Ví dụ.

a) Từ đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right) = 2{x^3} – 3{x^2} + 1\] suy ra đồ thị \[\left( {C’} \right):y = \left| {x – 1} \right|\left( {2{x^2} – x – 1} \right)\]

Ta có: \[y = \left| {x – 1} \right|\left( {2{x^2} – x – 1} \right) = \left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 1 \hfill \\
– f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}x < 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Đồ thị \[\left( {C’} \right)\]:

+) Giữ nguyên \[\left( C \right)\] với \[x \geqslant 1\].

+) Bỏ \[\left( C \right)\] với \[x < 1\]. Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua \[Ox\].

Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của \[\left( C \right)\]: giao điểm với \[Ox\], \[Oy\], \[C\rlap{–} D\], \[CT\]…

b) Từ đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right) = \frac{x}{{x – 1}}\] suy ra đồ thị \[y = \frac{x}{{\left| {x – 1} \right|}}\]

Ta có: \[y = \frac{x}{{\left| {x – 1} \right|}} = \left\{ \begin{gathered}
\frac{x}{{x – 1}}{\text{ }}khi{\text{ }}x \in \left( {1; + \infty } \right)\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
– \frac{x}{{x – 1}}{\text{ }}khi{\text{ }}x \in \left( { – \infty ;1} \right)\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Đồ thị \[\left( {C’} \right)\]:

+) Bỏ phần đồ thị của \[\left( C \right)\] với \[x < 1\], giữ nguyên \[\left( C \right)\] với \[x > 1\]

+) Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua \[Ox\].

Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực hiện phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác.

Bài viết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Định nghĩa

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên khoảng \[\left( {a;b} \right)\] và điểm \[{x_0} \in \left( {a;b} \right)\]

+) Nếu tồn tại số \[h > 0\] sao cho \[f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right)\] với mọi \[x \in \left( {{x_0}–h;{x_0} + h} \right)\] và \[x \ne {x_0}\] thì ta nói hàm số \[y = f\left( x \right)\] đạt cực đại tại \[{x_0}\].

+) Nếu tồn tại số \[h > 0\] sao cho \[f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right)\] với mọi \[x \in \left( {{x_0}–h;{x_0} + h} \right)\] và \[x \ne {x_0}\] thì ta nói hàm số \[y = f\left( x \right)\] đạt cực tiểu tại \[{x_0}\].

Chú ý:

+) Nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] đạt cực đại tại \[{x_0}\] thì \[{x_0}\] được gọi là điểm cực đại của hàm số;f(\[{x_0}\]) được gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu là \[{f_{C\rlap{–} D}}\] \[\left( {{f_{CT}}} \right)\], còn điểm \[M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\] được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

+) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại còn gọi là cực đại và được gọi chung là cực trị của hàm số.

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1:

Giả sử hàm số \[y = f\left( x \right)\] đạt cực trị tại điểm \[{x_0}\]. Khi đó nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \[{x_0}\] thì \[f’\left( x \right) = 0\]

Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2:

Giả sử hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[K = ({x_0}–h;{x_0} + h)\] và có đạo hàm trên K hoặc trên \[K\backslash \{ {x_0}\} \], với \[h > 0\].

+) Nếu \[f’\left( x \right) > 0\] trên khoảng \[({x_0}–h;{x_0})\] và \[f’\left( x \right) < 0\] trên \[\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\] thì \[{x_0}\] là một điểm cực đại của hàm số \[y = f\left( x \right)\].

+) Nếu \[f’\left( x \right) < 0\] trên khoảng \[({x_0}–h;{x_0})\] và \[f’\left( x \right) > 0\] trên \[\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\] thì \[{x_0}\] là một điểm cực tiểu của hàm số \[y = f\left( x \right)\].

Minh họa bằng bảng biến thiên

Chú ý:

+) Giá trị cực đại f(\[{x_0}\]) của hàm số \[y = f\left( x \right)\] nói chung không phải là giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên tập xác định của nó.

+) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng \[0\] hoặc hàm số không có đạo hàm. Ngược lại, đạo hàm có thể bằng \[0\] tại điểm \[{x_0}\] nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm \[{x_0}\].

Định lí 3:

Giả sử hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm cấp hai trong khoảng \[K = ({x_0}–h;{x_0} + h)\] với \[h > 0\]. Khi đó:

+) Nếu \[f’\left( x \right) = 0\], \[f”\left( {{x_0}} \right) > 0\] thì \[{x_0}\] là điểm cực tiểu.

+) Nếu \[f’\left( x \right) = 0\], \[f”\left( {{x_0}} \right) < 0\] thì \[{x_0}\] là điểm cực đại.

+) Nếu \[f’\left( x \right) = 0\], \[f”\left( {{x_0}} \right) = 0\] thì phải lập bảng biến thiên để kết luận.

Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính \[f’\left( x \right)\]. Tìm các điểm tại đó \[f’\left( x \right)\] bằng \[0\] hoặc \[f’\left( x \right)\] không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính \[f’\left( x \right)\]. Giải phương trình \[f’\left( x \right) = 0\] và ký hiệu \[{x_i}\left( {i = 1, 2, 3, …} \right)\] là các nghiệm của nó.

Bước 3: Tính \[f”\left( x \right)\] và \[f”\left( {{x_i}} \right)\]

Bước 4: Dựa vào dấu của \[f”\left( {{x_i}} \right)\] suy ra tính chất cực trị của điểm \[{x_i}\].

Hệ thống bài tập tự luận

Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số cho bởi biểu thức.

Câu 1. Tìm cực trị của hàm số \[y = {x^3}–3{x^2}–9x + 1\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]. Ta có: \[y’ = 3{x^2}–6x–9\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2}–6x–9 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = – 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Cách 1: Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại \[x = – 1\], \[{y_{C\rlap{–} D}} = 6\] và đạt cực tiểu tại \[x = 3\], \[{y_{CT}} = – 26\]

Cách 2: \[y” = 6x–6\]

\[y”\left( { – 1} \right) = – 12 < 0\] \[ \Rightarrow \] Hàm số đạt cực đại tại \[x = – 1\], \[{y_{C\rlap{–} D}} = 6\]

\[y”\left( 3 \right) = 12 > 0\] \[ \Rightarrow \] Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 3\], \[{y_{CT}} = – 26\]

Câu 2. Tìm cực trị của hàm số \[y = – 2{x^3}–3{x^2}–6x + 1\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].

Ta có: \[y’ = – 6{x^2} – 6x – 6 = – 6\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right] < 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

Vậy hàm số đã cho không có cực trị

Câu 3. Tìm cực trị của hàm số \[y = {\left( {1–x} \right)^3}{\left( {3x–8} \right)^2}\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].

Ta có: \[y’ = 15{\left( {1–x} \right)^2}\left( {3x–8} \right)\left( {2–x} \right)\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \frac{8}{3}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
x = 1 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Ta có bảng biến thiên

Suy ra hàm số đạt cực đại tại \[x = \frac{8}{3}\], \[{y_{C\rlap{–} D}} = 0\] và hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 2\], \[{y_{CT}} = – 4\]

Dạng 2. Riêng về cực trị hàm bậc 3

Cho hàm số bậc ba \[y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right){\text{ }}\left( 1 \right)\]

+) Ta có: \[y’ = 3a{x^2} + 2bx + c\]; \[\Delta’ = {b^2}–3ac\]

• Hàm số không có điểm cực trị \[ \Leftrightarrow \] phương trình \[y’ = 0\] vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \[ \Leftrightarrow \] \[\Delta’ \leqslant 0\].
• Hàm số có hai điểm cực trị \[ \Leftrightarrow \] phương trình \[y’ = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \] \[\Delta’ > 0\].

+) Trong trường hợp \[\Delta’ > 0\] , gọi \[A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\], \[B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\] là tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \[\left( 1 \right)\], trong đó \[{x_1}\], \[{x_2}\] là 2 nghiệm phân biệt của phương trình \[y’ = 0\].

Ta có: \[f\left( x \right) = \left( {mx + n} \right) \cdot f’\left( x \right) + r\left( x \right)\], với \[r\left( x \right)\] là nhị thức bậc nhất.

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{y_1} = f\left( {{x_1}} \right) = r\left( {{x_1}} \right) \hfill \\
{y_2} = f\left( {{x_2}} \right) = r\left( {{x_2}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Suy ra tọa độ \[A\], \[B\] thỏa mãn phương trình \[y = r\left( x \right)\]

Do đó phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị \[A\], \[B\] là \[y = r\left( x \right)\]

Công thức tính nhanh:

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị, của đồ thị hàm số \[\left( 1 \right)\] là:

\[y = r\left( x \right) = – \frac{{2\Delta’}}{{9a}}x + \frac{{9ad – bc}}{{9a}}\]

Cách dùng MTCT

+) Nhập biểu thức: \[a{x^3} + b{x^2} + cx + d – \left( {3a{x^2} + 2bx + c} \right)\left( {\frac{x}{3} + \frac{b}{{9a}}} \right)\]

+) Cho \[x = i\] ta được kết quả \[Ai + B\]. Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là \[y = Ax + B\]

Câu 1. Với giá trị nào của tham số \[m\] thì hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {{m^2} – 4m + 3} \right)x + 2021 – 2020m\] có cực trị?

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].

Ta có: \[y’ = {x^2}–2mx + \left( {{m^2}–4m + 3} \right)\]

Hàm số có cực đại, cực tiểu \[ \Leftrightarrow \] \[y’ = 0\] có 2 nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \] \[\Delta’ = {m^2}–\left( {{m^2}–4m + 3} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow \] \[4m–3 > 0\] \[ \Leftrightarrow \] \[m > \frac{3}{4}\]

Vậy \[m > \frac{3}{4}\] thì hàm số có cực đại, cực tiểu

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] để đồ thị hàm số \[y = m{x^3}–\left( {2m–1} \right){x^2} + 2mx–m–1\] có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành khi và chỉ khi phương trình \[m{x^3}–\left( {2m–1} \right){x^2} + 2mx–m–1\] có 2 nghiệm phân biệt

Ta có: \[m{x^3} – \left( {2m – 1} \right){x^2} + 2mx – m – 1 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left[ {m{x^2} – \left( {m – 1} \right)x + m + 1} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
m{x^2} – \left( {m – 1} \right)x + m + 1 = 0{\text{ }}\left( * \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt \[\left( * \right)\] có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m \ne 0 \hfill \\
m – \left( {m – 1} \right) + m + 1 \ne 0 \hfill \\
{\left( {m – 1} \right)^2} – 4m\left( {m + 1} \right) > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m \ne 0 \hfill \\
m + 2 \ne 0 \hfill \\
– 3{m^2} – 6m + 1 > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m \ne 0 \hfill \\
m \ne – 2 \hfill \\
\frac{{ – 3 – 2\sqrt 3 }}{3} < m < \frac{{ – 3 + 2\sqrt 3 }}{3}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Do \[m \in \mathbb{Z}\] \[ \Rightarrow \] \[m = – 1\]

Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số thoả mãn đề bài.

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x\] có cực trị và giá trị của hàm số tại các điểm cực đại, điểm cực tiểu nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta có: \[y’ = {x^2} – 2mx + m + 2\]

\[y’ = 0\]\[ \Leftrightarrow \] \[{x^2} – 2mx + m + 2 = 0{\text{ }}\left( 1 \right)\]

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt

\[\Delta’ > 0 \Leftrightarrow {m^2} – m – 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m < – 1 \hfill \\
m > 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\left( * \right)\]

Phương trình đường thẳng đi qua điểm CĐ, CT của hàm số là

\[y = \left( { – \frac{2}{3}{m^2} + \frac{2}{3}m + \frac{4}{3}} \right)x + \frac{1}{3}m\left( {m + 2} \right)\]

Gọi \[A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\], \[B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\] là hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số, khi đó để hàm số có giá trị cực đại và cực tiểu dương thì \[{y_1} + {y_2} > 0\] và đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x\] cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

Theo định lý Viet ta có: \[{x_1} + {x_2} = 2m\].

Nên \[{y_1} + {y_2} > 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( { – \frac{2}{3}{m^2} + \frac{2}{3}m + \frac{4}{3}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \frac{2}{3}m\left( {m + 2} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( { – \frac{2}{3}{m^2} + \frac{2}{3}m + \frac{4}{3}} \right)\left( {2m} \right) + \frac{2}{3}m\left( {m + 2} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow 2m\left( { – 2{m^2} + 3m + 6} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow m \in \left( { – \infty ;\frac{{3 – \sqrt {57} }}{4}} \right) \cup \left( {0;\frac{{3 + \sqrt {57} }}{4}} \right){\text{ }}\left( {**} \right)\]

Để đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x\] cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thì phương trình \[y = 0\] có 1 nghiệm đơn duy nhất, khi đó \[\frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0{\text{ }}\left( 2 \right)\] có một nghiệm đơn duy nhất.

Ta có: \[\frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\]

\[ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} – 3mx + 3m + 6} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
{x^2} – 3mx + 3m + 6 = 0{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Để phương trình \[\left( 1 \right)\] có một nghiệm duy nhất thì phương trình \[\left( 3 \right)\] vô nghiệm, khi đó điều kiện là \[\Delta = 9{m^2} – 12m – 24 < 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2 – 2\sqrt 7 }}{3} < m < \frac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}{\text{ }}\left( {***} \right)\]

Kết hợp \[\left( * \right)\], \[\left( {**} \right)\], \[\left( {***} \right)\] ta được tập các giá trị của \[m\] thoả mãn là \[2 < m < \frac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}\]

Cách 2:

Ta có: \[y’ = {x^2} – 2mx + m + 2\]

\[y’ = 0\]\[ \Leftrightarrow \] \[{x^2} – 2mx + m + 2 = 0{\text{ }}\left( 1 \right)\]

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt, khi đó:

\[\Delta’ > 0 \Leftrightarrow {m^2} – m – 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m < – 1 \hfill \\
m > 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.{\text{ }}\left( * \right)\]

Để hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu dương thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất và giá trị tại điểm uốn luôn dương.

Để hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x\] cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thì phương trình \[y = 0\] có 1 nghiệm duy nhất, khi đó \[\frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0{\text{ }}\left( 2 \right)\] có một nghiệm đơn duy nhất.

Ta có: \[\frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\]

\[ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} – 3mx + 3m + 6} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
{x^2} – 3mx + 3m + 6 = 0{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Để phương trình \[\left( 1 \right)\] có một nghiệm duy nhất thì phương trình \[\left( 3 \right)\] vô nghiệm, khi đó điều kiện là \[\Delta = 9{m^2} – 12m – 24 < 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2 – 2\sqrt 7 }}{3} < m < \frac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}{\text{ }}\left( {**} \right)\]

Để giá trị tại điểm uốn luôn dương:

\[{y’ = {x^2} – 2mx + m + 2}\]

\[{y” = 2x – 2m}\]

\[{y” = 0 \Leftrightarrow 2x – 2m = 0 \Leftrightarrow x = m}\]

Ta có: \[{y_{\left( m \right)}} > 0 \Rightarrow \frac{{{m^3}}}{3} – {m^3} + m\left( {m + 2} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow m\left( { – 2{m^2} + 3m + 6} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow m \in \left( { – \infty ;\frac{{3 – \sqrt {57} }}{4}} \right) \cup \left( {0;\frac{{3 + \sqrt {57} }}{4}} \right){\text{ }}\left( {***} \right)\]

Kết hợp \[\left( * \right)\], \[\left( {**} \right)\], \[\left( {***} \right)\] ta được tập các giá trị của \[m\] thoả mãn là \[2 < m < \frac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}\]

Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] để đồ thị hàm số \[y = {x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} – 2} \right)x – {m^2} + 3\] có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về cùng một phía đối với trục hoành?

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

\[y’ = 3{x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} – 2\] có \[\Delta’ = – 2{m^2} + 2m + 7\]

Để đồ thị hàm số \[y = {x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} – 2} \right)x – {m^2} + 3\] có hai cực trị thì \[{y’}\] đổi dấu hai lần, tức là \[{y’}\] có hai nghiệm phân biệt, tương đương

\[\Delta’ > 0 \Leftrightarrow – 2{m^2} + 2m + 7 > 0 \Leftrightarrow \frac{{1 – \sqrt {15} }}{2} < m < \frac{{1 + \sqrt {15} }}{2}\]

Vì \[m \in \mathbb{Z}\] nên được \[m \in \left\{ { – 1;0;1;2} \right\}\]

Lúc này hai nghiệm \[{x_1}\];\[{x_2}\] của \[{y’}\] lần lượt là hoành độ các điểm cực trị của hàm số.

Hai điểm cực trị đó nằm cùng 1 phía đối với trục hoành khi và chỉ khi \[f\left( {{x_1}} \right) \cdot f\left( {{x_2}} \right) > 0\], tương đương đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng một điểm, tức là, phương trình \[{x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} – 2} \right)x – {m^3} = 0\] có duy nhất một nghiệm thực.

