Hai tam giác bằng nhau
Trong hình học, hai tam giác được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng diện tích và các cạnh và góc tương ứng giống nhau. Bằng cách sử dụng các phép đo hình học, chúng ta có thể chứng minh rằng hai tam giác bằng nhau khi có thể khớp nhau bằng cách di chuyển, xoay và phóng to/thu nhỏ mà không làm thay đổi kích thước và hình dạng ban đầu. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu thêm về khái niệm hai tam giác bằng nhau và cách chứng minh chúng bằng các phương pháp hình học.
1. Định nghĩa hai tam giác bằng nhau
Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
2. Kí hiệu
Để kí hiệu sự bằng nhau của tam giác ABC và tam giác A'B'C' ta viết ΔABC = ΔA'B'C'
Chú ý: khi kí hiệu sự bằng nhau của hai tam giác, các chữ cái chỉ tên các đỉnh tương ứng được viết theo cùng thứ tự.
Ví dụ
ΔABC = ΔA'B'C' \(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\widehat A=\widehat{A'}\\\widehat B=\widehat{B'}\\\widehat C=\widehat{C'}\\AB=A'B'\\AC=A'C'\\BC=B'C'\end{array}\right.\)
Trong đó A, A' là hai đỉnh tương ứng AB, A'B' là hai cạnh tương ứng, \(\widehat A,\;\widehat{A'}\) là hai góc tương ứng
Ví dụ: Cho Δ ABC = ΔMNP
a) Viết đẳng thức trên dưới một vài dạng khác
b) Cho AB = 4cm, AC = 5cm, NP = 6cm. Tính chu vi của mỗi tam giác nói trên. Có nhận xét gì?
Giải
a) Viết đẳng thức ΔABC = ΔMNP dưới một vài dạng khác
Δ ACB = ΔMPN, Δ BAC = ΔNMP, Δ BCA = ΔNPM, Δ CAB = ΔPMN, Δ CBA = ΔPNM
b) Vì ΔABC = ΔMNP \(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}AB=MN=4cm\\AC=MP=5cm\\BC=NP=6cm\end{array}\right.\)
Chu vi tam giác ABC là:
AB + AC + BC = 4 + 5 + 6 = 15cm
Chu vi tam giác MNP là:
MN + MP + NP = 4 + 5 + 6 = 15cm
Nhận xét: Hai tam giác bằng nhau thì có chu vi bằng nhau
3. Bài tập
Bài 1. Cho hai tam giác bằng nhau: tam giác ABC (không có hai góc nào bằng nhau, không có hai cạnh nào bằng nhau) và một tam giác có ba đỉnh H, I, K. Viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác đó biết AB = KI, góc B = góc K.
Lời giải
Ta có:
\(\widehat B=\widehat K\) nên B, K là hai đỉnh tương ứng.
AB = KI nên A, I là hai đỉnh tương ứng.
Nên ΔABC = ΔIKH
Bài 2. Cho ΔABC = ΔDEF (hình 62)
Tìm số đo góc D và độ dài cạnh BC
ΔABC = ΔDEF ⇒ góc D = góc A = 180° – 70° – 50° = 60° (hai góc tương ứng)
Và BC = EF ⇒ BC = 3 cm (hai cạnh tương ứng)
Bài 3. Cho tam giác ABC = tam giác HIK
a) Tìm cạnh tương ứng với cạnh BC. Tìm góc tương ứng với góc H
b) Tìm các cạnh bằng nhau, tìm các góc bằng nhau.
a)
- Vì tam giác ABC = tam giác HIK nên
- Cạnh tương ứng với cạnh BC là IK
- Góc tương ứng với góc H là góc A
b)
- Các cạnh bằng nhau là: AB = HI, AC = HK, BC = IK
- Các góc bằng nhau là:
- Góc A bằng góc H
- Góc B bằng I
- Góc C bằng K
Bài 4. Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Vẽ hai đường thẳng m và n lần lượt vuông góc với AB tại A và B. Lấy điểm C trên m, CO cắt n tại D (Hình 24). Chứng minh rằng O là trung điểm của CD.
Lời giải
Xét tam giác OAC vuông tại A và tam giác OBD vuông tại B:
\(\widehat{AOC}=\widehat{BOD}\) (hai góc đối đỉnh)
OA = OB (theo giả thiết).
Do đó △ OAC = △ OBD (góc nhọn - cạnh góc vuông).
Suy ra OC = OD (2 cạnh tương ứng).
Mà O nằm giữa C và D nên O là trung điểm của CD.