Nhân đa thức với đa thức

Trong đại số, phép nhân đa thức với đa thức là một phép tính quan trọng và thường xuyên được sử dụng trong các bài toán liên quan đến đa thức. Để thực hiện phép tính này, ta cần áp dụng các kỹ thuật nhân đa thức với đa thức. Tuy nhiên, với những người mới học đại số, việc tính toán nhân đa thức với đa thức có thể gặp nhiều khó khăn.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về phép nhân đa thức với đa thức. Chúng ta sẽ cùng xem xét các kỹ thuật và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan đến phép tính này. Ngoài ra, bài viết cũng sẽ cung cấp một số ví dụ minh họa giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính toán và ứng dụng của phép nhân đa thức với đa thức trong đại số.

Nhân đa thức với đa thức

Để nhân đa thức với đa thức, chúng ta cần áp dụng quy tắc nhân số hạng với số hạng, tức là nhân từng số hạng trong đa thức đầu tiên với tất cả các số hạng trong đa thức thứ hai, và sau đó tổng hợp các kết quả lại để tạo thành đa thức mới.

Ví dụ: Hãy nhân đa thức (2x + 3y) với đa thức (4x - 5y).

Bước 1: Nhân 2x với đa thức (4x - 5y)

2x × 4x = 8x²

2x × (-5y) = -10xy

Bước 2: Nhân 3y với đa thức (4x - 5y)

3y × 4x = 12xy

3y × (-5y) = -15y²

Bước 3: Tổng hợp các kết quả

Ta cộng tổng hợp các kết quả của các phép nhân được thực hiện ở các bước trên để tạo thành đa thức mới:

(2x + 3y) × (4x - 5y) = 8x² - 10xy + 12xy - 15y²

Bước 4: Đơn giản hóa kết quả

Ta có thể đơn giản hóa kết quả bằng cách cộng các số hạng tương tự lại với nhau:

(2x + 3y) × (4x - 5y) = 8x² + 2xy - 15y²

Vậy kết quả của phép nhân đa thức (2x + 3y) với đa thức (4x - 5y) là đa thức 8x² + 2xy - 15y².

Quy tắc nhân đa thức với đa thức

Quy tắc nhân đa thức với đa thức là một quy tắc trong đại số, cho phép nhân hai đa thức với nhau. Để nhân hai đa thức với nhau, bạn cần nhân từng số hạng trong đa thức đầu tiên với tất cả các số hạng trong đa thức thứ hai, và sau đó tổng hợp các kết quả lại.

Ví dụ, để nhân đa thức (2x + 3y) với đa thức (4x - 5y), bạn cần thực hiện các bước sau đây:

(2x + 3y) × (4x - 5y) = 2x × 4x + 2x × (-5y) + 3y × 4x + 3y × (-5y) (Nhân từng số hạng của đa thức thứ nhất với tất cả các số hạng của đa thức thứ hai:)

= 8x² - 10xy + 12xy - 15y² = 8x² + 2xy - 15y² (Tổng hợp các kết quả:)

Đơn giản hóa kết quả (Nếu có)

Vì vậy, kết quả của việc nhân đa thức (2x + 3y) với đa thức (4x - 5y) là 8x² + 2xy - 15y².

Luyện tập

Tính tích của các đa thức sau đây:

1. (x² + 3x - 2) × (2x³ + x² - 4x + 1)

2. (4x³ - 2x² + x - 3) × (3x² + 2x + 1)

3. (2x⁴ - 5x² + 3) × (x³ - 4x + 1)

4. (3x² + 2x - 1) × (5x³ - 2x² + 3x - 4)

Hướng dẫn giải:

Để tính tích của hai đa thức, ta thực hiện nhân từng hệ số của một đa thức với từng hệ số của đa thức kia, sau đó cộng các kết quả lại với nhau theo mũ tương ứng của biến.

Ví dụ: Tính tích của đa thức P(x) = (x² + 3x - 2) × (2x³ + x² - 4x + 1)

Bước 1: Nhân từng hệ số của P(x) với Q(x)

P(x) x Q(x) = (x² + 3x - 2) × (2x³ + x² - 4x + 1)
           = 2x⁵ + x⁴ - 4x³ + x² + 6x⁴ + 3x³ - 12x² + 3x - 4x³ - 2x^2 + 8x - 2
            = 2x⁵ + 7x⁴ - 5x³ - 13x² + 11x - 2

Bước 2: Kết quả tích của hai đa thức là 2x⁵ + 7x⁴ - 5x³ - 13x² + 11x - 2.

Áp dụng tương tự cho các câu còn lại, ta sẽ có kết quả của bài tập.

2. (4x³ - 2x² + x - 3) × (3x² + 2x + 1)

= 12x⁵ + 2x⁴ + 4x³ - 9x² + 8x⁴ - 4x³ + 2x² - 6x + 4x² - 2x + 1
= 12x⁵ + 10x⁴ + 2x³ - 3x² - 8x + 1

Vậy kết quả của phép tính là 12x⁵ + 10x⁴ + 2x³ - 3x² - 8x + 1.

3. (2x⁴ - 5x² + 3) × (x³ - 4x + 1)

= 2x⁷ - 8x⁵ + 2x⁴ - 5x⁵ + 20x³ - 5x⁴ + 3x³ - 12x + 3
= 2x⁷ - 13x⁵ - 3x⁴ + 23x³ - 12x + 3

Vậy kết quả của phép tính là 2x⁷ - 13x⁵ - 3x⁴ + 23x³ - 12x + 3.

4. (3x² + 2x - 1) × (5x³ - 2x² + 3x - 4)

= 15x⁵ - 6x⁴ + 9x³ + 10x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x³ + 2x² - 3x - 12
= 15x⁵ + 4x⁴ - 2x³ + 8x² - 3x - 12

Vậy kết quả của phép tính là 15x⁵ + 4x⁴ - 2x³ + 8x² - 3x - 12.