Xét \[m = – 1\] thì phương trình là \[{x^3} – x + 2 = 0\]: phương trình này có đúng một nghiệm thực nên chọn \[m = – 1\]

Xét \[m = 0\] thì phương trình là \[{x^3} – {x^2} – 2x + 3 = 0\]: phương trình này có đúng một nghiệm thực nên chọn \[m = 0\]

Xét \[m = 1\] thì phương trình là \[{x^3} – 2{x^2} – x + 2 = 0\]: phương trình này có ba nghiệm thực phân biệt nên loại \[m = 1\]

Xét \[m = 2\] thì phương trình là \[{x^3} – 3{x^2} + 2x – 1 = 0\]: phương trình này có đúng một nghiệm thực nên chọn \[m = 2\]

Vậy \[m \in \left\{ { – 1;0;2} \right\}\]

Câu 5. Cho hàm số \[y = {x^3} – 6mx + 4\] có đồ thị \[\left( {{C_m}} \right)\]. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để đường thẳng đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị \[\left( {{C_m}} \right)\] cắt đường tròn tâm \[I\left( {1;0} \right)\], bán kính \[\sqrt 2 \] tại hai điểm phân biệt \[A\]; \[B\] sao cho tam giác \[IAB\] có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \[y = {x^3} – 6mx + 4\] có tập xác định \[\mathbb{R}\].

\[y’ = 3{x^2} – 6m\]; \[y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2m\]

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \[ \Leftrightarrow \] \[{y’}\] đổi dấu 2 lần

\[ \Leftrightarrow \] \[y’ = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \] \[m > 0\]

Ta có: \[y = \frac{1}{3}y’x – 4mx + 4\]

Gọi \[M\left( {{x_1};{y_1}} \right)\], \[N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\] là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Ta có: \[\left\{ \begin{gathered}
y’\left( {{x_1}} \right) = y’\left( {{x_2}} \right) = 0 \hfill \\
{y_1} = y\left( {{x_1}} \right) = \frac{1}{3}y’\left( {{x_1}} \right){x_1} – 4m{x_1} + 4 \hfill \\
{y_2} = y\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{3}y’\left( {{x_2}} \right){x_2} – 4m{x_2} + 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{y_1} = – 4m{x_1} + 4 \hfill \\
{y_2} = – 4m{x_2} + 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Suy ra \[M\], \[N\] thuộc đường thẳng \[d\] có phương trình \[y = – 4mx + 4\]

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của \[\left( {{C_m}} \right)\] là \[y = – 4mx + 4\]

Gọi \[\left( T \right)\] là đường tròn có tâm \[I\left( {1;0} \right)\] và bán kính \[R = \sqrt 2 \]

Đường thẳng \[d\] cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt \[A\], \[B\] và tạo thành tam giác \[IAB\]

\[ \Leftrightarrow 0 < d\left( {I;d} \right) < R\]

\[ \Leftrightarrow 0 < d\left( {I;d} \right) < \sqrt 2 \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m \ne 1 \hfill \\
\frac{{\left| { – 4m + 4} \right|}}{{\sqrt {16{m^2} + 1} }} < \sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Cách 1:

Do đường thẳng \[d\] luôn đi qua điểm \[K\left( {0;4} \right)\],\[IK = \sqrt {17} > R\] \[ \Rightarrow \] \[K\] nằm ngoài đường tròn nên tồn tại hai điểm \[A\], \[B\] là giao điểm của \[d\] với đường tròn để tam giác \[IAB\] vuông tại \[I\].

Do đó: \[{S_{IAB}} = \frac{1}{2}IA \cdot IB \cdot \sin \widehat {AIB} \leqslant \frac{1}{2}IA \cdot IB\]

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow IA \bot IB\]

\[ \Leftrightarrow d\left( {I;d} \right) = \frac{R}{{\sqrt 2 }} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 4m + 4} \right|}}{{\sqrt {16{m^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow m = \frac{{15}}{{32}}\]

Bình luận: Nếu đường thẳng \[d\] luôn đi qua điểm \[K\] cố định mà \[IK < \frac{R}{{\sqrt 2 }}\] thì sẽ không có vị trí của đường thẳng \[d\] để tam giác \[IAB\] vuông tại \[I\]. Khi đó, nếu làm như trên sẽ bị sai. Trong trường hợp đón thì ta phải đặt \[d\left( {I;d} \right) = t\] \[\left( {0 < t \leqslant l} \right)\], với \[l\] là độ dài đoạn thẳng \[IK\], rồi tính \[{S_{\Delta IAB}}f\left( t \right)\] và tìm giá trị lớn nhất của \[f\left( t \right)\] trên nửa khoảng \[\left( {0;l} \right]\].

Cách 2:

Phương trình đường tròn là: \[{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = 2{\text{ }}\left( C \right)\]

Xét hệ \[\left\{ \begin{gathered}
{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = 2 \hfill \\
y = – 4mx + 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ {{{\left( {16{m^2} + 1} \right)}^2} – 2\left( {16m + 1} \right)x + 15 = 0{\text{ }}\left( 1 \right)} \right.\]

\[d\] cắt \[\left( C \right)\] tại 2 điểm phân biệt \[A\], \[B\] \[ \Leftrightarrow \] \[\left( 1 \right)\] có 2 nghiệm phân biệt \[a\], \[b\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {16m + 1} \right)^2} – 15\left( {16m + 1} \right) > 0\]

Khi đó: \[A\left( {a; – 4ma + 4} \right)\], \[B\left( {b; – 4mb + 4} \right)\] \[ \Rightarrow \left[ \begin{gathered}
\overrightarrow {IA} = \left( {a – 1; – 4ma + 4} \right) \hfill \\
\overrightarrow {IB} = \left( {b – 1; – 4mb + 4} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\overrightarrow {IA} \cdot \overrightarrow {IB} = ab – \left( {a + b} \right) + 16\left[ {{m^2}a – m\left( {a + b} \right) + 1} \right] + 1 = 0\]

\[ \Leftrightarrow ab – \left( {a + b} \right) + 16{m^2}ab – 16m\left( {a + b} \right) + 17 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {16{m^2} + 1} \right)ab – \left( {16m + 1} \right)\left( {a + b} \right) + 17 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 15 – \frac{{2{{\left( {16m + 1} \right)}^2}}}{{16{m^2} + 1}} + 17 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {16m + 1} \right)}^2}}}{{16{m^2} + 1}} = 16\]

\[ \Leftrightarrow m = \frac{{15}}{{32}}\]

Dạng 3. Riêng về cực trị hàm trùng phương

Kiến thức cần nhớ

Cho hàm số: \[y = a{x^4} + b{x^2} + c\] \[\left( {a \ne 0} \right)\] có đồ thị là \[\left( C \right)\].

+) Đồ thị \[\left( C \right)\] có đúng một điểm cực trị khi \[y’ = 0\] có đúng một nghiệm \[ \Leftrightarrow \] \[ab \geqslant 0\]

+) Đồ thị \[\left( C \right)\] có ba điểm cực trị khi \[y’ = 0\] có 3 nghiệm phân biệt\[ \Leftrightarrow \] \[ab < 0\]

Khi đó ba điểm cực trị là: \[A\left( {0;c} \right)\], \[B\left( { – \sqrt { – \frac{b}{{2a}}} ; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\], \[C\left( {\sqrt { – \frac{b}{{2a}}} ; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\] với \[\Delta = {b^2} – 4ac\]

Độ dài các đoạn thẳng: \[AB = AC = \sqrt {\frac{{{b^4}}}{{16{a^2}}} – \frac{b}{{2a}}} \], \[BC = 2\sqrt { – \frac{b}{{2a}}} \]  và tam giác \[{\text{ABC}}\] luôn là tam giác cân tại \[A\].

Công thức nhanh một số trường hợp thường gặp

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để hàm số \[y = 2{x^4} – \left( {m + 1} \right){x^2} + 4\] có ba điểm cực trị.

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta có: \[y’ = 8{x^3} – 2\left( {m + 1} \right)x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = \frac{{m + 1}}{4}{\text{ }}\left( 1 \right)\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi \[y’ = 0\] có ba nghiệm phân biệt

\[ \Leftrightarrow \] \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt khác \[0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{4} > 0 \Leftrightarrow m > – 1\]

Cách 2: Hàm số đã cho có 3 cực trị khi và chỉ khi \[ab < 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > – 1\]

Câu 2. Cho hàm số \[y = {x^4} – 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2}\]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để đồ thị của

hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

Hướng dẫn giải

Cách 1:

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = 4{x^3} – 4\left( {m + 1} \right)x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4\left( {m + 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
{x^2} = m + 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình \[y’ = 0\] có ba nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \] \[m > – 1{\text{ }}\left( * \right)\]

Khi đó, ba điểm cực trị là: \[A\left( {0;{m^2}} \right)\], \[B\left( {\sqrt {m + 1} ; – 2m – 1} \right)\], \[C\left( { – \sqrt {m + 1} ; – 2m – 1} \right)\]

Ta thấy \[A \in Oy\], \[B\], \[C\] đối xứng nhau qua \[Oy\] nên tam giác \[{\text{ABC}}\] cân tại \[A\].

Do đó tam giác \[{\text{ABC}}\] vuông cân tại A khi và chỉ khi tam giác \[{\text{ABC}}\] vuông tại \[A\] \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\]

\[\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt {m + 1} ; – {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( { – \sqrt {m + 1} ; – {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right)\]

Suy ra: \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^4} – \left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = – 1{\text{ }}\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right) \hfill \\
m = 0{\text{ }}\left( {TM} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vậy \[m = 0\] là giá trị cần tìm

Chú ý có thể sử dụng điều kiện sau:

Gọi \[H\] là trung điểm của đoạn thẳng \[BC\] thì \[H\left( {0; – 2m – 1} \right)\]

Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi \[{b^3} + 8a = 0 \Leftrightarrow – 8{\left( {m + 1} \right)^3} + 8 = 0 \Leftrightarrow m = 0\]

Câu 3. Cho hàm số \[y = {x^4} – 2m{x^2} + m – 1\], với \[m\] là tham số thực. Xác định các giá trị của tham số \[m\] để đồ thị hàm số có ba cực trị đồng thời các điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = 4{x^3} – 4mx\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} – m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
{x^2} = m \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Hàm số có ba điểm cực trị \[ \Leftrightarrow \] phương trình \[y’ = 0\] có ba nghiệm phân biệt và \[{y’}\] đổi dấu qua các nghiệm đó \[ \Leftrightarrow \] \[m > 0\]

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

\[A\left( {0;m – 1} \right)\], \[B\left( { – \sqrt m ; – {m^2} + m – 1} \right)\], \[C\left( {\sqrt m ; – {m^2} + m – 1} \right)\]

Cách 1: Ta có: \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {{y_B} – {y_A}} \right| \cdot \left| {{x_C} – {x_B}} \right| = {m^2}\sqrt m \] và \[AB = \sqrt {{m^2} + m} \], \[BC = 2\sqrt m \]

Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp:

\[R = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\left( {{m^2} + m} \right) \cdot 2\sqrt m }}{{4{m^2}\sqrt m }}\]

\[R = 1 \Leftrightarrow \frac{{\left( {{m^2} + m} \right) \cdot \sqrt m }}{{2{m^2}\sqrt m }} = 1 \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{2m}} = 1\]

Cách 2: Gọi \[M\], \[H\] lần lượt là trung điểm của \[AB\], \[BC\] và \[I\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ABC\]

\[AB = \sqrt {{m^2} + m} \], \[AH = {m^2}\]

Ta có: \[\Delta AMI \sim \Delta AHB\]

\[ \Rightarrow R = \frac{{A{B^2}}}{{2AH}}\]

\[R = 1 \Leftrightarrow \frac{{A{B^2}}}{{2AH}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + m}}{{2{m^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{2m}} = 1 \Leftrightarrow m = 1\]

Vậy \[m = 1\]

Câu 4. Cho hàm số \[y = {x^4} – 2m{x^2} + m\], với \[m\] là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm cực trị này có bán kính bằng 1.

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

\[y’ = 4{x^3} – 4mx = 4x\left( {{x^2} – m} \right)\]

Hàm số có 3 điểm cực trị khi \[y’ = 0\] có 3 nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \] \[m > 0\]

Khi đó: \[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = \pm \sqrt m \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Khi đó toạ độ ba điểm cực trị: \[A\left( {0;m} \right)\], \[B\left( { – \sqrt m ; – {m^2} + m} \right)\], \[C\left( {\sqrt m ; – {m^2} + m} \right)\]

Gọi \[H\] là trung điểm của cạnh \[BC\]. Ta có: \[H\left( {0; – {m^2} + m} \right)\]

\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4R}} \Leftrightarrow A{B^2} = 2AH \cdot R\]  trong đó \[\left\{ \begin{gathered}
AH = {m^2} \hfill \\
AB = \sqrt {m + {m^4}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Suy ra: \[m + {m^4} = 2{m^2}\]

\[ \Leftrightarrow m\left( {{m^3} – 2m + 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} + m – 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = 0 \hfill \\
m = 1 \hfill \\
m = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
m = \frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Đối chiếu điều kiện ta được \[S = \left\{ {1;\frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}\]

Dạng 4. Cực trị của hàm \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\], \[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\]

Câu 1. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số \[y = f\left( x \right)\].

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}f\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\
– f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}f\left( x \right) < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Do đó đồ thị hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] như sau:

Từ đồ thị suy ra hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] có 5 điểm cực trị

Công thức tính nhanh: Số điểm cực trị của hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] bằng tổng số điểm cực trị của hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] và số lần đổi dấu của hàm số \[f\left( x \right)\]

Câu 2. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau :

Hàm số \[y = f\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)\] có bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \[y = g\left( x \right) = f\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)\]

Ta có: \[g’\left( x \right) = {\left[ {f\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)} \right]^\prime } = {\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)^\prime }.f’\left( {\left| {x – 3} \right|} \right) = \frac{{x – 3}}{{\left| {x – 3} \right|}} \cdot f’\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)\]

Có \[g’\left( x \right)\] không xác định tại \[x = 3\]

\[g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {\left| {x – 3} \right|} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\left| {x – 3} \right| = – 2 \hfill \\
\left| {x – 3} \right| = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 7 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy hàm số \[y = f\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)\] có 3 điểm cực trị.

Câu 3. Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^3} – \left( {2m – 1} \right){x^2} + \left( {2 – m} \right)x + 2\]. Tập tất cả các giá trị của \[m\] để đồ thị hàm số \[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\] có 5 điểm cực trị là \[\left( {\frac{a}{b};c} \right)\] với \[a\], \[b\], \[c\] là các số nguyên và \[{\frac{a}{b}}\] là phân số tối giản. Tính \[a + b + c\].

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[f’\left( x \right) = 3{x^2} – 2\left( {2m – 1} \right)x + \left( {2 – m} \right)\]

Đồ thị hàm số \[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\] có 5 điểm cực trị

\[ \Leftrightarrow y = f\left( x \right) = {x^3} – \left( {2m – 1} \right){x^2} + \left( {2 – m} \right)x + 2\] có 2 điểm cực trị cùng nằm bên phải trục tung

\[ \Leftrightarrow f’\left( x \right) = 0\] có 2 nghiệm dương phân biệt

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\Delta ‘ > 0 \hfill \\
S > 0 \hfill \\
P > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{\left( {2m – 1} \right)^2} – 3\left( {2 – m} \right) > 0 \hfill \\
2m – 1 > 0 \hfill \\
2 – m > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
4{m^2} – m – 5 > 0 \hfill \\
\frac{1}{2} < m < 2\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\left[ \begin{gathered}
m < – 1 \hfill \\
m > \frac{5}{4}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\frac{1}{2} < m < 2\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \frac{5}{4} < m < 2\]

\[ \Rightarrow \left( {\frac{a}{b};c} \right) = \left( {\frac{5}{4};2} \right) \Rightarrow a = 5,b = 4,c = 2\]

Vậy \[a + b + c = 11\]

Bài viết Cực trị của hàm số đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Lý thuyết

Định nghĩa

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên K với K là một khoảng.

+) Hàm số \[y = f\left( x \right)\] được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu

\[\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\]

+) Hàm số \[y = f\left( x \right)\] được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

\[\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\]

+) Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

Định lý

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm trên khoảng K.

+) Nếu \[f’\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in K\] và \[f’\left( x \right) = 0\] xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng K.

+) Nếu \[f’\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in K\] và \[f’\left( x \right) = 0\] xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số \[y = f\left( x \right)\] nghịch biến trên khoảng K.

Lưu ý:

+) Nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\] và \[f’\left( x \right) > 0,{\text{ }}\forall x \in \left( {a;{\text{ }}b} \right)\] thì ta nói hàm số đồng biến trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]

+) Nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\] và \[f’\left( x \right) < 0,{\text{ }}\forall x \in \left( {a;{\text{ }}b} \right)\] thì ta nói hàm số nghịch biến trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]

+) Tương tự với các khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên các nửa khoảng.

Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số

Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên tập xác định

Bước 1: Tìm tập xác định D

Bước 2: Tính đạo hàm \[y’ = f’\left( x \right)\]

Bước 3: Tìm nghiệm của \[f’\left( x \right)\] hoặc những giá trị x làm cho \[f’\left( x \right)\] không xác định

Bước 4: Lập bảng biến thiên

Bước 5: Kết luận

Chú ý: Đối với bài toán trắc nghiệm, ta có thể sử dụng Phương pháp sử dụng MTCT.

