Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Trong hình học, tam giác vuông là một trong những hình dạng cơ bản nhất, với một góc vuông. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông được xác định bởi các quan hệ giữa các cạnh và góc của tam giác. Việc nắm vững những trường hợp bằng nhau này là cực kỳ quan trọng để giải các bài toán hình học đơn giản đến phức tạp. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông và ứng dụng của chúng.

1. Định nghĩa hai tam giác bằng nhau

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

Để kí hiệu sự bằng nhau của tam giác ABC và tam giác A’B’C’ ta viết :  ΔABC = ΔA'B'C'

2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

a) Trường hợp cạnh góc vuông - cạnh góc vuông (cgv - cgv)

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

ΔABC vuông tại A, ΔDEF vuông tại D có:

AB = DE

AC = DF

Khi đó: Δ ABC = Δ DEF (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông)

b) Trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn (cgv - gn)

Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề ấy cạnh của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

ΔABC vuông tại A, ΔDEF vuông tại D có:

AC = DF

\(\widehat C=\widehat F\)

Khi đó: Δ ABC = Δ DEF (cạnh góc vuông - góc nhọn)

c) Trường hợp cạnh huyền - góc nhọn (ch-gn)

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

ΔABC vuông tại A, ΔDEF vuông tại D có:

BC = EF

\(\widehat C=\widehat F\)

Khi đó: Δ ABC = Δ DEF (cạnh huyền - góc nhọn)

3. Bài tập ví dụ

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh rằng  ΔAHB = ΔAHC

Lời giải

Xét ΔAHB và ΔAHC có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^\circ\)

AB = AC (gt)

AH chung (gt)

Suy ra ΔAHB = ΔAHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Bài 2. Cho tam giác ABC cân ở A. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với AB, qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau ở D. Chứng minh AD là tia phân giác góc BAC.

Lời giải

 Xét ΔABD và ΔACD có:

\(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{ACD}\) = 90°

AB = AC (giả thiết)

AD là cạnh chung

Suy ra ΔABD = ΔACD (cạnh huyền - góc vuông)

do đó \(\widehat{A_1}\;=\widehat{A_2}\) suy ra AD là tia phân giác của góc BAC

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Kẻ tia phân giác góc ABC cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E. Hai đường thẳng BA và ED cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) ΔABD = ΔEBD

b) ΔADH = ΔEDC

c) ΔAHC = ΔECH

d) ΔBEH = ΔBAC

Lời giải

a) Xét ΔABD và ΔEBD có:

\(\widehat{BAD}\;=\widehat{BED}\;(=90^\circ)\)

\(\widehat{B_1}\;=\;\widehat{B_2}\;(giả\;thiết)\\\)

BD là cạnh chung

Do đó ΔABD = ΔEBD (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Xét ΔADH và ΔEDC có:

\(\widehat{DAH}\;=\widehat{DEC}\;(=90^\circ)\)

\(\widehat{D_1}\;=\;\widehat{D_2}\;(đối\;đỉnh)\\\)

AD = ED (vì ΔABD = ΔEBD)

Do đó ΔADH = ΔEDC (g.c.g)

c)  ΔADH = ΔEDC suy ra AH = EC, AD = DE, DC = DH

=> AC = EH.

Xét  ΔAHC và ΔECH có: 

\(\widehat{HAC}\;=\widehat{CEH}\;(=90^\circ)\)

AH = CE

AC = EH

Do đó ΔAHC = ΔECH (c.g.c)

d) Xét ΔBEH = ΔBAC có:

\(\widehat{BEH}\;=\widehat{BAC}\;(=90^\circ)\)

\(\widehat B\;chung\\\)

EH = AC (ΔAHC = ΔECH)

Suy ra ΔBEH = ΔBAC (cạnh góc vuông - góc nhọn)