+) Cách 1: Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio. Quan sát bảng kết quả nhận được về tính tăng, giảm giá trị của \[f\left( x \right)\] và dự đoán.

+) Cách 2: Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất phương trình INEQ của máy tính Casio (đối với bất phương trình bậc hai, bậc ba).

Bài tập tự luận

Dạng 1. Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi biểu thức

Câu 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = {x^3}–3{x^2} + 1\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = 3{x^2}–6x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2}–6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x{\text{ }} = {\text{ }}2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;0} \right)\] và \[\left( {2; + \infty } \right)\], nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\]

Câu 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} + 4x + 1\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = {x^2} + 4 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; + \infty } \right)\]

Câu 3. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y =  – \frac{1}{3}{x^3} + 5{x^2} – 26x – 1\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = – {x^2} + 10x–26 = – {\left( {x–5} \right)^2}–1 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; + \infty } \right)\]

Câu 4. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 9x – 1\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = {x^2} + 6x + 9 = {\left( {x + 3} \right)^2} \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow x = – 3\]

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; + \infty } \right)\]

Câu 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \[y = {x^4}–2{x^2}\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = 4{x^3}–4x = 4x\left( {{x^2}–1} \right)\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0{\text{ }} \hfill \\ x = \pm 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – 1;0} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\], nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right)\] và \[\left( {0;1} \right)\]

Dạng 2. Xét tính đơn điệu của hàm hợp cho bởi bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số \[y = f\left( x \right)\] hoặc \[y = f’\left( x \right)\]

Câu 1. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có bảng biến thiên

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số \[y = f\left( {2x + 1} \right)\]

Hướng dẫn giải

Đặt \[g\left( x \right) = f\left( {2x + 1} \right)\]. Ta có: \[g’\left( x \right) = 2 \cdot f’\left( {2x + 1} \right)\]

Bảng biến thiên

Vậy hàm số \[f\left( {2x + 1} \right)\] đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\]

Câu 2. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên

Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số \[y = f\left( { – 2x + 6} \right)\]

Hướng dẫn giải

Đặt \[g\left( x \right) = f\left( { – 2x + 6} \right)\]. Ta có: \[g’\left( x \right) = – 2 \cdot f’\left( { – 2x + 6} \right)\]

\[g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( { – 2x + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
– 2x + 6 = 0 \hfill \\
– 2x + 6 = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 3 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Bảng biến thiên

Vậy hàm số \[y = f\left( { – 2x + 6} \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;3} \right)\]

Câu 3. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên. Hàm số \[y = f’\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ sau:

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g(x) = \[f\left( x \right)\] + x + 1

Hướng dẫn giải

Ta có: g’(x) = \[f’\left( x \right)\] + 1

Dựa vào đồ thị \[y = f’\left( x \right)\] ta có:

\[f’\left( x \right) + 1 > 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) > – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
1 < x < 3 \hfill \\
x > 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[f’\left( x \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) < – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x < 1 \hfill \\
3 < x < 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vậy hàm số \[g\left( x \right) = f\left( x \right) + x + 1\] đồng biến trên các khoảng \[\left( {1;3} \right)\] và \[\left( {5; + \infty } \right)\], nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;1} \right)\] và \[\left( {3;5} \right)\]

Câu 4. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên

Hỏi hàm số \[y = f\left( {f\left( x \right)} \right)\] đồng biến trên những khoảng nào?

Hướng dẫn giải

Đặt \[g\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right)\]. Ta có: \[g’\left( x \right) = f’\left( x \right) \cdot f’\left( {f\left( x \right)} \right)\]

\[g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
f’\left( x \right) = 0 \hfill \\
f’\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
f\left( x \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = \pm 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Xét \[f’\left( {f\left( x \right)} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x > 2 \hfill \\
x < – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Bảng xét dấu:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \[\left( { – 2;0} \right)\] và \[\left( {2; + \infty } \right)\]

Câu 5. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Biết \[1 < f\left( x \right) < 3,\forall x \in \mathbb{R}\]. Hàm số \[y = g\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right) + {x^3} – 6{x^2} – 1\] có ít nhất bao nhiêu khoảng đồng biến?

Hướng dẫn giải

Ta có: \[g’\left( x \right) = f’\left( x \right) \cdot f’\left( {f\left( x \right)} \right) + 3{x^2} – 12x\]

Dựa vào bảng xét dấu \[f’\left( x \right)\] đề bài cho, vì \[1 < f\left( x \right) < 3,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f’\left( {f\left( x \right)} \right) \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

Bảng xét dấu \[y’ = g’\left( x \right)\]:

Vậy hàm số có ít nhất một khoảng đồng biến

Câu 6. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đồ thị hàm số \[y = f’\left( x \right)\] như hình vẽ.

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số \[y = g\left( x \right) = f\left( { – 2x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( { – 2x + 4} \right)\]

Hướng dẫn giải

\[{ + ){\text{ }}g\left( x \right) = f\left( { – 2x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( { – 2x + 4} \right) = f\left( { – 2x + 1} \right) + \left( { – 2{x^2} + 2x + 4} \right)}\]

\[{ \Rightarrow g’\left( x \right) = – 2f’\left( { – 2x + 1} \right)–4x + 2 = – 2\left[ {f’\left( { – 2x + 1} \right) + 2x–1} \right]}\]

\[{ + ){\text{ }}g’\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow f’\left( { – 2x + 1} \right) + 2x–1 < 0 \Leftrightarrow {\text{ }}f’\left( { – 2x + 1} \right) < – 2x + 1{\text{ }}\left( 1 \right)}\]

Đặt \[t = – 2x + 1\] thì (1) trở thành \[f’\left( t \right) < t\]

Quan sát đồ thị hàm số \[y = f’\left( t \right)\] và \[y = t\] trên cùng một hệ trục toạ độ như hình vẽ, ta thấy với \[t \in \left( { – \infty ; – 3} \right)\] và \[t \in \left( {2;5} \right)\] thì đồ thị hàm số \[y = f’\left( t \right)\] luôn nằm phía dưới đường thẳng \[y = t\].

Suy ra:

\[f’\left( t \right) < t \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t < – 3 \hfill \\
2 < t < 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Như vậy:

\[f’\left( { – 2x + 1} \right) < – 2x + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
– 2x + 1 < – 3 \hfill \\
2 < – 2x + 1 < 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x > 2 \hfill \\
– 2 < x < – \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vậy hàm số \[y = g\left( x \right) = f\left( { – 2x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( { – 2x + 4} \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\] và \[\left( { – 2; – \frac{1}{2}} \right)\]

Dạng 3. Xét tính đơn điệu của hàm số bằng phương pháp đổi biến số

Phương pháp

Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = f\left( {u\left( x \right)} \right)\]

+) Tìm tập xác định D.

+) Đổi biến \[t = u\left( x \right)\]. Tìm điều kiện cần và đủ của t, giả sử \[t \in K\].

+) Tìm khoảng đơn điệu của hàm số \[f\left( t \right)\] trên K.

+) Kết luận khoảng đơn điệu của hàm số \[y = f\left( {u\left( x \right)} \right)\].

Chú ý:

+) Nếu hàm số \[t = u\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {\alpha ;\beta } \right)\], ta có:

• Hàm số \[y = f\left( {u\left( x \right)} \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {\alpha ;\beta } \right)\] ⇔ Hàm số \[y = f\left( t \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {u\left( \alpha \right);u\left( \beta \right)} \right)\].
• Hàm số \[y = f\left( {u\left( x \right)} \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {\alpha ;\beta } \right)\] ⇔ Hàm số \[y = f\left( t \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {u\left( \alpha \right);u\left( \beta \right)} \right)\].

+) Nếu hàm số \[t = u\left( x \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {\alpha ;\beta } \right)\], ta có:

• Hàm số \[y = f\left( {u\left( x \right)} \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {\alpha ;\beta } \right)\] ⇔ Hàm số \[y = f\left( t \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {u\left( \alpha \right);u\left( \beta \right)} \right)\].
• Hàm số \[y = f\left( {u\left( x \right)} \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {\alpha ;\beta } \right)\] ⇔ Hàm số \[y = f\left( t \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {u\left( \alpha \right);u\left( \beta \right)} \right)\].

Câu 1. Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = {x^2} – 6x + 6\sqrt {2x + 1}  – 1\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[\left[ { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)\]

Đặt \[t = \sqrt {2x + 1} \left( {t \in \left[ {0; + \infty } \right)} \right) \Rightarrow x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}\]

Xét hàm số

\[y = {\left( {\frac{{{t^2} – 1}}{2}} \right)^2} – 6{\left( {\frac{{{t^2} – 1}}{2}} \right)^2} + 6t – 1\] \[ = \frac{1}{4}\left( {{t^4} – 14{t^2} + 24t + 9} \right)\]

\[y’ = {t^3} – 7t + 6\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = 1 \hfill \\
t = 2 \hfill \\
t = – 3{\text{ }}\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Với \[\left[ \begin{gathered}
t = 1 \Rightarrow x = 0 \hfill \\
t = 2 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Ta có bảng dấu của \[{y’}\]

Dễ thấy hàm số \[y = \sqrt {2x + 1} \] đồng biến trên khoảng \[\left( { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)\]

Vậy hàm số \[y = {x^2} – 6x + 6\sqrt {2x + 1}  – 1\] đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \frac{1}{2};0} \right),\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\] và nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;\frac{3}{2}} \right)\].

Dạng 4. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một miền

Câu 1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

a) \[y = {x^3} + 3{x^2} + mx + my = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\]

b) \[y = m{x^3}–\left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {m + 2} \right)x–2\]

Hướng dẫn giải

a) TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = 3{x^2} + 6x + m\]

Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow y’ \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow \Delta’ \leqslant 0{\text{ }}\left( {{\text{do }}a = 3 > 0} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 9 – 3m \leqslant 0\]

\[ \Leftrightarrow m \geqslant 3\]

Vậy \[m \geqslant 3\] thì hàm số luôn đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

b) TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

+) Với \[m = 0\], hàm số trở thành \[y = – {x^2} + 2x–2\]. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;1} \right)\].

Vậy \[m = 0\] không thoả mãn.

+) Với \[m \ne 0\], ta có: \[y’ = 3m{x^2} – 2\left( {2m + 1} \right)x + m + 2\]

Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow y’ \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\Delta’ \leqslant 0 \hfill \\
3m > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
4{m^2} + 4m + 1 – 3m\left( {m + 2} \right) \leqslant 0 \hfill \\
m > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{\left( {m – 1} \right)^2} \leqslant 0 \hfill \\
m > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 1{\text{ }}\left( {TM} \right)\]

Vậy \[m = 1\].

Câu 2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \[y = \frac{{x – m}}{{2x – 1}}\] đồng biến trên từng khoảng xác định.

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\]. Ta có: \[y’ = \frac{{ – 1 + 2m}}{{{{\left( {2x – 1} \right)}^2}}}\]

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định \[ \Leftrightarrow y’ \geqslant 0,\forall x \in D\] \[ \Leftrightarrow – 1 + 2m > 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}\]

Vậy \[m > \frac{1}{2}\]

Câu 3. Tìm m để hàm số \[y = – {x^3} + 3{x^2} + \left( {m–1} \right)x + m\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { – 1; + \infty } \right)\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]. Ta có: \[y’ = – 3{x^2} + 6x + m–1\]

Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { – 1; + \infty } \right)\] \[ \Leftrightarrow y’ \leqslant 0,\forall x \in \left( { – 1; + \infty } \right)\]

\[ \Leftrightarrow m \leqslant 3{x^2} – 6x + 1,\forall x \in \left( { – 1; + \infty } \right){\text{ }}\left( 1 \right)\]

Xét hàm số \[g\left( x \right) = 3{x^2}–6x + 1\] trên khoảng \[\left( { – 1; + \infty } \right)\]

\[g’\left( x \right) = 6x–6\]

\[g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\]

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \[\mathop {\min }\limits_{\left( { – 1; + \infty } \right)} g\left( x \right) =  – 2\]

Do đó \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow m \leqslant \mathop {\min }\limits_{\left( { – 1; + \infty } \right)} g\left( x \right) \Leftrightarrow m \leqslant  – 2\]

Vậy \[m \leqslant – 2\] thoả yêu cầu bài toán

Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \frac{{x + 6}}{{x + 5m}}\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {10; + \infty } \right)\]?

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {5m} \right\}\]

Ta có: \[y’ = \frac{{5m – 6}}{{{{\left( {x + 5m} \right)}^2}}}\]. Để hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {10; + \infty } \right)\] thì

\[\left\{ \begin{gathered}
y’ < 0 \hfill \\
– 5m \notin \left( {10; + \infty } \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
5m – 6 < 0 \hfill \\
– 5m \leqslant 10 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m < \frac{6}{5}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
m \geqslant – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Do \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { – 2; – 1;0;1} \right\}\]

Câu 5. Tìm m để hàm số \[y = – {x^3} + 3{x^2} + \left( {m–1} \right)x + 2m–3\] đồng biến trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng 3?

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]. Ta có: \[y’ = – 3{x^2} + 6x + m–1\]

Vì hệ số của \[{x^2}\] của \[{y’}\] là \[ – 3 < 0\] nên hàm số đã cho đồng biến trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng 3 khi và chỉ khi \[y’ = 0\] có 2 nghiệm \[{x_1},{x_2}\] phân biệt thoả mãn \[\left| {{x_2} – {x_1}} \right| = 3\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\Delta’ = 9 + 3\left( {m – 1} \right) > 0 \hfill \\
{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 9 \hfill \\
\end{gathered} \right.{\text{ }}\left( * \right)\]

Theo Vi-et ta có: \[\left\{ \begin{gathered}
{x_1} + {x_2} = 2 \hfill \\
{x_1}{x_2} = \frac{{1 – m}}{3}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Do đó:

\[\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m > – 2 \hfill \\
4 + 4 \cdot \frac{{m – 1}}{3} = 9\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m > – 2 \hfill \\
m = \frac{{19}}{4}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\] \[ \Leftrightarrow m = \frac{{19}}{4}\]

Vậy \[m = \frac{{19}}{4}\]

Bài viết Tính đơn điệu của hàm số đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Khái niệm hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật được xem là hình chữ nhật mở rộng trong khoảng không gian ba chiều, tạo nên một khối hình học bao gồm 6 mặt phẳng vuông góc với nhau và đối xứng theo từng cặp. Bên cạnh đó, các mặt của nó được liên kết với nhau bằng những cạnh thẳng và góc vuông chuẩn xác. Có thể nói rằng, đặc trưng nổi bật nhất của loại hình này là sự cân đối, thuận tiện cho việc tính toán và những ứng dụng thực tiễn.

Thực tế, hình hộp chữ nhật là một trong những khối hình học quan trọng nhất trong chuyên đề về hình học không gian và kỹ thuật dựng hình. Mặc dù mang vẻ ngoài đơn giản, nhưng nó lại sở hữu tính ứng dụng cực kỳ phong phú trong thực tế, tiêu biểu nhất là lĩnh vực thiết kế nội thất, lập trình đồ họa 3D và xây dựng.

2. Tổng hợp các tính chất hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật bao gồm các tính chất sau:

• Tất cả các mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật và được xếp thành từng cặp mặt đối diện song song.
• Các cạnh của hình hộp chữ nhật cắt nhau theo những góc vuông, tạo nên các đường thẳng vuông góc chắc chắn.
• Nhờ các mặt đối diện song song và có kích thước bằng nhau, nên hình này rất dễ phân chia không gian thành các phần bằng nhau. Đồng thời, ở mỗi đỉnh chính là nơi giao nhau của 3 cạnh, tạo thành 3 góc vuông.
• Các đường chéo bên trong khối hình không chỉ sở hữu độ dài bằng nhau mà còn đồng quy ngay tại một điểm trung tâm.
• Cách xác định thể tích hình hộp chữ nhật đơn giản, cụ thể là: V= chiều dài x chiều rộng x chiều cao.

3. Một số công thức phổ biến về tính chất hình hộp chữ nhật

3.1. Tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật thể hiện phần diện tích bao phủ bên ngoài khối hình (không tính 2 mặt đáy). Giá trị này được xác định dựa vào chu vi của mặt đáy nhân với chiều cao. Công thức tính: Sxq= 2 (a+b) h.

Trong đó:

• a: chiều dài của đáy.
• b: chiều rộng của đáy.
• h: chiều cao của hình hộp chữ nhật.

3.2. Tính diện tích toàn phần (Stp) của hình hộp chữ nhật

Diện tích toàn phần (Stp) của hình hộp chữ nhật chính là tổng phần diện tích của tất cả các mặt bao quanh khối hình này. Hay nói cách khác, nó sẽ được tính bằng cách lấy diện tích xung quanh (Sxq) cộng với diện tích 2 mặt đáy (Sđáy). Công thức tính: Stp=Sxq+Sđáy=2(a+b)h+ 2ab

Trong đó:

• a: chiều dài của đáy.
• b: chiều rộng của đáy.
• h: chiều cao của khối hình

3.3. Tính thể tích của khối hình hộp chữ nhật

Thực tế, thể tích của khối hình này được xác định dựa trên nguyên lý cơ bản trong hình học không gian, cụ thể là lấy diện tích của phần đáy nhân với chiều cao. Từ đó, ta có công thức tính là: V= abh

• a: chiều dài của đáy.
• b: chiều rộng của đáy.
• h: chiều cao của khối hình.

4. Một vài dạng bài tập phổ biến về tính chất hình hộp chữ nhật

4.1. Tính ra diện tích toàn phần (Stp) của hình hộp chữ nhật

Đối với dạng bài này, bạn chỉ cần áp dụng ngay công thức tính Stp của hình hộp chữ nhật là: Stp=Sxq+Sđáy=2(a+b)h+ 2ab.

Ví dụ: Một hình hộp chữ nhật sở hữu chiều dài a= 6cm, chiều rộng b= 3cm và chiều cao h= 8cm. Hãy tính diện tích toàn phần của khối hình này.

Lời giải:

Diện tích toàn phần của khối hình hộp chữ nhật là: Stp=Sxq+Sđáy=2(a+b)h + 2ab= 2x(6+3)x8 + 2x6x3= 180 \[cm^{2}\]

4.2. Dạng bài tập về tính chất hình hộp chữ nhật – Tính thể tích

Đối với dạng bài tập này, chúng ta cần phải áp dụng chuẩn xác công thức tính thể tích của khối hình hộp chữ nhật mà chúng tôi đã đề cập qua phần trên là: V=abh.

Ví dụ: Một cái bể nước dạng hình hộp chữ nhật sở hữu chiều dài a= 3m, chiều rộng b= 2m và chiều cao h= 1,5m. Hãy tính ngay thể tích của cái bể nước này.

Lời giải:

Thể tích của bể nước là: V= abh= 3x2x1,5= 9 \[m^{3}\]

4.3. Tính diện tích xung quanh (Sxq) của hình hộp chữ nhật

Tương tự như những dạng bài trên, chúng ta cũng sẽ áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của khối hình hộp chữ nhật cho kiểu bài tập này. Cụ thể là: Sxq=2(a+b)h.

Ví dụ: Một cái hộp quà sở hữu chiều dài a=9cm, chiều rộng b= 6cm và chiều cao h= 12cm. Hãy tính ngay diện tích xung quanh của cái hộp quà này.

Lời giải:

Diện tích xung quanh của cái hộp quà là: Sxq=2(a+b)h= 2x(9+6)x12= 360 \[cm^{2}\]

5. Bài tập vận dụng của tính chất hình hộp chữ nhật

Nhà trường tặng cho cô giáo một cái hộp quà nhỏ mang chiều dài 10cm, chiều rộng 8cm và chiều cao 9cm. Hãy tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của cái hộp này.

Đáp án:

• Diện tích xung quanh của hộp quà là: Sxq=2(a+b)h= 2x(10+8)x9= 324 \[cm^{2}\].
• Diện tích toàn phần của hộp quà là: Stp=Sxq+Sđáy=2(a+b)h+ 2ab= 324 + 2x10x8= 484 \[cm^{2}\].

Bài viết trên đây đã tổng hợp đầy đủ các kiến thức quan trọng về các dạng bài tập và tính chất hình hộp chữ nhật. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đã hiểu rõ hơn về khối hình học không gian này và biết cách giải những dạng bài tập phổ biến có liên quan nhé!

Bài viết Tính chất hình hộp chữ nhật: Các dạng bài tập và cách giải đơn giản đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ: \[\frac{1}{3}\] = 0,3333…

Khi quan sát ví dụ trên, chúng ta nhận thấy rõ đây là phép tính cho ra kết quả với số 3 lặp lại mãi mãi. Lúc này, ta sẽ nói phân số \[\frac{1}{3}\] có số thập phân là 0,3333… Đây cũng chính là STP vô hạn tuần hoàn.

Thực tế, số 0,3333… này sẽ được viết gọn thành 0,3 (3) với ký hiệu (3) có nghĩa là số 3 được lặp lại vô hạn. Ngoài ra, con số này cũng được xem là chu kỳ của một STP vô hạn tuần hoàn.

Khám phá khái niệm của số thập phân vô hạn tuần hoàn

Để nhận biết nhanh chóng phân số nào có thể viết ra dưới dạng số thập phân này, bạn cần hiểu rõ hai định lý sau:

• Nếu phân số tối giản có mẫu dương, đồng thời mẫu này sở hữu ước khác 2 nguyên tố là 2 và 5, thì phân số đó có thể viết với dạng một STP vô hạn tuần hoàn. Ví dụ: \[\frac{1}{6}\] = 1,166666= 1,1 (6); \[\frac{1}{9}\] = 0,11111= 0,(1); \[\frac{2}{15}\] = 0,13333= 0,1 (3).
• Nếu phân số tối giản có mẫu dương, đồng thời mẫu này sở hữu ước chỉ có 2 nguyên tố là 2 và 5, phân số đó có thể viết với dạng số thập phân hữu hạn. Ví dụ: \[\frac{1}{2}\] = 0,5; \[\frac{2}{5}\] = 0,4; \[\frac{3}{10}\] = 0,3.

2. Làm tròn số thập phân vô hạn tuần hoàn/ hữu hạn

2.1. Dựa vào quy ước làm tròn của số thập phân

Quy ước làm tròn của số thập phân cụ thể như sau:

• Nếu chữ số đầu tiên trong những con số bị đem bỏ đi nhỏ hơn 5, chúng ta sẽ giữ nguyên bộ phận còn lại. Ở trường hợp số nguyên, ta cần thay các chữ số bị đem bỏ đi thành các con số 0.
• Nếu chữ số đầu tiên trong những con số bị đem bỏ đi bằng hoặc lớn hơn 5, chúng ta sẽ cộng 1 vào chữ số cuối của bộ phận còn lại. Ở trường hợp số nguyên, ta cần thay các chữ số bị đem bỏ đi thành các con số 0.

2.2. Dựa vào độ chính xác cho trước

Đối với cách này, khi làm tròn số đến hàng nào đó, kết quả làm tròn phải đạt độ chính xác bằng nửa đơn vị hàng làm tròn. Trong đó, bạn có thể xác định hàng làm tròn thích hợp dựa trên bảng sau:

3. Các dạng bài tập về số thập phân vô hạn tuần hoàn

3.1. Nhận biết phân số viết được với dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn

Ở kiểu bài tập này, phương pháp giải như sau:

• Chuyển phân số đã cho thành phân số tối giản sở hữu mẫu dương.
• Phân tích mẫu đó ra thừa số nguyên tố.
• Nếu mẫu chẳng có ước khác 2 nguyên tố là 2 và 5 => phân số sẽ viết được với dạng một số thập phân hữu hạn. Ngược lại, nếu mẫu sở hữu ước khác 2 nguyên tố là 2 và 5 => phân số viết được với dạng một STP vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ: Phân số \[\frac{11}{6}\] sẽ được viết với dạng STP hay hữu hạn?

Lời giải:

Ta có mẫu 6= 2.3 => ước có thêm nguyên tố 3 khác với 2 và 5 nên phân sẽ viết được dưới dạng STP vô hạn tuần hoàn.

3.2. Xác định chu kỳ số thập phân vô hạn tuần hoàn

Dạng bài tập này có phương pháp giải như sau:

• Dựa vào nội dung ở phần 1 của bài viết để nhận biết số thập phân hữu hạn và vô hạn tuần hoàn.
• Xét các chữ số sau dấu phẩy để tìm ra chu kỳ khi là STP vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ 1: Trong những số thập phân sau, số nào là STP vô hạn tuần hoàn, số nào là STP hữu hạn?

0,2; 1,1666…; 0,454545…; 0,5; 12, 5 (3)

Lời giải:

Trong những số đã cho ở trên:

• STP hữu hạn là: 0,2; 0,5.
• STP vô hạn tuần hoàn là: 1,1666…; 0,454545…; 12,5 (3).

Ví dụ 2: Viết những phân số sau dưới dạng STP rồi xác định xem nó có phải là STP vô hạn tuần hoàn hay không? Chỉ ra chu kỳ và viết gọn nếu số đó là STP vô hạn tuần hoàn.

\[\frac{5}{6}\] ; \[\frac{-1}{3}\] ; \[\frac{11}{220}\]

Lời giải:

\[\frac{5}{6}\]= 0,3125 => STP hữu hạn.

\[\frac{-1}{3}\]= -0,3333… = -0,(3) => STP vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là 3.

\[\frac{11}{220}\]= \[\frac{1}{20}\]= 0,05 => STP hữu hạn.

3.3. Chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số tối giản

Để giải dạng bài này, bạn cần hiểu các kiến thức sau:

• STP vô hạn tuần hoàn đơn có chu kỳ ngay sau dấu phẩy sẽ dùng công thức là: \[0,(a)=\frac{a}{9}\] và \[0,(ab)=\frac{ab}{99}\]
• Đối với STP vô hạn tuần hoàn tạp, ta cần lấy số tạo bởi phần bất thường và chu kỳ trừ phần tử bất thường để làm tử của phân số. Mẫu số sẽ gồm các số 9 (số lượng bằng số chữ trong chu kỳ) và kèm theo các con số 0 (số lượng bằng số chữ ở phần bất thường).

Ví dụ: Hãy viết các số thập phân sau dưới dạng một phân số tối giản:

0,(3); 1,(15); 1,02 (5)

Lời giải:

0,(3)= \[\frac{3}{9}\] = \[\frac{1}{3}\]

1,(15)= 1+ 0,(15)= 1 + \[\frac{15}{99}\]= \[\frac{38}{33}\]

1,02 (5)= 1,02 + \[\frac{5}{900}\] = \[\frac{923}{900}\]

3.4. Làm tròn số thập phân vô hạn tuần hoàn/ hữu hạn

Ở dạng bài này, bạn cần phải dựa những quy ước làm tròn của số thập phân và độ chính xác cho trước mà chúng tôi từng đề cập tại nội dung phần 2 của bài viết.

Ví dụ: Làm tròn 3 số thập phân sau đến hàng phần trăm:

1,(54); 3,14159…; 1,183183…

Lời giải:

\[1,(54)=1,545454…\approx 1,55\]

\[3,14159…\approx 3,14\]

\[1,183183…\approx 1,83\]

4. Bài tập vận dụng

4.1. Đề bài

Bài tập 1: Đâu là những phân số có thể viết với dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?

\[\frac{100}{275}\]; \[\frac{24}{300}\]; \[\frac{-8}{35}\]; \[\frac{13}{6}\]; \[\frac{65}{30}\]

Bài tập 2: Rút gọn và xác định đúng chu kỳ của những STP vô hạn tuần hoàn sau:

1,343434…; -2,151515…; 1,1111…; – 12,5555…; 1,183183…

Bài tập 3: Chuyển các số thập phân sau thành phân số tối giản

0,(4); 0,(21); -0,0(18); -2,4; 1,25

Bài tập 4: Làm tròn 5 số thập phân sau đến hàng phần mười:

1,(16); 2,(36); 3,14159; 2,256; 3,14

4.2. Đáp án

Bài tập 1: \[\frac{100}{275}\], \[\frac{-8}{35}\]; \[\frac{13}{6}\]

Bài tập 2: 1,(34) => chu kỳ là 34; -2,(15) => chu kỳ là 15; 1,(1) => chu kỳ là 1; -12 (5)=> chu kỳ là 5; 1,(183) => chu kỳ là 183.

Bài tập 3: 0,(4)= \[\frac{4}{9}\]; 0,(21)= \[\frac{7}{33}\]; -0,0 (18)= \[\frac{-1}{55}\]; -2,4= \[\frac{12}{5}\]; 1,25= \[\frac{1}{8}\]

Bài tập 4: \[1,(16)\approx 1,2\]; \[2,(36)\approx 2,4\]; \[3,14159\approx 3,1\]; \[2,256\approx 2,3\]; \[3,14\approx 3,1\]

Bài viết trên đây đã tổng hợp đầy đủ các kiến thức liên quan đến số thập phân vô hạn tuần hoàn mà chúng tôi muốn chia sẻ đến bạn. Mong rằng với những thông tin trên, bạn đọc đã có thể nhận diện dạng số này và biết được cách giải của một số dạng bài tập phổ biến nhé!

Bài viết Số thập phân vô hạn tuần hoàn: Các dạng bài tập phổ biến và ví dụ đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Bảng cửu chương nhân 59

Dưới đây là hình ảnh của bảng cửu chương nhân 59 mà chúng tôi muốn chia sẻ đến các bạn.

Bảng Cửu Chương Nhân 59

Bảng cửu chương của 59 là một bảng thể hiện phép nhân của số 59 với các số nguyên khác. Ghi nhớ bảng cửu chương 59 sẽ phát triển kỹ năng ghi nhớ và kỹ năng tính toán nhanh, điều này sẽ rất hữu ích khi giải các bài toán liên quan đến phép nhân và phép chia, vì sẽ làm cho các phép tính đơn giản hơn.

Mẹo học bảng cửu chương 59 nhanh:

• Cộng 59 liên tiếp để tìm đáp án: Phép nhân 59 cũng giống như việc cộng 59 nhiều lần lại với nhau. Dưới đây là ví dụ để giúp bạn dễ hiểu hơn:

  Ví dụ:

  Tìm kết quả của phép tính 59 x 3

  Đầu tiên, 59 x 3 cũng có thể được viết là 59 + 59 + 59

  Sau đó, 59 + 59 + 59 = 177

  Ta có, 59 x 3 = 177

  Vậy kết quả của phép tính 59 x 3 = 177

• Treo hình bảng cửu chương: Giúp bé làm quen với bảng x 59 bằng cách in hình bảng cửu chương ra và dán hình ảnh vào nơi mà trẻ dễ nhìn thấy nó thường xuyên nhất, điều này sẽ làm cho trẻ tiếp xúc với bảng cửu chương mỗi ngày, nếu như quên thì trẻ có thể nhìn thấy đáp án được luôn mà không cần mở sách, điều này giúp việc học bảng cửu chương của trẻ trở nên dễ dàng hơn.
• Luyện tập thường xuyên: Học thuộc 1 thứ gì đó đòi hỏi sự lặp đi lặp lại nhiều lần và luyện tập thường xuyên sẽ làm bạn nhớ kiến thức lâu hơn. Thay vì cứ bắt ép trẻ ngồi vào bàn và học thuộc liên tục; thì hàng ngày bố mẹ có thể thường xuyên đặt ra các câu hỏi hoặc câu đố liên quan đến bảng cửu chương để kích thích tư duy và khả năng trả lời của trẻ. Với cách này sẽ giúp cho trẻ cảm thấy không bị nhàm chán, vì tính cách của chúng thích chinh phục những câu hỏi, điều này sẽ giúp chúng ghi nhớ bảng cửu chương lâu hơn một cách rất tự nhiên và tạo phản xạ nhanh cho trẻ.

Ví dụ bảng cửu chương 59:

Ví dụ 1: Trong mỗi buổi học, người ta xếp 59 hàng ghế, mỗi hàng có 6 người. Hỏi buổi học đó có bao nhiêu người ngồi học?

Tóm tắt:

Người ta xếp: 59 hàng ghế

Mỗi hàng có: 6 người

Buổi học đó: ? người ngồi học.

Bài giải:

Số người ngồi học trong buổi học đó là :

59 x 6 = 354 (người)

=> Kết luận: Có 354 người ngồi học trong buổi học đó.

Ví dụ 2: Mỗi hộp có 59 cái kẹo. Hỏi 8 hộp có bao nhiêu cái kẹo?

Tóm tắt:

Mỗi hộp có: 59 cái kẹo

8 hộp có: ? cái kẹo

Bài giải:

Số kẹo có ở trong 8 hộp là:

59 x 8 = 472 (cái kẹo)

=> Kết luận: có tất cả 16 cái kẹo trong 8 hộp.

Bảng cửu chương

Bài viết Bảng Cửu Chương Nhân 59 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Bảng cửu chương nhân 36

Dưới đây là hình ảnh của bảng cửu chương nhân 36 mà chúng tôi muốn chia sẻ đến các bạn.

Bảng Cửu Chương Nhân 36

Bảng cửu chương của 36 là một bảng thể hiện phép X với các số nguyên khác. Ghi nhớ bảng cửu chương 36 sẽ phát triển kỹ năng ghi nhớ và kỹ năng tính toán nhanh, điều này sẽ rất hữu ích khi giải các bài toán liên quan đến phép X và phép chia, vì sẽ làm cho các phép tính đơn giản hơn.

Mẹo học bảng cửu chương 36 nhanh:

• Cộng 36 liên tiếp để tìm đáp án: Phép nhân 36 cũng giống như việc cộng 36 nhiều lần lại với nhau. Dưới đây là ví dụ để giúp bạn dễ hiểu hơn:Ví dụ:Tìm kết quả của phép tính 36 x 3Đầu tiên, 36 x 3 cũng có thể được viết là 36 + 36 + 36

  Sau đó, 36 + 36 + 36 = 108

  Ta có, 36 x 3 = 108

  Vậy kết quả của phép tính 36 x 3 = 108

• Treo hình bảng cửu chương: Giúp bé làm quen với bảng nhân 36 bằng cách in hình bảng cửu chương ra và dán hình ảnh vào nơi mà trẻ dễ nhìn thấy nó thường xuyên nhất, điều này sẽ làm cho trẻ tiếp xúc với bảng cửu chương mỗi ngày, nếu như quên thì trẻ có thể nhìn thấy đáp án được luôn mà không cần mở sách, điều này giúp việc học bảng cửu chương của trẻ trở nên dễ dàng hơn.
• Luyện tập thường xuyên: Học thuộc 1 thứ gì đó đòi hỏi sự lặp đi lặp lại nhiều lần và luyện tập thường xuyên sẽ làm bạn nhớ kiến thức lâu hơn. Thay vì cứ bắt ép trẻ ngồi vào bàn và học thuộc liên tục; thì hàng ngày bố mẹ có thể thường xuyên đặt ra các câu hỏi hoặc câu đố liên quan đến bảng cửu chương để kích thích tư duy và khả năng trả lời của trẻ. Với cách này sẽ giúp cho trẻ cảm thấy không bị nhàm chán, vì tính cách của chúng thích chinh phục những câu hỏi, điều này sẽ giúp chúng ghi nhớ bảng cửu chương lâu hơn một cách rất tự nhiên và tạo phản xạ nhanh cho trẻ.

Ví dụ bảng cửu chương 36:

Ví dụ 1: Trong mỗi buổi học, người ta xếp 36 hàng ghế, mỗi hàng có 6 người. Hỏi buổi học đó có bao nhiêu người ngồi học?

Tóm tắt:

Người ta xếp: 36 hàng ghế

Mỗi hàng có: 6 người

Buổi học đó: ? người ngồi học.

Bài giải:

Số người ngồi học trong buổi học đó là :

36 x 6 = 216 (người)

=> Kết luận: Có 216 người ngồi học trong buổi học đó.

Ví dụ 2: Mỗi hộp có 36 cái kẹo. Hỏi 8 hộp có bao nhiêu cái kẹo?

Tóm tắt:

Mỗi hộp có: 36 cái kẹo

8 hộp có: ? cái kẹo

Bài giải:

Số kẹo có ở trong 8 hộp là:

36 x 8 = 288 (cái kẹo)

=> Kết luận: có tất cả 16 cái kẹo trong 8 hộp.

Bảng cửu chương

Bài viết Bảng Cửu Chương Nhân 36 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Bảng cửu chương nhân 85

Dưới đây là hình ảnh của bảng cửu chương nhân 85 mà chúng tôi muốn chia sẻ đến các bạn.

Bảng Cửu Chương Nhân 85

Bảng cửu chương của 85 là một bảng thể hiện phép nhân của số 85 với các số nguyên khác. Ghi nhớ bảng cửu chương 85 sẽ phát triển kỹ năng ghi nhớ và kỹ năng tính toán nhanh, điều này sẽ rất hữu ích khi giải các bài toán liên quan đến phép nhân và phép chia, vì sẽ làm cho các phép tính đơn giản hơn.

Mẹo học bảng cửu chương 85 nhanh:

• Cộng 85 liên tiếp để tìm đáp án: Phép nhân 85 cũng giống như việc cộng 85 nhiều lần lại với nhau. Dưới đây là ví dụ để giúp bạn dễ hiểu hơn:

  Ví dụ:

  Tìm kết quả của phép tính 85 x 3

  Đầu tiên, 85 x 3 cũng có thể được viết là 85 + 85 + 85

  Sau đó, 85 + 85 + 85 = 255

  Ta có, 85 x 3 = 255

  Vậy kết quả của phép tính 85 x 3 = 255

• Treo hình bảng cửu chương: Giúp bé làm quen với bảng nhân 85 bằng cách in hình bảng cửu chương ra và dán hình ảnh vào nơi mà trẻ dễ nhìn thấy nó thường xuyên nhất, điều này sẽ làm cho trẻ tiếp xúc với bảng cửu chương mỗi ngày, nếu như quên thì trẻ có thể nhìn thấy đáp án được luôn mà không cần mở sách, điều này giúp việc học bảng cửu chương của trẻ trở nên dễ dàng hơn.
• Luyện tập thường xuyên: Học thuộc 1 thứ gì đó đòi hỏi sự lặp đi lặp lại nhiều lần và luyện tập thường xuyên sẽ làm bạn nhớ kiến thức lâu hơn. Thay vì cứ bắt ép trẻ ngồi vào bàn và học thuộc liên tục; thì hàng ngày bố mẹ có thể thường xuyên đặt ra các câu hỏi hoặc câu đố liên quan đến bảng cửu chương để kích thích tư duy và khả năng trả lời của trẻ. Với cách này sẽ giúp cho trẻ cảm thấy không bị nhàm chán, vì tính cách của chúng thích chinh phục những câu hỏi, điều này sẽ giúp chúng ghi nhớ bảng cửu chương lâu hơn một cách rất tự nhiên và tạo phản xạ nhanh cho trẻ.

Ví dụ bảng cửu chương 85:

Ví dụ 1: Trong mỗi buổi học, người ta xếp 85 hàng ghế, mỗi hàng có 6 người. Hỏi buổi học đó có bao nhiêu người ngồi học?

Tóm tắt:

Người ta xếp: 85 hàng ghế

Mỗi hàng có: 6 người

Buổi học đó: ? người ngồi học.

Bài giải:

Số người ngồi học trong buổi học đó là :

85 x 6 = 510 (người)

=> Kết luận: Có 510 người ngồi học trong buổi học đó.

Ví dụ 2: Mỗi hộp có 85 cái kẹo. Hỏi 8 hộp có bao nhiêu cái kẹo?

Tóm tắt:

Mỗi hộp có: 85 cái kẹo

8 hộp có: ? cái kẹo

Bài giải:

Số kẹo có ở trong 8 hộp là:

85 x 8 = 680 (cái kẹo)

=> Kết luận: có tất cả 16 cái kẹo trong 8 hộp.

Bảng cửu chương

Bài viết Bảng Cửu Chương Nhân 85 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Bảng cửu chương nhân 10

Dưới đây là hình ảnh của bảng cửu chương nhân 10 mà chúng tôi muốn chia sẻ đến các bạn.

Bảng Cửu Chương Nhân 10

Bảng cửu chương của 10 là một bảng thể hiện phép nhân của số 10 với các số nguyên khác. Ghi nhớ bảng cửu chương 10 sẽ phát triển kỹ năng ghi nhớ và kỹ năng tính toán nhanh, điều này sẽ rất hữu ích khi giải các bài toán liên quan đến phép nhân và phép chia, vì sẽ làm cho các phép tính đơn giản hơn.

Mẹo học bảng cửu chương 10 nhanh:

• Cộng 10 liên tiếp để tìm đáp án: Phép nhân 10 cũng giống như việc cộng 10 nhiều lần lại với nhau. Dưới đây là ví dụ để giúp bạn dễ hiểu hơn:

  Ví dụ:

  Tìm kết quả của phép tính 10 x 3

  Đầu tiên, 10 x 3 cũng có thể được viết là 10 + 10 + 10

  Sau đó, 10 + 10 + 10 = 30

  Ta có, 10 x 3 = 30

  Vậy kết quả của phép tính 10 x 3 = 30

• Treo hình bảng cửu chương: Giúp bé làm quen với bảng nhân 10 bằng cách in hình bảng cửu chương ra và dán hình ảnh vào nơi mà trẻ dễ nhìn thấy nó thường xuyên nhất, điều này sẽ làm cho trẻ tiếp xúc với bảng cửu chương mỗi ngày, nếu như quên thì trẻ có thể nhìn thấy đáp án được luôn mà không cần mở sách, điều này giúp việc học bảng cửu chương của trẻ trở nên dễ dàng hơn.
• Luyện tập thường xuyên: Học thuộc 1 thứ gì đó đòi hỏi sự lặp đi lặp lại nhiều lần và luyện tập thường xuyên sẽ làm bạn nhớ kiến thức lâu hơn. Thay vì cứ bắt ép trẻ ngồi vào bàn và học thuộc liên tục; thì hàng ngày bố mẹ có thể thường xuyên đặt ra các câu hỏi hoặc câu đố liên quan đến bảng cửu chương để kích thích tư duy và khả năng trả lời của trẻ. Với cách này sẽ giúp cho trẻ cảm thấy không bị nhàm chán, vì tính cách của chúng thích chinh phục những câu hỏi, điều này sẽ giúp chúng ghi nhớ bảng cửu chương lâu hơn một cách rất tự nhiên và tạo phản xạ nhanh cho trẻ.

Ví dụ bảng cửu chương 10:

Ví dụ 1: Trong mỗi buổi học, người ta xếp 10 hàng ghế, mỗi hàng có 6 người. Hỏi buổi học đó có bao nhiêu người ngồi học?

Tóm tắt:

Người ta xếp: 10 hàng ghế

Mỗi hàng có: 6 người

Buổi học đó: ? người ngồi học.

Bài giải:

Số người ngồi học trong buổi học đó là :

10 x 6 = 60 (người)

=> Kết luận: Có 60 người ngồi học trong buổi học đó.

Ví dụ 2: Mỗi hộp có 10 cái kẹo. Hỏi 8 hộp có bao nhiêu cái kẹo?

Tóm tắt:

Mỗi hộp có: 10 cái kẹo

8 hộp có: ? cái kẹo

Bài giải:

Số kẹo có ở trong 8 hộp là:

10 x 8 = 80 (cái kẹo)

=> Kết luận: có tất cả 16 cái kẹo trong 8 hộp.

Bảng cửu chương

Bài viết Bảng Cửu Chương Nhân 10 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Bảng cửu chương chia 4

Dưới đây là hình ảnh của bảng cửu chương chia 4 mà chúng tôi muốn chia sẻ cho các bạn.

Bảng Cửu Chương Chia 4

Mẹo học bảng cửu chương 4 nhanh:

Học thuộc bảng cửu chương nhanh không phải là một chuyện dễ dàng đối với nhiều người, đặc biệt là với các bạn nhỏ vì phải ghi nhớ quá nhiều con số. Vì vậy, đó là lý do chúng tôi đưa ra vài phương pháp dưới đây giúp các em dễ dàng ghi nhớ bảng cửu chương nhanh và lâu hơn.

Mẹo 1: Học thuộc bảng cửu chương từ dễ đến khó

Học thuộc bảng cửu chương là vô cùng quan trọng nhưng không phải ai cũng biết cách học hiệu quả và tạo sự hứng thú khi học cho trẻ. Ở Việt Nam, bảng cửu chương thông thường sẽ là từ bảng 2 đến bảng 9, vì vậy bố mẹ thường sẽ bắt ép các con học theo thứ tự, cách làm này sẽ khiến cho trẻ khó ghi nhớ và làm cho trẻ chán nản với việc học Toán.

Bố mẹ nên áp dụng phương pháp học từ bảng cửu chương dễ đến bảng khó; thay vì bắt trẻ học thuộc theo thứ tự từ bảng 2 đến bảng 9 thì cho trẻ học theo bảng có phép tính đơn giản dễ nhớ trước và tăng dần độ khó lên như là 5, 2, 3, 6, 9, 4, 8, 7.

Mẹo 2: Học bảng cửu chương bằng cách luyện tập liên tục

Thay vì cứ bắt ép trẻ ngồi vào bàn, học thuộc liên tục: thì hàng ngày bố mẹ có thể thường xuyên đặt ra các câu hỏi hoặc câu đố liên quan đến bảng cửu chương để kích thích tư duy và khả năng trả lời của trẻ. Vì học thuộc 1 thứ gì đó đòi hỏi sự lặp đi lặp lại nhiều lần và thường xuyên sẽ làm bạn nhớ kiến thức lâu hơn. Với cách này sẽ giúp cho trẻ cảm thấy không bị nhàm chán, vì tính cách của chúng thích chinh phục những câu hỏi, điều này sẽ giúp chúng ghi nhớ bảng cửu chương lâu hơn một cách rất tự nhiên và tạo phản xạ nhanh cho trẻ.

Mẹo 3: Học thuộc bảng cửu chương qua bài hát

Trẻ em thường rất khó nhớ những con số và tất nhiên là không thể tập trung học lâu được. Vì vậy, nếu học thuộc bảng cửu chương qua những lời bài hát có các giai điệu bắt tay sẽ giúp cho các bé thích thú và ghi nhớ nhanh hơn.

Mẹo 4: Treo hình ảnh bảng cửu chương

Với cách này, bố mẹ chỉ cần in hình bảng cửu chương ra và dán hình ảnh vào nơi mà trẻ dễ nhìn thấy nó thường xuyên nhất, điều này sẽ làm cho trẻ tiếp xúc với bảng cửu chương mỗi ngày, nếu như quên thì trẻ có thể nhìn thấy đáp án được luôn mà không cần mở sách, điều này giúp việc học bảng cửu chương của trẻ trở nên dễ dàng hơn.

Ví dụ bảng cửu chương chia 4:

Ví dụ 1:: Có tất cả 16 cái kẹo được chia đều vào 4 hộp. Hỏi mỗi hộp có bao nhiêu cái kẹo?

Tóm tắt:

Có tất cả: 16 cái kẹo

Chia đều: 4 hộp

Mỗi hộp có: ? cái kẹo

Bài giải:

Số cái kẹo mỗi hộp có tất cả là:

16 : 4 = 4 (cái kẹo)

=> Kết luận: Mỗi hộp có 4 cái kẹo.

Ví dụ 2: Có 24 cái bánh được xếp đều vào 4 hộp. Hỏi mỗi hộp có bao nhiêu cái bánh?

Tóm tắt:

Có: 24 cái bánh

Xếp đều: 4 hộp

Mỗi hộp: ? cái bánh

Bài giải:

Số cái bánh có ở trong mỗi hộp là:

24 : 4 = 6 (cái bánh)

=> Kết luận: Mỗi hộp có 6 cái bánh.

Bảng cửu chương

Bài viết Bảng Cửu Chương Chia 4 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Bảng cửu chương nhân 13

Dưới đây là hình ảnh của bảng cửu chương nhân 13 mà chúng tôi muốn chia sẻ đến các bạn.

Bảng Cửu Chương Nhân 13

Bảng cửu chương của 13 là một bảng thể hiện phép nhân của số 13 với các số nguyên khác. Ghi nhớ bảng cửu chương 13 sẽ phát triển kỹ năng ghi nhớ và kỹ năng tính toán nhanh, điều này sẽ rất hữu ích khi giải các bài toán liên quan đến phép nhân và phép chia, vì sẽ làm cho các phép tính đơn giản hơn.

Mẹo học bảng cửu chương 13 nhanh:

• Cộng 13 liên tiếp để tìm đáp án: Phép nhân 13 cũng giống như việc cộng 13 nhiều lần lại với nhau. Dưới đây là ví dụ để giúp bạn dễ hiểu hơn:Ví dụ:

  Tìm kết quả của phép tính 13 x 3

  Đầu tiên, 13 x 3 cũng có thể được viết là 13 + 13 + 13

  Sau đó, 13 + 13 + 13 = 39

  Ta có, 13 x 3 = 39

  Vậy kết quả của phép tính 13 x 3 = 39

• Treo hình bảng cửu chương: Giúp bé làm quen với bảng nhân 13 bằng cách in hình bảng cửu chương ra và dán hình ảnh vào nơi mà trẻ dễ nhìn thấy nó thường xuyên nhất, điều này sẽ làm cho trẻ tiếp xúc với bảng cửu chương mỗi ngày, nếu như quên thì trẻ có thể nhìn thấy đáp án được luôn mà không cần mở sách, điều này giúp việc học bảng cửu chương của trẻ trở nên dễ dàng hơn.
• Luyện tập thường xuyên: Học thuộc 1 thứ gì đó đòi hỏi sự lặp đi lặp lại nhiều lần và luyện tập thường xuyên sẽ làm bạn nhớ kiến thức lâu hơn. Thay vì cứ bắt ép trẻ ngồi vào bàn và học thuộc liên tục; thì hàng ngày bố mẹ có thể thường xuyên đặt ra các câu hỏi hoặc câu đố liên quan đến bảng cửu chương để kích thích tư duy và khả năng trả lời của trẻ. Với cách này sẽ giúp cho trẻ cảm thấy không bị nhàm chán, vì tính cách của chúng thích chinh phục những câu hỏi, điều này sẽ giúp chúng ghi nhớ bảng cửu chương lâu hơn một cách rất tự nhiên và tạo phản xạ nhanh cho trẻ.

Ví dụ bảng cửu chương 13:

Ví dụ 1: Trong mỗi buổi học, người ta xếp 13 hàng ghế, mỗi hàng có 6 người. Hỏi buổi học đó có bao nhiêu người ngồi học?

Tóm tắt:

Người ta xếp: 13 hàng ghế

Mỗi hàng có: 6 người

Buổi học đó: ? người ngồi học.

Bài giải:

Số người ngồi học trong buổi học đó là :

13 x 6 = 78 (người)

=> Kết luận: Có 78 người ngồi học trong buổi học đó.

Ví dụ 2: Mỗi hộp có 13 cái kẹo. Hỏi 8 hộp có bao nhiêu cái kẹo?

Tóm tắt:

Mỗi hộp có: 13 cái kẹo

8 hộp có: ? cái kẹo

Bài giải:

Số kẹo có ở trong 8 hộp là:

13 x 8 = 104 (cái kẹo)

=> Kết luận: có tất cả 16 cái kẹo trong 8 hộp.

Bảng cửu chương

Bài viết Bảng Cửu Chương Nhân 13 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu bảng cửu chương 10, cách học hiệu quả và các bài tập luyện tập giúp học sinh nắm vững bảng cửu chương này.

1. Bảng Cửu Chương 10: Công Thức Cơ Bản

Bảng cửu chương 10 là bảng nhân của số 10 với các số từ 1 đến 10. Phần lớn các phép nhân trong bảng cửu chương 10 khá đơn giản, và kết quả luôn dễ đoán vì mỗi phép nhân đều có một quy luật đặc trưng là nhân với 10 luôn kết quả là số đó thêm một con số 0 vào sau.

Dưới đây là bảng cửu chương 10:

​​Với bảng cửu chương 10, học sinh có thể dễ dàng nhận thấy một quy luật đơn giản: nhân một số với 10 chỉ cần thêm một số 0 vào sau kết quả của phép nhân. Điều này giúp học sinh tiết kiệm thời gian và công sức khi tính toán.

2. Cách Học Bảng Cửu Chương 10 Hiệu Quả

Mặc dù bảng cửu chương 10 đơn giản và dễ học, việc nắm vững nó vẫn cần có sự luyện tập và phương pháp học đúng đắn. Dưới đây là một số phương pháp học hiệu quả giúp học sinh nắm vững bảng cửu chương 10:

• Học theo quy luật chung: Một trong những đặc điểm nổi bật của bảng cửu chương 10 là các phép nhân có quy luật rất đơn giản. Khi nhân một số với 10, học sinh chỉ cần lấy số đó và thêm một chữ số 0 vào cuối. Ví dụ, 10 × 3 = 30, 10 × 7 = 70. Học sinh có thể dễ dàng nhận diện và áp dụng quy luật này trong mọi phép tính.
• Luyện tập qua bài tập: Mặc dù bảng cửu chương 10 đơn giản, nhưng học sinh vẫn cần luyện tập để khắc sâu kiến thức và nâng cao kỹ năng tính toán. Các bài tập đơn giản và đều đặn sẽ giúp học sinh củng cố bảng cửu chương này một cách vững chắc.
• Sử dụng flashcards: Flashcards là một công cụ học tập tuyệt vời giúp học sinh ôn tập bảng cửu chương 10. Bạn có thể làm thẻ flashcards với các phép nhân ở một mặt và kết quả ở mặt còn lại. Việc luyện tập với flashcards sẽ giúp học sinh nhanh chóng nhớ các phép nhân trong bảng và củng cố khả năng tính toán của mình.
• Áp dụng vào thực tế: Để học sinh có thể hiểu rõ hơn về ứng dụng của bảng cửu chương 10, bạn có thể đưa ra các tình huống thực tế trong cuộc sống. Ví dụ, khi đi mua sắm, học sinh có thể tính tổng số tiền khi mua nhiều món đồ có giá giống nhau. Việc áp dụng bảng cửu chương vào thực tế giúp học sinh thấy rõ tính ứng dụng của kiến thức và dễ dàng ghi nhớ hơn.
• Học kết hợp với vần điệu: Để giúp học sinh dễ dàng ghi nhớ bảng cửu chương 10, bạn có thể tạo ra các câu vần hoặc bài hát đơn giản liên quan đến phép nhân với 10. Việc kết hợp học với âm nhạc sẽ giúp học sinh cảm thấy học tập thú vị và dễ dàng ghi nhớ.

3. Các Bài Tập Luyện Tập Bảng Cửu Chương 10

Để giúp học sinh củng cố bảng cửu chương 10, dưới đây là một số bài tập luyện tập hữu ích. Các bài tập này không chỉ giúp học sinh thực hành phép nhân mà còn giúp các em nâng cao khả năng tư duy và tính toán.

Bài Tập 1: Điền kết quả vào ô trống.

Điền kết quả vào các phép tính sau:

10 × 1 = __

10 × 3 = __

10 × 5 = __

10 × 7 = __

10 × 10 = __

Bài Tập 2: Tính các phép nhân sau.

10 × 2 = ?

10 × 6 = ?

10 × 4 = ?

10 × 9 = ?

10 × 8 = ?

Bài Tập 3: Đánh dấu đúng () hoặc sai (✘).

Đánh dấu đúng nếu phép tính đúng và sai nếu phép tính sai:

10 × 3 = 30 ( )

10 × 5 = 55 ( )

10 × 6 = 65 ( )

10 × 4 = 40 ( )

10 × 10 = 100 ( )

Bài Tập 4: Bài tập ứng dụng

Bạn mua 10 cuốn sách, mỗi cuốn có giá 12.000 đồng. Hỏi bạn phải trả bao nhiêu tiền?

Cách giải:
Sử dụng phép nhân: 10 × 12.000 = 120.000 đồng.

Bài Tập 5: Bài tập nâng cao

Một người đi xe máy mỗi giờ đi được 10 km. Hỏi sau 9 giờ, người đó sẽ đi được bao nhiêu km?

Cách giải:
Sử dụng phép nhân: 10 × 9 = 90 km.

4. Lợi Ích Của Việc Luyện Tập Bảng Cửu Chương 10

Việc luyện tập bảng cửu chương 10 không chỉ giúp học sinh cải thiện khả năng tính toán mà còn mang lại một số lợi ích quan trọng khác:

• Giúp học sinh làm quen với các phép nhân lớn: Bảng cửu chương 10 giúp học sinh làm quen với các phép nhân có kết quả lớn hơn 10, điều này rất hữu ích khi các em phải tính toán với các con số lớn hơn trong tương lai.
• Tăng tốc độ tính toán: Việc học bảng cửu chương 10 giúp học sinh tính toán nhanh chóng và chính xác. Các em sẽ dễ dàng thực hiện các phép nhân trong phạm vi 100 mà không mất nhiều thời gian.
• Phát triển tư duy logic: Học sinh sẽ phát triển tư duy logic khi nhận diện quy luật trong bảng cửu chương 10 và ứng dụng vào thực tế. Việc hiểu được các quy luật và ứng dụng vào bài toán thực tế giúp học sinh giải quyết vấn đề hiệu quả hơn.

• Giải quyết các bài toán thực tế: Bảng cửu chương 10 giúp học sinh tính toán nhanh chóng trong các tình huống thực tế, chẳng hạn như tính tổng số tiền mua hàng, tính quãng đường đi được, và nhiều tình huống khác trong đời sống.

>>Xem thêm:

• Bài tập bảng cửu chương 2
• Bài tập bảng cửu chương 3
• Bài tập bảng cửu chương 4
• Bài tập bảng cửu chương 5
• Bài tập bảng cửu chương 6
• Bài tập bảng cửu chương 7
• Bài tập bảng cửu chương 8
• Bài tập bảng cửu chương 9

Bài viết Bài tập bảng cửu chương 10 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Bài viết này sẽ đi sâu vào bảng cửu chương 9, các bài tập luyện tập và phương pháp học hiệu quả, giúp học sinh dễ dàng nắm vững bảng cửu chương này.

1. Bảng Cửu Chương 9: Công Thức Cơ Bản

Bảng cửu chương 9 là bảng nhân của số 9 với các số từ 1 đến 10. Việc nắm vững bảng cửu chương 9 sẽ giúp học sinh thực hiện các phép nhân trong phạm vi 90, đồng thời giúp các em áp dụng vào nhiều bài toán thực tế khác. Dưới đây là bảng cửu chương 9:

​​Các phép nhân trong bảng cửu chương 9 có những đặc điểm dễ nhận diện, chẳng hạn như các kết quả của phép nhân với 9 luôn chia hết cho 9 và có những quy luật đặc biệt trong việc tính toán, giúp học sinh dễ dàng ghi nhớ.

2. Cách Học Bảng Cửu Chương 9 Hiệu Quả

Mặc dù bảng cửu chương 9 không quá khó học, nhưng với một số học sinh, việc ghi nhớ các phép tính vẫn có thể gặp khó khăn. Tuy nhiên, nếu biết cách học đúng đắn, việc nắm vững bảng cửu chương 9 sẽ trở nên dễ dàng hơn. Dưới đây là một số phương pháp học hiệu quả:

• Học từng phần nhỏ: Một trong những cách học hiệu quả là chia nhỏ bảng cửu chương 9 thành từng phần để học dần. Ví dụ, học sinh có thể bắt đầu với phép nhân đơn giản như “9 × 1 = 9” và sau đó tiếp tục với các phép nhân phức tạp hơn như “9 × 10 = 90”. Việc học theo từng phần nhỏ sẽ giúp học sinh dễ dàng ghi nhớ và không bị quá tải.
• Nhận diện các quy luật trong bảng: Một trong những điều thú vị về bảng cửu chương 9 là các quy luật trong bảng rất dễ nhận diện. Ví dụ, kết quả của tất cả phép nhân với 9 đều là các số chia hết cho 9. Đồng thời, nếu bạn lấy tổng các chữ số trong kết quả của phép nhân, bạn sẽ luôn thấy rằng tổng đó cũng chia hết cho 9 (ví dụ, 9 × 2 = 18, 1 + 8 = 9). Học sinh có thể tận dụng các quy luật này để học bảng nhanh chóng mà không cần phải nhớ từng phép nhân.
• Sử dụng bài hát và vần điệu: Một phương pháp học thú vị là sử dụng bài hát hoặc vần điệu để học bảng cửu chương 9. Việc kết hợp âm nhạc sẽ giúp trẻ ghi nhớ bảng cửu chương một cách dễ dàng hơn. Bạn có thể sáng tạo ra những câu vần đơn giản như “Chín lần ba là hai mươi bảy, chín lần năm là bốn mươi lăm” để giúp trẻ học mà không cảm thấy nhàm chán.
• Luyện tập với flashcards: Flashcards là một công cụ học tập rất hữu ích giúp học sinh ôn tập và củng cố kiến thức. Bạn có thể tạo flashcards với các phép tính ở một mặt và kết quả ở mặt còn lại. Bằng cách luyện tập với flashcards, học sinh có thể dễ dàng kiểm tra lại những gì mình đã học và cải thiện khả năng tính toán nhanh chóng.
• Áp dụng vào tình huống thực tế: Việc giúp học sinh áp dụng bảng cửu chương vào các tình huống thực tế sẽ giúp trẻ hiểu rõ hơn về ứng dụng của các phép tính trong cuộc sống. Ví dụ, khi bạn đi mua sắm, bạn có thể yêu cầu học sinh tính số tiền cần phải trả khi mua nhiều món đồ với giá giống nhau (ví dụ: 9 món đồ, mỗi món giá 10.000 đồng).

3. Các Bài Tập Luyện Tập Bảng Cửu Chương 9

Để giúp học sinh củng cố kiến thức về bảng cửu chương 9, dưới đây là một số bài tập luyện tập giúp học sinh dễ dàng ghi nhớ và thực hành các phép tính.

Bài Tập 1: Điền kết quả vào ô trống.

Điền kết quả vào các phép tính sau:

9 × 1 = __

9 × 3 = __

9 × 6 = __

9 × 7 = __

9 × 10 = __

Bài Tập 2: Tính các phép nhân sau.

9 × 2 = ?

9 × 4 = ?

9 × 5 = ?

9 × 8 = ?

9 × 9 = ?

Bài Tập 3: Đánh dấu đúng () hoặc sai (✘).

Đánh dấu đúng nếu phép tính đúng và sai nếu phép tính sai:

9 × 6 = 56 ( )

9 × 7 = 63 ( )

9 × 8 = 72 ( )

9 × 4 = 36 ( )

9 × 5 = 50 ( )

Bài Tập 4: Bài tập ứng dụng

Một cửa hàng bán các cuốn sách, mỗi cuốn sách có giá 9.000 đồng. Nếu bạn mua 5 cuốn sách, bạn sẽ phải trả bao nhiêu tiền?

Cách giải:
Sử dụng phép nhân: 9 × 5 = 45.000 đồng.

Bài Tập 5: Bài tập nâng cao

Một thùng chứa 9 lít nước. Hỏi 6 thùng nước như vậy sẽ chứa bao nhiêu lít nước?

Cách giải:
Sử dụng phép nhân: 9 × 6 = 54 lít nước.

4. Lợi Ích Của Việc Luyện Tập Bảng Cửu Chương 9

Việc luyện tập bảng cửu chương 9 không chỉ giúp học sinh cải thiện khả năng tính toán mà còn mang lại một số lợi ích quan trọng khác:

• Tăng khả năng tính toán nhanh và chính xác: Khi học sinh nắm vững bảng cửu chương 9, khả năng tính toán của các em sẽ nhanh chóng và chính xác hơn. Điều này rất hữu ích khi các em làm bài toán lớn và cần tính toán nhiều phép nhân trong thời gian ngắn.
• Phát triển tư duy logic: Việc học bảng cửu chương 9 giúp học sinh phát triển tư duy logic khi nhận diện các quy luật trong phép nhân. Việc học các số có mối quan hệ chặt chẽ như vậy sẽ giúp trẻ tư duy rõ ràng và giải quyết vấn đề hiệu quả hơn.
• Giải quyết bài toán thực tế: Bảng cửu chương 9 không chỉ giúp học sinh tính toán nhanh mà còn giúp các em áp dụng vào những bài toán thực tế trong cuộc sống, chẳng hạn như tính tiền khi mua sắm, tính số lượng đồ vật, hoặc tính toán trong các tình huống khác.

• Chuẩn bị cho các bài toán nâng cao: Nắm vững bảng cửu chương 9 là bước chuẩn bị quan trọng giúp học sinh tiếp cận các bài toán phức tạp hơn trong các lớp học sau, đặc biệt là khi học các phép toán liên quan đến phân số, tỷ lệ và các phép toán trong toán học nâng cao.

>>Xem thêm:

• Bài tập bảng cửu chương 2
• Bài tập bảng cửu chương 3
• Bài tập bảng cửu chương 4
• Bài tập bảng cửu chương 5
• Bài tập bảng cửu chương 6
• Bài tập bảng cửu chương 7
• Bài tập bảng cửu chương 8
• Bài tập bảng cửu chương 10

Bài viết Bài tập bảng cửu chương 9 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về bảng cửu chương 8, cách học bảng này hiệu quả và các bài tập luyện tập giúp học sinh nắm vững bảng cửu chương này.

1. Bảng Cửu Chương 8: Công Thức Cơ Bản

Bảng cửu chương 8 là bảng nhân của số 8 với các số từ 1 đến 10. Việc nắm vững bảng cửu chương 8 sẽ giúp học sinh thực hiện các phép nhân trong phạm vi 80 và giải quyết các bài toán phức tạp hơn sau này. Dưới đây là bảng cửu chương 8:

​​

Bảng cửu chương 8 không chỉ giúp học sinh hiểu được phép nhân cơ bản mà còn giúp các em làm quen với các con số lớn hơn và các bài toán toán học phức tạp hơn. Việc nắm vững bảng cửu chương này là bước quan trọng để học sinh tiếp cận với các phép toán khác như chia, cộng, trừ và giải quyết các bài toán trong các lớp học cao hơn.

2. Cách Học Bảng Cửu Chương 8 Hiệu Quả

Việc học bảng cửu chương 8 có thể gây một chút khó khăn đối với một số học sinh, đặc biệt là khi phải ghi nhớ nhiều phép nhân trong phạm vi 80. Tuy nhiên, nếu áp dụng phương pháp học hợp lý, việc nắm vững bảng cửu chương này sẽ trở nên dễ dàng hơn. Dưới đây là một số phương pháp học hiệu quả:

• Học từng bước một: Học sinh không nên cố gắng học tất cả các phép tính trong một lần mà nên chia nhỏ các phép nhân ra. Mỗi ngày, học sinh có thể học thuộc 3 đến 4 phép tính, bắt đầu từ phép nhân dễ nhất như “8 × 1 = 8” rồi tiếp tục dần dần cho đến “8 × 10 = 80”. Phương pháp học từng bước giúp trẻ không bị quá tải và dễ dàng ghi nhớ lâu dài.
• Nhận diện quy luật trong bảng cửu chương: Một trong những phương pháp giúp học sinh học bảng cửu chương nhanh chóng là nhận diện các quy luật có trong bảng. Ví dụ, tất cả các kết quả trong bảng cửu chương 8 đều là những số chẵn, và các số trong bảng có sự tăng dần đều theo một chu kỳ nhất định. Việc nhận diện các quy luật này giúp học sinh không phải ghi nhớ từng phép nhân một cách rời rạc mà có thể nắm được một cách tổng thể.
• Sử dụng âm nhạc và vần điệu: Một cách rất hiệu quả để học bảng cửu chương là thông qua việc hát hoặc đọc theo nhịp vần điệu. Việc tạo ra một bài hát hoặc câu vần ngắn gọn sẽ giúp học sinh dễ dàng ghi nhớ bảng cửu chương 8. Chẳng hạn, bạn có thể tạo ra một câu vần như “Tám lần hai là mười sáu, tám lần ba là hai mươi bốn,” để giúp học sinh nhớ các kết quả nhanh hơn.
• Luyện tập với flashcards: Flashcards là một công cụ học tập hiệu quả giúp học sinh ôn tập các phép nhân. Bạn có thể tạo ra các flashcards với phép nhân ở một mặt và kết quả ở mặt còn lại. Việc luyện tập với flashcards giúp học sinh củng cố kiến thức và kiểm tra lại khả năng nhớ các phép tính của mình.
• Áp dụng vào thực tế: Việc áp dụng bảng cửu chương vào các tình huống thực tế sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của phép nhân trong cuộc sống. Ví dụ, khi đi mua sắm, bạn có thể yêu cầu học sinh tính tổng số tiền khi mua nhiều món đồ với giá trị giống nhau. Hoặc bạn có thể yêu cầu học sinh tính số lượng nước trong nhiều chai nếu mỗi chai có cùng dung tích.

3. Các Bài Tập Luyện Tập Bảng Cửu Chương 8

Để giúp học sinh củng cố kiến thức về bảng cửu chương 8, dưới đây là một số bài tập luyện tập giúp học sinh ghi nhớ lâu dài và thực hành các phép tính.

Bài Tập 1: Điền kết quả vào ô trống.

Điền kết quả vào các phép tính sau:

8 × 1 = __

8 × 3 = __

8 × 6 = __

8 × 7 = __

8 × 10 = __

Bài Tập 2: Tính các phép nhân sau.

8 × 2 = ?

8 × 5 = ?

8 × 4 = ?

8 × 9 = ?

8 × 8 = ?

Bài Tập 3: Đánh dấu đúng () hoặc sai (✘).

Đánh dấu đúng nếu phép tính đúng và sai nếu phép tính sai:

8 × 5 = 45 ( )

8 × 7 = 56 ( )

8 × 6 = 36 ( )

8 × 8 = 64 ( )

8 × 9 = 72 ( )

Bài Tập 4: Bài tập ứng dụng

Một người bạn mua 8 cuốn sách, mỗi cuốn có giá 10.000 đồng. Hỏi bạn ấy sẽ phải trả bao nhiêu tiền tổng cộng?

Cách giải:
Sử dụng phép nhân: 8 × 10.000 = 80.000 đồng.

Bài Tập 5: Bài tập nâng cao

Một thùng chứa 8 lít nước. Hỏi 5 thùng nước như vậy chứa tổng cộng bao nhiêu lít nước?

Cách giải:
Sử dụng phép nhân: 8 × 5 = 40 lít nước.

4. Lợi Ích Của Việc Luyện Tập Bảng Cửu Chương 8

Việc luyện tập bảng cửu chương 8 không chỉ giúp học sinh cải thiện khả năng tính toán mà còn giúp các em phát triển một số kỹ năng quan trọng khác:

• Tăng khả năng tính toán nhanh: Khi học sinh thuộc bảng cửu chương 8, khả năng tính toán của các em sẽ nhanh chóng và chính xác hơn. Điều này giúp học sinh thực hiện các phép tính phức tạp mà không phải mất nhiều thời gian.
• Phát triển tư duy logic: Việc học và hiểu các quy luật trong bảng cửu chương 8 giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.
• Giải quyết các bài toán thực tế: Việc nắm vững bảng cửu chương 8 giúp học sinh có thể giải quyết các bài toán thực tế, chẳng hạn như tính toán số lượng đồ vật, tổng số tiền khi mua sắm hoặc tính toán trong các tình huống khác.

• Chuẩn bị cho các bài toán nâng cao: Việc học bảng cửu chương 8 là bước chuẩn bị quan trọng để học sinh tiếp cận các bài toán nâng cao, các phép toán phức tạp hơn trong các lớp học sau.

>>Xem thêm:

• Bài tập bảng cửu chương 2
• Bài tập bảng cửu chương 3
• Bài tập bảng cửu chương 4
• Bài tập bảng cửu chương 5
• Bài tập bảng cửu chương 6
• Bài tập bảng cửu chương 7
• Bài tập bảng cửu chương 9
• Bài tập bảng cửu chương 10

Bài viết Bài tập bảng cửu chương 8 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về bảng cửu chương 7, các bài tập luyện tập và phương pháp học hiệu quả giúp học sinh dễ dàng nắm vững bảng cửu chương này.

1. Bảng Cửu Chương 7: Công Thức Cơ Bản

Bảng cửu chương 7 là bảng nhân của số 7 với các số từ 1 đến 10. Việc học bảng cửu chương 7 sẽ giúp trẻ làm quen với các phép nhân trong phạm vi 70, đồng thời phát triển khả năng tính toán nhanh và chính xác. Dưới đây là bảng cửu chương 7:

​​

Các phép nhân trong bảng cửu chương 7 có đặc điểm là kết quả của phép nhân giữa số 7 và các số trong bảng thường là những số khá dễ nhận diện, ví dụ, kết quả luôn chia hết cho 7. Việc học bảng cửu chương này là một bước quan trọng trong quá trình học toán, giúp học sinh tiếp cận với các bài toán phức tạp hơn sau này.

2. Cách Học Bảng Cửu Chương 7 Hiệu Quả

Việc học bảng cửu chương 7 có thể gặp một số khó khăn nhất định đối với một số trẻ em, nhưng nếu áp dụng đúng phương pháp học, việc ghi nhớ bảng cửu chương này sẽ trở nên dễ dàng hơn. Dưới đây là một số phương pháp học hiệu quả:

• Học dần dần và liên tục: Để ghi nhớ bảng cửu chương 7, trẻ nên học từ từ, không nên học một lần quá nhiều phép tính. Bạn có thể chia bảng thành từng phần nhỏ và luyện tập từng bước. Ví dụ, bắt đầu với phép nhân đơn giản như “7 × 1 = 7” và tiếp tục đến “7 × 10 = 70.” Học theo từng phần giúp trẻ không bị cảm giác quá tải và dễ dàng ghi nhớ lâu dài.
• Nhận diện các quy luật trong phép nhân: Một trong những phương pháp giúp học bảng cửu chương nhanh là giúp trẻ nhận diện các quy luật. Ví dụ, bạn có thể chỉ ra rằng mọi phép nhân với 7 đều có kết quả là một số chia hết cho 7 và kết thúc bằng các số như 7, 4, 1, 8, 5, 2. Điều này giúp trẻ dễ dàng ghi nhớ và tìm ra kết quả mà không cần phải tính toán quá lâu.
• Sử dụng vần điệu hoặc bài hát: Việc học thông qua âm nhạc và vần điệu là một cách hiệu quả giúp trẻ dễ dàng ghi nhớ các phép tính. Bạn có thể sáng tạo ra một bài hát ngắn hoặc một câu vần điệu có liên quan đến bảng cửu chương 7. Ví dụ: “Bảy lần ba là hai mươi mốt, bảy lần bốn là hai mươi tám,” hoặc sử dụng những câu thơ ngắn gọn để giúp trẻ ghi nhớ nhanh hơn.
• Luyện tập thông qua flashcards: Flashcards là một công cụ học tập hữu ích giúp trẻ ôn lại các phép nhân. Bạn có thể tạo ra các flashcards với phép nhân ở một mặt và kết quả ở mặt còn lại, để trẻ có thể tự học hoặc luyện tập cùng bạn bè và người thân. Việc luyện tập với flashcards giúp trẻ kiểm tra lại kiến thức của mình một cách dễ dàng và thú vị.
• Áp dụng vào các tình huống thực tế: Việc giúp trẻ áp dụng bảng cửu chương vào các tình huống thực tế cũng rất quan trọng. Ví dụ, khi bạn đi mua sắm, bạn có thể yêu cầu trẻ tính tổng số tiền khi mua nhiều món đồ với giá trị giống nhau (ví dụ: 7 món đồ, mỗi món 10.000 đồng). Cách học này không chỉ giúp trẻ hiểu rõ hơn về bảng cửu chương, mà còn phát triển khả năng tư duy logic và tính toán trong cuộc sống hàng ngày.

3. Các Bài Tập Luyện Tập Bảng Cửu Chương 7

Để giúp trẻ củng cố kiến thức về bảng cửu chương 7, dưới đây là một số bài tập luyện tập:

Bài Tập 1: Điền kết quả vào ô trống.

Điền kết quả vào các phép tính sau:

7 × 1 = __

7 × 3 = __

7 × 6 = __

7 × 7 = __

7 × 10 = __

Bài Tập 2: Tính các phép nhân sau.

7 × 2 = ?

7 × 5 = ?

7 × 4 = ?

7 × 9 = ?

7 × 8 = ?

Bài Tập 3: Đánh dấu đúng () hoặc sai (✘).

Đánh dấu đúng nếu phép tính đúng và sai nếu phép tính sai:

7 × 5 = 35 ( )

7 × 8 = 56 ( )

7 × 9 = 70 ( )

7 × 6 = 40 ( )

7 × 3 = 21 ( )

Bài Tập 4: Bài tập ứng dụng

Một cửa hàng bán các cuốn sách, mỗi cuốn sách có giá 7.000 đồng. Nếu bạn mua 6 cuốn sách, bạn sẽ phải trả bao nhiêu tiền?

Cách giải: Sử dụng phép nhân: 7 × 6 = 42.000 đồng.

Bài Tập 5: Bài tập nâng cao

Một người bạn có 7 thùng nước, mỗi thùng chứa 8 lít nước. Tổng cộng bạn có bao nhiêu lít nước?

Cách giải: Sử dụng phép nhân: 7 × 8 = 56 lít nước.

4. Lợi Ích Của Việc Luyện Tập Bảng Cửu Chương 7

Luyện tập bảng cửu chương 7 không chỉ giúp trẻ cải thiện khả năng tính toán mà còn giúp trẻ phát triển một số kỹ năng quan trọng khác:

• Tăng cường khả năng tính toán nhanh: Khi trẻ đã thuộc lòng bảng cửu chương 7, khả năng tính toán nhanh chóng và chính xác sẽ được nâng cao. Điều này giúp trẻ thực hiện các phép tính trong các bài toán phức tạp hơn sau này.
• Phát triển tư duy logic: Học bảng cửu chương giúp trẻ phát triển tư duy logic khi giải quyết các bài toán. Việc nhận diện các quy luật trong phép nhân sẽ giúp trẻ hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các số.
• Cải thiện khả năng giải quyết vấn đề: Việc luyện tập bảng cửu chương giúp trẻ có khả năng giải quyết các bài toán thực tế, chẳng hạn như tính toán số lượng đồ vật, chia sẻ đồ ăn, tính tổng số tiền khi mua sắm…

• Nền tảng vững chắc cho các bài toán nâng cao: Học tốt bảng cửu chương 7 là nền tảng vững chắc để trẻ tiếp cận với các bài toán nâng cao và các kỹ năng toán học trong tương lai.

• Bài tập bảng cửu chương 2
• Bài tập bảng cửu chương 3
• Bài tập bảng cửu chương 4
• Bài tập bảng cửu chương 5
• Bài tập bảng cửu chương 6
• Bài tập bảng cửu chương 8
• Bài tập bảng cửu chương 9
• Bài tập bảng cửu chương 10

Bài viết Bài tập bảng cửu chương 7 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Bảng Cửu Chương 6: Công Thức Cơ Bản

Bảng cửu chương 6 là bảng nhân của số 6 với các số từ 1 đến 10. Việc nắm vững bảng này là bước quan trọng để trẻ học cách thực hiện phép nhân và giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Dưới đây là bảng cửu chương 6:

​​

Bảng cửu chương 6 có một số đặc điểm thú vị: Các kết quả của phép nhân với số 6 thường kết thúc bằng một con số chẵn và rất dễ nhận ra khi bạn nhìn vào các phép toán. Việc ghi nhớ các kết quả này sẽ giúp trẻ có thể thực hiện các phép tính nhanh chóng trong tương lai.

2. Cách Học Bảng Cửu Chương 6 Hiệu Quả

Để học bảng cửu chương 6 một cách hiệu quả, trẻ cần một phương pháp học tập hợp lý và kiên trì. Dưới đây là một số phương pháp hữu ích giúp trẻ dễ dàng nắm vững bảng cửu chương 6:

• Luyện tập dần dần: Bạn có thể chia bảng cửu chương 6 thành từng phần nhỏ và luyện tập từng phép nhân một. Ví dụ, bắt đầu với phép nhân dễ nhất, 6 × 1 = 6, rồi tiếp tục với các phép nhân khác. Việc học từng bước một giúp trẻ không cảm thấy bị quá tải và dễ dàng ghi nhớ.
• Nhận diện quy luật: Một cách học hiệu quả là giúp trẻ nhận diện quy luật trong bảng cửu chương. Ví dụ, tất cả các phép nhân của số 6 đều có kết quả là các số chia hết cho 6 và kết thúc bằng số chẵn. Việc nhận biết quy luật giúp trẻ học nhanh hơn và nhớ lâu hơn.
• Sử dụng vần điệu và bài hát: Để làm việc học trở nên thú vị và dễ nhớ, bạn có thể giúp trẻ tạo ra các bài vần hoặc bài hát nhỏ để ghi nhớ bảng cửu chương 6. Các bài hát dễ thuộc sẽ giúp trẻ nhớ các kết quả của phép nhân nhanh hơn.
• Thực hành thường xuyên: Việc luyện tập thường xuyên rất quan trọng để củng cố kiến thức. Bạn có thể cho trẻ làm bài tập bảng cửu chương mỗi ngày để đảm bảo trẻ ghi nhớ các phép tính. Ngoài ra, việc sử dụng flashcards với phép tính ở một mặt và kết quả ở mặt còn lại sẽ giúp trẻ kiểm tra kiến thức của mình.
• Áp dụng vào thực tế: Bạn có thể giúp trẻ áp dụng bảng cửu chương 6 vào các tình huống thực tế để trẻ thấy rõ được sự hữu ích của việc học bảng này. Ví dụ, khi đi mua sắm, bạn có thể yêu cầu trẻ tính toán số tiền tổng cộng khi mua nhiều món đồ có giá trị giống nhau (ví dụ: 6 món đồ mỗi món 5.000 đồng).

3. Các Bài Tập Luyện Tập Bảng Cửu Chương 6

Để giúp trẻ củng cố và rèn luyện kỹ năng tính toán với bảng cửu chương 6, dưới đây là một số bài tập hữu ích:

Bài Tập 1: Điền số thích hợp vào ô trống.

Điền kết quả vào bảng sau:

6 × 1 = __

6 × 4 = __

6 × 7 = __

6 × 9 = __

6 × 10 = __

Bài Tập 2: Tính các phép nhân sau.

6 × 2 = ?

6 × 5 = ?

6 × 3 = ?

6 × 6 = ?

6 × 8 = ?

Bài Tập 3: Đúng hay sai?

Đánh dấu đúng () nếu kết quả đúng và sai (✘) nếu kết quả sai:

6 × 4 = 24 ( )

6 × 10 = 60 ( )

6 × 9 = 55 ( )

6 × 3 = 18 ( )

6 × 7 = 42 ( )

Bài Tập 4: Bài tập ứng dụng

Một thùng nước có 6 lít. Nếu có 5 thùng nước như vậy, tổng số lít nước là bao nhiêu?

Cách giải: Sử dụng phép nhân: 6 × 5 = 30 lít nước.

Bài Tập 5: Bài tập nâng cao

Một bạn có 6 gói bánh, mỗi gói có 7 chiếc bánh. Hỏi bạn có bao nhiêu chiếc bánh?

Cách giải: Sử dụng phép nhân: 6 × 7 = 42 chiếc bánh.

4. Lợi Ích Của Việc Luyện Tập Bảng Cửu Chương 6

Việc luyện tập bảng cửu chương 6 mang lại nhiều lợi ích cho trẻ, không chỉ giúp các em thực hiện các phép tính chính xác mà còn phát triển các kỹ năng quan trọng trong việc học toán. Dưới đây là một số lợi ích khi trẻ học bảng cửu chương 6:

• Cải thiện khả năng tính toán nhanh chóng: Khi trẻ nắm vững bảng cửu chương 6, khả năng tính toán sẽ trở nên nhanh chóng và chính xác hơn. Trẻ sẽ có thể thực hiện các phép tính phức tạp mà không phải suy nghĩ quá lâu.
• Phát triển tư duy logic: Luyện tập bảng cửu chương giúp trẻ phát triển khả năng nhận diện mối quan hệ giữa các số và phép nhân, giúp nâng cao tư duy logic.
• Giải quyết các bài toán thực tế: Việc nắm vững bảng cửu chương 6 giúp trẻ có thể giải quyết các bài toán thực tế trong cuộc sống, từ việc tính toán số lượng món đồ đến tính tổng số tiền khi đi mua sắm hoặc chia sẻ đồ vật.

• Chuẩn bị cho các bài toán nâng cao: Học bảng cửu chương 6 không chỉ là việc học thuộc lòng các phép tính, mà còn giúp trẻ phát triển tư duy giải quyết vấn đề. Điều này là nền tảng để trẻ tiếp cận các bài toán nâng cao trong các cấp học sau.

>>Xem thêm:

• Bài tập bảng cửu chương 2
• Bài tập bảng cửu chương 3
• Bài tập bảng cửu chương 4
• Bài tập bảng cửu chương 5
• Bài tập bảng cửu chương 7
• Bài tập bảng cửu chương 8
• Bài tập bảng cửu chương 9
• Bài tập bảng cửu chương 10

Bài viết Bài tập bảng cửu chương 6 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Bảng Cửu Chương 5: Công Thức Cơ Bản

Bảng cửu chương 5 là bảng nhân của số 5 với các số từ 1 đến 10. Bảng này có tính chất khá dễ học nhờ vào các kết quả dễ nhận biết, đặc biệt là các phép nhân của 5 luôn có kết quả là một số chia hết cho 5 (ví dụ: 5 × 2 = 10, 5 × 3 = 15…). Dưới đây là bảng cửu chương 5:

2. Cách Học Bảng Cửu Chương 5 Hiệu Quả
Bảng cửu chương 5 là một trong những bảng dễ học nhưng cũng cần có phương pháp học hợp lý để trẻ có thể ghi nhớ lâu dài và áp dụng vào các bài toán. Dưới đây là một số cách học hiệu quả:

Luyện tập với các phép nhân cơ bản: Để trẻ học bảng cửu chương 5 hiệu quả, bạn nên cho trẻ luyện tập với từng phép nhân trong bảng. Học từ từ, từ “5 × 1 = 5” đến “5 × 10 = 50” giúp trẻ nhớ lâu hơn. Bạn có thể chia bảng thành các phần nhỏ và luyện tập mỗi ngày.

Dạy trẻ nhận diện quy luật: Một đặc điểm dễ nhận biết của bảng cửu chương 5 là tất cả các kết quả đều chia hết cho 5 và kết thúc bằng số 0 hoặc số 5 (ví dụ: 5 × 1 = 5, 5 × 2 = 10, 5 × 3 = 15…). Khi trẻ nhận thức được quy luật này, việc học bảng cửu chương 5 sẽ trở nên dễ dàng và nhanh chóng hơn.

Sử dụng phương pháp vần điệu: Các câu vần điệu đơn giản sẽ giúp trẻ dễ dàng ghi nhớ bảng cửu chương. Bạn có thể tạo ra những câu chuyện hoặc bài hát ngắn để trẻ dễ dàng nhớ các phép tính. Ví dụ, “Năm lần ba là mười lăm,” “Năm lần bốn là hai mươi.”

Áp dụng trong các tình huống thực tế: Bạn có thể giúp trẻ liên kết bảng cửu chương 5 với các tình huống thực tế để trẻ dễ nhớ hơn. Ví dụ, bạn có thể nói về việc chia sẻ số lượng đồ vật cho bạn bè, việc tính tiền khi đi mua sắm, hay chia đều món quà cho các bạn.

Luyện tập với flashcards: Các flashcards sẽ là công cụ hữu ích giúp trẻ ôn luyện bảng cửu chương 5. Bạn có thể làm flashcards với các phép tính ở một mặt và kết quả ở mặt kia. Trẻ có thể tự học hoặc luyện tập cùng với bạn bè, người thân để kiểm tra nhanh kiến thức.

3. Các Bài Tập Luyện Tập Bảng Cửu Chương 5
Để giúp trẻ nắm vững bảng cửu chương 5, bạn có thể cho trẻ thực hành với các bài tập dưới đây:

Bài Tập 1: Điền số thích hợp vào ô trống.

Điền kết quả vào bảng sau:

5 × 1 = __
5 × 4 = __
5 × 7 = __
5 × 9 = __
5 × 10 = __

Bài Tập 2: Tính các phép nhân sau.

5 × 2 = ?
5 × 5 = ?
5 × 6 = ?
5 × 3 = ?
5 × 8 = ?

Bài Tập 3: Đúng hay sai?

Đánh dấu đúng () nếu kết quả đúng và sai (✘) nếu kết quả sai:

5 × 3 = 15 ( )
5 × 10 = 40 ( )
5 × 4 = 20 ( )
5 × 7 = 35 ( )
5 × 2 = 8 ( )

Bài Tập 4: Bài tập ứng dụng

Một cửa hàng bán các gói kẹo, mỗi gói có 5 viên kẹo. Hỏi nếu bạn mua 6 gói kẹo, bạn sẽ có bao nhiêu viên kẹo?

Cách giải: Sử dụng phép nhân: 5 × 6 = 30 viên kẹo.

Bài Tập 5: Bài tập nâng cao

Một bạn có 5 thùng nước, mỗi thùng có 8 lít nước. Hỏi bạn có tổng cộng bao nhiêu lít nước?

Cách giải: Sử dụng phép nhân: 5 × 8 = 40 lít nước.

4. Lợi Ích Của Việc Luyện Tập Bảng Cửu Chương 5
Luyện tập bảng cửu chương 5 không chỉ giúp trẻ nhanh chóng nắm vững phép nhân của số 5 mà còn mang lại nhiều lợi ích quan trọng cho sự phát triển toán học của trẻ. Dưới đây là một số lợi ích của việc luyện tập bảng cửu chương 5:

Cải thiện khả năng tính toán nhanh chóng: Khi trẻ đã nắm vững bảng cửu chương 5, khả năng tính toán nhanh chóng sẽ được cải thiện. Điều này giúp trẻ thực hiện các phép tính dễ dàng và chính xác hơn trong các bài toán phức tạp hơn sau này.

Phát triển tư duy logic: Việc học bảng cửu chương giúp trẻ phát triển tư duy logic, khả năng nhận diện mối quan hệ giữa các số và các phép toán. Trẻ sẽ hiểu được cách mà các số kết hợp với nhau để tạo ra kết quả trong phép nhân.

Tăng cường khả năng giải quyết vấn đề: Việc luyện tập bảng cửu chương giúp trẻ có khả năng giải quyết các bài toán thực tế dễ dàng hơn. Trẻ có thể sử dụng bảng cửu chương để tính toán trong các tình huống như chia sẻ đồ vật, tính toán số tiền hoặc các phép tính liên quan đến thời gian.

Làm quen với việc học toán nhanh chóng và hiệu quả: Khi trẻ thành thạo bảng cửu chương 5, trẻ sẽ có nền tảng vững chắc để học các bảng cửu chương phức tạp hơn, cũng như có thể áp dụng các kỹ năng tính toán vào các bài tập nâng cao.

>>Xem thêm:

• Bài tập bảng cửu chương 2
• Bài tập bảng cửu chương 3
• Bài tập bảng cửu chương 4
• Bài tập bảng cửu chương 6
• Bài tập bảng cửu chương 7
• Bài tập bảng cửu chương 8
• Bài tập bảng cửu chương 9
• Bài tập bảng cửu chương 10

Bài viết Bài tập bảng cửu chương 5 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Bảng Cửu Chương 4: Công Thức Cơ Bản

Bảng cửu chương 4 là bảng nhân của số 4 với các số từ 1 đến 10. Đây là bảng có tính chất khá đơn giản nhưng vẫn yêu cầu học sinh phải ghi nhớ kỹ để thực hiện các phép tính nhân một cách nhanh chóng. Dưới đây là bảng cửu chương 4:

​​

2. Cách Học Bảng Cửu Chương 4 Hiệu Quả

Việc học bảng cửu chương 4 có thể gặp một số thử thách, nhưng với phương pháp học hiệu quả, trẻ sẽ dễ dàng ghi nhớ và vận dụng tốt bảng này. Dưới đây là một số cách học giúp trẻ nắm vững bảng cửu chương 4:

• Học thuộc từng phép nhân: Để trẻ dễ dàng học bảng cửu chương 4, bạn nên chia bảng thành từng phần nhỏ và giúp trẻ học từng phép nhân một cách tuần tự. Việc học từng phép tính sẽ giúp trẻ ghi nhớ lâu hơn và không cảm thấy quá tải.
• Sử dụng vần điệu: Để việc học trở nên thú vị và dễ dàng hơn, bạn có thể tạo ra các vần điệu hoặc câu chuyện ngắn để trẻ dễ dàng ghi nhớ các phép nhân. Ví dụ: “Bốn lần ba là mười hai,” “Bốn lần bốn là mười sáu.” Việc lặp đi lặp lại các câu vần này giúp trẻ nhớ lâu hơn.
• Luyện tập thường xuyên: Việc luyện tập đều đặn là rất quan trọng trong việc học bảng cửu chương. Bạn có thể tạo ra các bài tập ngắn mỗi ngày cho trẻ để củng cố kiến thức, giúp trẻ không quên các phép tính đã học và nâng cao khả năng tính toán.
• Sử dụng công cụ học trực quan: Các công cụ học trực quan như flashcards, bảng tính trực tuyến hoặc các ứng dụng học toán giúp trẻ học bảng cửu chương một cách sinh động và thú vị hơn. Các công cụ này còn giúp trẻ kiểm tra kiến thức và làm bài tập dễ dàng hơn.

3. Các Bài Tập Luyện Tập Bảng Cửu Chương 4

Để giúp trẻ luyện tập và nắm vững bảng cửu chương 4, bạn có thể tham khảo các bài tập dưới đây:

Bài Tập 1: Điền số thích hợp vào ô trống.

Điền kết quả vào bảng sau:

4 × 1 = __

4 × 2 = __

4 × 5 = __

4 × 7 = __

4 × 10 = __

Bài Tập 2: Tính các phép nhân sau.

4 × 3 = ?

4 × 6 = ?

4 × 8 = ?

4 × 4 = ?

4 × 9 = ?

Bài Tập 3: Đúng hay sai?

Đánh dấu đúng () nếu kết quả đúng và sai (✘) nếu kết quả sai:

4 × 7 = 28 ( )

4 × 5 = 22 ( )

4 × 8 = 32 ( )

4 × 2 = 10 ( )

4 × 9 = 36 ( )

Bài Tập 4: Bài tập ứng dụng

Một cây trồng được 4 quả táo mỗi tuần. Hỏi sau 6 tuần cây đó sẽ trồng được bao nhiêu quả táo?

Cách giải: Sử dụng phép nhân: 4 × 6 = 24 quả táo.

Bài Tập 5: Bài tập nâng cao

Một bạn có 4 túi quà, mỗi túi có 5 món quà. Hỏi bạn có tổng cộng bao nhiêu món quà?

Cách giải: Sử dụng phép nhân: 4 × 5 = 20 món quà.

4. Lợi Ích Của Việc Luyện Tập Bảng Cửu Chương 4

Việc luyện tập bảng cửu chương 4 không chỉ giúp trẻ nâng cao khả năng tính toán mà còn mang lại nhiều lợi ích khác, bao gồm:

• Cải thiện khả năng tính toán: Khi trẻ nắm vững bảng cửu chương 4, trẻ sẽ thực hiện các phép nhân với số 4 một cách nhanh chóng và chính xác. Điều này giúp trẻ thực hiện các bài toán phức tạp hơn trong tương lai mà không gặp phải khó khăn.
• Phát triển tư duy logic: Luyện tập bảng cửu chương 4 giúp trẻ phát triển tư duy logic, vì trẻ sẽ phải nhận ra mối quan hệ giữa các số và hiểu được quy tắc của phép nhân.
• Tăng cường khả năng giải quyết vấn đề: Việc học bảng cửu chương giúp trẻ dễ dàng áp dụng các phép tính vào các bài toán thực tế, từ đó nâng cao khả năng giải quyết vấn đề trong cuộc sống hàng ngày.

• Thành thạo trong việc làm bài kiểm tra: Khi đã thuộc bảng cửu chương 4, trẻ sẽ dễ dàng giải quyết các bài toán trong bài kiểm tra mà không mất nhiều thời gian suy nghĩ.

>>Xem thêm:

• Bài tập bảng cửu chương 2
• Bài tập bảng cửu chương 3
• Bài tập bảng cửu chương 5
• Bài tập bảng cửu chương 6
• Bài tập bảng cửu chương 7
• Bài tập bảng cửu chương 8
• Bài tập bảng cửu chương 9
• Bài tập bảng cửu chương 10

Bài viết Bài tập bảng cửu chương 4 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Bảng Cửu Chương 3: Công Thức Cơ Bản

Bảng cửu chương 3 là bảng nhân của số 3 với các số từ 1 đến 10. Đây là bảng mà học sinh cần phải ghi nhớ để có thể làm tốt các bài tập toán học trong suốt quá trình học. Dưới đây là bảng cửu chương 3:

​​2. Cách Học Bảng Cửu Chương 3 Hiệu Quả

Học bảng cửu chương 3 có thể gặp một số thử thách, nhưng với phương pháp học đúng đắn, trẻ sẽ dễ dàng nắm vững bảng này. Dưới đây là một số cách học hiệu quả:

• Học theo từng bước nhỏ: Ban đầu, trẻ có thể học từng phép nhân một cách chậm rãi. Bạn nên giúp trẻ học thuộc từng phép tính trong bảng cửu chương 3, từ “3 × 1 = 3” đến “3 × 10 = 30”. Việc học theo từng nhóm nhỏ sẽ giúp trẻ dễ tiếp thu hơn.
• Sử dụng phương pháp vần điệu: Để trẻ dễ dàng ghi nhớ các phép nhân, bạn có thể tạo ra các vần điệu hoặc câu chuyện ngắn liên quan đến các phép tính. Ví dụ, bạn có thể sử dụng câu “Ba lần ba là chín” để giúp trẻ nhớ được phép nhân 3 × 3 = 9.
• Luyện tập thường xuyên: Để củng cố kiến thức, việc luyện tập là rất quan trọng. Bạn có thể cho trẻ làm các bài tập liên quan đến bảng cửu chương 3 mỗi ngày. Thời gian luyện tập không cần quá dài nhưng cần phải đều đặn và kiên trì.
• Sử dụng các công cụ học trực quan: Flashcards, ứng dụng học toán trên điện thoại hoặc máy tính bảng là những công cụ học rất hữu ích. Các công cụ này giúp trẻ tiếp cận bài học một cách sinh động và thú vị hơn.

3. Các Bài Tập Luyện Tập Bảng Cửu Chương 3

Để giúp trẻ nắm vững bảng cửu chương 3, bạn có thể sử dụng các bài tập luyện tập sau:

Bài Tập 1: Điền số thích hợp vào ô trống.

Điền kết quả vào bảng sau:

3 × 1 = __

3 × 4 = __

3 × 7 = __

3 × 9 = __

3 × 10 = __

Bài Tập 2: Tính các phép nhân sau.

3 × 2 = ?

3 × 5 = ?

3 × 8 = ?

3 × 3 = ?

3 × 6 = ?

Bài Tập 3: Đúng hay sai?

Đánh dấu đúng () nếu kết quả đúng và sai (✘) nếu kết quả sai:

3 × 7 = 20 ( )

3 × 10 = 30 ( )

3 × 4 = 12 ( )

3 × 9 = 28 ( )

3 × 5 = 15 ( )

Bài Tập 4: Bài tập ứng dụng

Một nhà máy sản xuất 3 chiếc bánh mỗi phút. Hỏi trong 5 phút, nhà máy sẽ sản xuất được bao nhiêu chiếc bánh?

Cách giải: Sử dụng phép nhân: 3 × 5 = 15 chiếc bánh.

Bài Tập 5: Bài tập nâng cao

Một bạn có 3 túi quà. Mỗi túi có 6 món quà. Hỏi bạn có tổng cộng bao nhiêu món quà?

Cách giải: Sử dụng phép nhân: 3 × 6 = 18 món quà.

4. Lợi Ích Của Việc Luyện Tập Bảng Cửu Chương 3

Luyện tập bảng cửu chương 3 mang lại nhiều lợi ích cho học sinh không chỉ về mặt toán học mà còn về phát triển tư duy logic. Cụ thể:

• Cải thiện khả năng tính toán: Khi trẻ nắm vững bảng cửu chương 3, khả năng thực hiện các phép tính nhân nhanh chóng và chính xác của trẻ sẽ được nâng cao. Điều này giúp trẻ xử lý tốt hơn các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.
• Phát triển tư duy logic: Việc học và nhớ bảng cửu chương giúp trẻ rèn luyện tư duy logic, bởi trẻ sẽ học được cách nhận diện mối quan hệ giữa các số và hiểu được quy tắc của phép nhân.
• Tăng cường khả năng giải quyết vấn đề: Khi học bảng cửu chương 3, trẻ sẽ dễ dàng áp dụng kiến thức vào các tình huống thực tế như chia sẻ đồ vật, tính toán chi phí hay phân chia tài nguyên.

• Khả năng làm bài kiểm tra nhanh chóng: Một khi bảng cửu chương đã được học thuộc lòng, trẻ sẽ có thể làm bài toán một cách nhanh chóng và chính xác, từ đó nâng cao điểm số trong các bài kiểm tra toán.

>>Xem thêm:

• Bài tập bảng cửu chương 2
• Bài tập bảng cửu chương 4
• Bài tập bảng cửu chương 5
• Bài tập bảng cửu chương 6
• Bài tập bảng cửu chương 7
• Bài tập bảng cửu chương 8
• Bài tập bảng cửu chương 9
• Bài tập bảng cửu chương 10

Bài viết Bài tập bảng cửu chương 3 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.